Nasze pierwsze pojecie o liczbie i o formie datują się od czasów tak odległych jak starszy okres kamienny - paleolit. Przez setki tysięcy lat lub może dłużej człowiek żył w jaskiniach w warunkach niewiele różniących się od zwierzęcych, a cała jego działalność był poświęcona elementarnym czynnościom zbierania pożywienia, gdziekolwiek można je było zdobywać. Ludzie wyrabiali narzędzia do polowania i połowu ryb, rozwijali język dla porozumiewania się ze sobą, a w okresie późnego paleolitu wzbogacili swe życie o twórcze dzieła sztuki, rzeźby i malowidła. Malowidła jaskiniowe we Francji i Hiszpanii (przypuszczalnie sprzed 15 000 lat) mogły mieć pewne znaczenie rytualne, w każdym razie wykazują one duże poczucie formy. Postęp w promowaniu liczb i stosunków przestrzennych był niewielki, dopóki nie nastąpiło przejście od zbierania żywności do jej wytwarzania, od myślistwa i rybactwa do rolnictwa. Wraz z tą zasadniczą zmianą, rewolucją, w której bierny stosunek człowieka do natury zmienił się na stosunek czynny,
wchodzimy w okres kamienny - neolit. To wielkie wydarzenie w historii ludzkości miało przypuszczalnie miejsce dziesięć tysięcy lat temu, gdy skorupa lodowa pokrywająca Europę i Azję stopniała, ustępując miejsca lasom i pustyniom. Koczownicze wędrówki w poszukiwaniu pożywienia dobiegły końca. Myśliwi i rybacy w większej części zamienili się w pierwotnych rolników. Rolnicy ci pozostając w jednym miejscu dopóki gleba rodziła, zaczęli budować wsie, dające schronienie przed warunkami atmosferycznymi i rabusiami. Odkopano wiele takich osad neolitycznych. Wykopaliska wykazują ,jak stopniowo rozwijały się rzemiosła takie jak garncarstwo, ciesielstwo, tkactwo. Istniały spichrze pozwalające mieszkańcom zabezpieczać się przed zimą i okresami nieurodzaju przez przechowywanie nadwyżki zbiorów. Wypiekano chleb, warzono piwo, a w późniejszym okresie neolitu wytapiano i przerabiano miedź i brąz. Pojawiły się wynalazki, mianowicie koło garncarskie i koła do wozu;ulepszono łodzie i schronienie. Ten znaczny postęp miał
miejsce tylko wewnątrz określonych obszarów i nie zawsze. Indianie amerykańscy niewiele wiedzieli o zastosowaniu koła do wozu aż do przybycia białych ludzi. Mimo to ,w porównaniu z okresem paleolitu tempo rozwoju techniki w neolicie były olbrzymie. Między osadami istniał ożywiony handel, który rozwinął się do tego stopnia ,że można stwierdzić powiązania między miejscowościami oddalonymi od siebie o setki kilometrów. Odkrycie sztuki wytapiania i wyrabiania miedzianych, a później brązowych narzędzi i broni znacznie pobudziło tę aktywność handlową. To z kolei spowodowało dalszy rozwój języków. Słowa tych języków wyrażały pojęcia bardzo konkretne i niewiele pojęć abstrakcyjnych; niemniej znalazło się wśród nich trochę miejsca dla terminów liczbowych i pewnych związków między formami. Wiele szczepów Australii, Afryki, Ameryki znajdowało się w tym stadium rozwoju w chwili ich zetknięcia z białymi; pewne szczepy dotąd jeszcze żyją w tych warunkach tak, że można śledzić ich zwyczaje i sposób wyrażania się.
Terminy liczbowe wyrażające jedną z najbardziej abstrakcyjnych idei jakie umysł ludzki potrafi stworzyć" jak powiedział Adam Smith,wchodziły w użyciu bardzo powoli. Ich pierwsze pojawienie się miało charakter raczej jakościowy niż ilościowy, rozróżniały one między "jeden" (albo raczej "jakiś" - "jakiś człowiek" niż "jeden człowiek"),albo "dwa lub więcej. Jakościowe pochodzenie pojęć liczbowych można jeszcze i teraz zauważyć w specjalnych formach podwójnych istniejących w pewnych językach jak grecki i celtycki. Gdy pojęcie liczby uległo rozszerzeniu, większe liczby tworzono najpierw przez dodawanie: 3 przez dodanie 2 i 1, 4 przez dodanie 2 i 2, 5 przez dodanie 2i3.Oto przykład zanotowany u pewnych szczepów australijskich:
Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval enea, 4 = petcheval petcheval
Kamilaroi: 1 = mal, 2 = bulban, 3 = guliba, 4 = bulban bulban, 5 = bulban guliba, 6 = guliba guliba
Rozwój rzemiosła i handlu pobudził proces krystalizowania się pojęcia liczby. Liczby porządkowano i łączona w większe jednostki, zazwyczaj przy pomocy palców ręki lub obu rąk - naturalny proceder w handlu. Prowadziło to do przyjęcia najpierw pięciu a potem dziesięciu za podstawę liczenia, uzupełnianą niekiedy przez dodawanie, a czasem odejmowanie tak ,że dwanaście pojmowano jako 10+2 lub 9 jako 10-1.Niekiedy za podstawę obierano 20 jako ilość palców rąk i nóg. Spośród 307 systemów liczenia pierwotnych ludów amerykańskich zbadanych przez W.C.Eelsa,146 było dziesiętnych, 106 piątkowych i piątkowodziesiętnych, dzuwdziestkowych i dwudziestopiątkowych. System dwudziestkowy w swej najbardziej charakterystycznej postaci występował u Majów w Meksyku i Celtów w Europie. Liczby oznaczano przy pomocy wiązek, nacięć na kiju, węzłów na sznurze, kamyków lub muszel ułożonych w kupki po pięć - sposobów bardzo zbliżonych do tych, którymi w dawnych czasach posługiwali się oberżyści ze swoimi karbowanymi laskami. Od tych metod
już tylko krok prowadził do wprowadzenia specjalnych symboli dla 5, 10, 20 - znaki te znajdujemy w początkach historii pisanej w czasie tzw. świtu cywilizacji. Najstarszy przykład używania laski karbowanej pochodzi pochodzi z paleolitu i został znaleziony w roku 1937 w Vestonicach (Morawy).Jest to piszczel młodego wilka o długości 7 cali z wyciętymi głęboko 55 karbami, z których pierwsze 25 są ułożone w grupy po 5. Po nich następuje karb dwa razy dłuższy,który kończy ten ciąg, potem od następnego karbu, również o podwójnej długości, nowy ciąg przebiega aż do 30. Jest więc jasne, że dawne podanie, przytoczone przez Jakuba Grimma i często powtarzane, jakoby liczenie zaczęło się od liczenia na palcach jest niezgodne z faktami. Liczenie przy pomocy palców, tzn. piątek i dziesiątek, pojawiło się dopiero na pewnym poziomie rozwoju społecznego. Kiedy już poziom ten był osiągnięty, można było wyrażać liczby w odniesieniu do podstawy, która pozwalała tworzyć duże liczby; w ten sposób powstał pierwotny typ
arytmetyki. Czternaście przedstawiano czasem jako 10 + 4, czasem zaś jako 15-1. Mnożenie pojawiło się ,gdy 20 przedstawiano nie jako 10+10 lecz jako 2 x 10.Taką operacją podwajania posługiwano się przez tysiąclecia jako drogą pośrednią między dodawaniem a mnożeniem; miało to miejsce szczególnie w Egipcie i przedaryjskiej cywilizacji Mohendżo-Daro nad Indusem. Dzielenie powstało wtedy, gdy dziesięć wyrażono jako "połowę ciała", choć świadome tworzenie ułamków zdarzało się nadal bardzo rzadko. Na przykład wśród szczepów Ameryki Północnej, znane są bardzo nieliczne przypadki tego typu form, w których chodzi prawie wyłącznie o 1/2 ,choć pojawiają się też czasem 1/3 i 1/4. Ciekawym zjawiskiem było zamiłowanie do wielkich liczb, zamiłowanie pobudzone chyba przez bardzo ludzkie pragnienie przesadzania ilości bydła,zabitych nieprzyjaciół; pozostałości tej tendencji znajdujemy w Biblii i innych świętych pismach. Pojawiła się również konieczność pomiaru długości i objętości różnych przedmiotów. Wzory miar były
różnorakie i często brano je z różnych części ciała ludzkiego; w ten sposób powstały takie jednostki jak palec, stopa, dłoń; przypominają nam to nazwy łokieć i sążeń. Gdy rozpoczęto budować domy, jak to miało miejsce wśród Indian zajmujących się rolnictwem i mieszkańców osad palowych w Europie Środkowej, ustanowione zostały reguły budowania z zachowaniem linii i katów prostych. Słowo angielskie straight (prosty) pochodzi od słowa stretch oznaczającego wyciąganie - operację związaną z użyciem liny, line (linia) pochodzi od linen (tkanina lniana) - słowa te pokazują związek między rzemiosłem tkackim a początkami geometrii. Była to jedna droga, na której rozwinęło się zainteresowanie geometrią. U człowiek młodszego okresu kamiennego rozwinęło się również żywe upodobanie do wzorów geometrycznych. Wypalanie i malowanie wyrobów ceramicznych, wyrób plecionek, koszyków, tkanin, a później obrabianie metali prowadziło do badania stosunków geometrycznych na płaszczyźnie i w przestrzeni, Musiały tu również odegrać
role wzory taneczne. Ornamenty neolityczne wykazują upodobanie do przystawania, symetrii i podobieństwa figur. Mogły istnieć w tych figurach związki liczbowe, jak np. w pewnych przedhistorycznych wzorach przedstawiających liczby trójkątne lub inne "święte" liczby .Wzory takie pozostały popularne aż do czasów historycznych. Piękne przykłady można znaleźć na dipylońskich wazach minojskich, wczesnogreckich, na mozaikach późnobiznatyjskich i arabskich, tapiseriach perskich i chińskich. Początkowo mogły mieć znaczenie religijne, lecz z czasem ich strona estetyczna coraz bardziej przeważała. W religiach okresu kamiennego możemy dostrzec pierwotne dążenie do walki z siłami przyrody. Ceremonie religijne były głęboko przeniknięte magią, i ten element magiczny znalazł się jako składnik zarówno w istniejących pojęciach liczby i formy, jak i rzeźbie, muzyce, malarstwie. Istniały liczby magiczne jak 3,4,7 i magiczne figury jak gwiazda pięcioramienna i swastyka. Niektórzy z autorów uważali nawet ten aspekt matematyki za
decydujący czynnik jej wzrostu; mimo ,że ślady społecznego pochodzenia matematyki zatarły się może w nowszych czasach, są one jednak wyraźnie widoczne w początkach historii ludzkiej."Nowoczesna" numerologia jest pozostałością rytuałów magicznych pochodzących z neolitu , a może nawet i paleolitu. Nawet wśród bardzo prymitywnych szczepów znajdujemy pewną znajomość rachuby czasu, a w związku z tym pewną znajomość ruchu słońca, księżyca i gwiazd. Wiedza ta osiągnęła po raz pierwszy charakter bardziej naukowy, gdy rozpowszechniły się rolnictwo i handel. Używanie kalendarza księżycowego sięga w daleką przeszłość historii ludzkiej, z uwagi na związek wegetacji ze zmianami księżyca. Ludy pierwotne zwracają również uwagę na moment przesilenia słonecznego lub wschodzenia Plejad o świcie. Ludy o najstarszej cywilizacji przypisywały sobie znajomość astronomii od najbardziej odległych, przedhistorycznych czasów. Inne ludy pierwotne posługiwały się gwiazdozbiorami jako przewodnikami w żegludze. Z astronomii tej wynikła
pewna znajomość własności kuli, kierunków kątowych i okręgów. Pobieżny ten obraz początków matematyki pokazuje, że historyczny wzrost nauki nie zawsze musi przebiegać przez stadia, które obecnie rozwijamy w nauczaniu. Niektóre z najstarszych znanych ludzkości form geometrycznych, jak węzły i ornamenty, doczekały się pełnego naukowego potraktowania dopiero w ostatnich latach. Z drugiej strony ,niektóre z bardziej elementarnych gałęzi matematyki ,jak przedstawienie graficzne lub statystyka elementarna sięgają czasów stosunkowo nowych. A.Speiser zauważył z pewną dozą cierpkości: "Już wyraźna tendencja do nudy, która zdaje się istnieć w matematyce elementarnej może dowodzić jej późnego pochodzenia, ponieważ twórczy matematyk wolałby zwrócić swe wysiłki w kierunku problemów pięknych i interesujących" Powrót
W ciągu piątego, czwartego i trzeciego tysiąclecia przed naszą erą z ustalonych wspólnot neolitycznych rozwinęły się coraz bardziej postępowe formy społeczeństwa wzdłuż wybrzeża wielkich rzek w Afryce i Azji, w regionach subtropikalnych lub w ich pobliżu. Rzekami tymi były Nil, Tygrys i Eufrat, Indus ,później Ganges, Hoang-ho i wreszcie Yang-tse. Kraje wzdłuż tych rzek mogły wytwarzać obfite ilości zboża dzięki uregulowaniu wylewów i zdrenowaniu bagien. W przeciwieństwie do otaczających te kraje suchych pustyń i obszarów górzystych i nizinnych można było doliny rzek zmienić w raj. W ciągu wieków problemy te rozwiązywano przez budowanie umocnień i tam, kopanie kanałów i budowę zbiorników. Regulacje dopływu wody wymagała koordynacji prac między odległymi miejscowościami na skalę znacznie przekraczającą wszystkie dotychczasowe wysiłki. Doprowadziło to do powstania centralnych organów administracji mieszczących się w ośrodkach miejskich, a nie w barbarzyńskich wsiach okresów poprzednich. Stosunkowo
duża nadwyżka, dostarczana przez znacznie udoskonalone i intensywne rolnictwo podniosła poziom życiowy całej ludności, a także stworzyła arystokrację miejską kierowaną przez wodzów mających dużą władzę. Istniało wiele wyspecjalizowanych zawodów - rzemieślnicy, żołnierze, urzędnicy, kapłani. Administracja robót publicznych znajdowała się w ręku stałych urzędników, grupy doświadczonej w zakresie określania pór roku, ruchu ciał niebieskich, sztuki podziału ziemi, magazynowania żywności i pobierania podatków. Pisma używano do zapisywania zarządzeń administracji i czynów wodzów. Zarówno urzędnicy ,jak i rzemieślnicy zdobywali znaczny zasób wiedzy technicznej łącznie z metalurgią i medycyną. Do wiedzy tej należała także sztuka mierzenia i rachowania. Odtąd utrwaliły się już klasy społeczne. Byli wodzowie, wolni rolnicy i dzierżawcy, rzemieślnicy, pisarze i urzędnicy,słudzy i niewolnicy. Lokalni władcy tak rośli w bogactwo i potęgę ,ze z panów feudalnych o władzy ograniczonej wyrastali na miejscowych królów o
nieograniczonej władzy. Spory i wojny między różnymi despotami prowadziły do zjednoczenia większych obszarów pod władzą jednego monarchy. te formy społeczeństwa oparte na nawadnianiu i intensywnej gospodarce rolnej prowadziły w ten sposób do "wschodniej" formy despotyzmu. Despotyzm taki mógł utrzymywać się przez wieki, a potem upadał, czy to pod naciskiem plemion górskich i pustynnych przyciąganych przez bogactwo dolin czy to wskutek zaniedbania rozległego i skomplikowanego życiodajnego systemu nawadniającego. W tych warunkach władza mogła przechodzić od jednego króla plemiennego do drugiego lub społeczeństwo mogło rozpaść się na mniejsze jednostki feudalne i proces zjednoczeniowy rozpoczynał się od nowa .Jednakże, w czasie tych wszystkich rewolucji dynastycznych i powrotów od feudalizmu do absolutyzmu - wsie ,które stanowiły podstawę tego społeczeństwa, pozostawały zasadniczo niezmienione ze swą podstawową strukturą ekonomiczną i społeczną. Społeczeństwo wschodnie zmienia się cyklicznie i nawet obecnie
istnieją w Azji i Afryce liczne wspólnoty, które przez wiele tysiącleci zachowały ten sam sposób bycia. W tych warunkach postęp był powolny i przypadkowy, a okresy rozkwitu kulturalnego przeplatały się długimi wiekami zastoju. Statyczny charakter Wschodu nadał jego instytucjom znamię świętości, co ułatwiło utożsamienie religii z aparatem państwowym. Taki sam charakter religijny ,jak państwo,miał często stan urzędniczy; w wielu krajach wschodnich kapłani byli administratorami państwa. Ponieważ uprawianie wiedzy było zajęciem urzędników, stwierdzamy w wielu (lecz nie we wszystkich) krajach wschodnich ,że kapłani zajmowali czołowe pozycje w nauce. Wschodnia matematyka powstałą jako nauka praktyczna ułatwiająca obliczanie kalendarza, administrację zbiorów, organizację prac publicznych i zbieranie podatków. Początkowo nacisk kładziono naturalnie na arytmetyce praktycznej i pomiarach .mimo to nauka, uprawiana przez wieki przez specjalną grupę ludzi, których troską było nie tylko jej stosowanie , lecz także
nauczanie jej sekretów,wykazuje tendencje do abstrakcji. Stopniowo zaczyna się ją uprawiać dla niej samej. Arytmetyka przekształciła się w algebrę nie tylko dlatego ,że ułatwiało to rachunki praktyczne, lecz także jako naturalny produkt rozwoju nauki uprawianej i rozwijanej w szkołach pisarzy. Dla tych samych powodów miernictwo przekształciło się w początki, ale tylko początki, geometrii teoretycznej. Mimo ożywionego handu, uprawianego przez starożytne społeczeństwa ,ich ekonomiczną podstawę stanowiło rolnictwo oparte na wsiach charakteryzujących się odosobnieniem i tradycjonalizmem. Wskutek tego, mimo podobieństwa w budowie ekonomicznej i zasadniczej treści nauki, zawsze istniały uderzające różnice między różnymi kulturami. Przysłowiowe było odosobnienie Chińczyków i Egipcjan. Zawsze łatwo było odróżnić sztukę i pismo Egipcjan, mieszkańców Mezopotamii, Chińczyków i Hindusów. Tak samo możemy mówić o matematyce Egiptu, Mezopotamii,Chin i Indii, choć ich ogólny algebraiczno-arytmetyczny charakter był bardzo
podobny. Nawet jeśli nauka jednego kraju w pewnym okresie wyprzedzała naukę innego zachowywała swoje charakterystyczne metody i symbolikę . Trudno jest datować nowe odkrycia na Wschodzie. Statyczny charakter jego struktury społecznej przyczynił się do zachowania stanu wiedzy przez wieki, a nawet tysiąclecia. Odkrycia dokonane w izolowanych miastach mogły nigdy nie dotrzeć do innych miejscowości. Zasób wiedzy naukowej i technicznej mógł ulec zniszczeniu wskutek zmian dynastii, wojen i wylewów. Istnieje podanie ,że w roku 221 p.n.e. , gdy Chiny zostały zjednoczone pod panowaniem absolutnego despoty Shih Huang Ti (Wielki Żółty Cesarz), kazał on zniszczyć wszystkie książki do nauki. Później wiele spisano z pamięci, lecz wypadki takie bardzo utrudniają datowanie odkryć. Innym powodem trudności w datowaniu nauki wschodniej jest materiał użyty do jej przechowywania. Mieszkańcy Mezopotamii wypalali z gliny tabliczki, które były praktycznie niezniszczalne. Egipcjanie posługiwali się papirusem i znaczna część ich pism
przechowywała się w suchym klimacie. Chińczycy czy Hindusi używali materiałów mniej trwałych takich jak kora lub bambus. W drugim wieku naszej ery Chińczycy zaczęli używać papieru, lecz niewiele zachowało się sprzed 700 roku naszej ery. Nasze wiadomości o matematyce wschodniej sa więc bardzo fragmentaryczne; dla czasów przedhellenistycznych jesteśmy niemal wyłącznie skazani na źródła egipskie lub pochodzące z Mezopotamii. Być może, że nowe odkrycia doprowadzą do całkowicie nowej oceny odpowiednich osiągnięć różnych forma matematyki wschodniej. Przez długi okres czasu najbogatszym źródłem wiadomości był Egipt, z uwagi na odkrycie w roku 1858 tak zwanego papirusu Rhinda napisanego około 1650 p.n.e. ,lecz zawierającego materiał znacznie starszy. W ostatnich latach wzrosła wiedza na temat matematyki babilońskiej dzięki odkryciom O.Neugebauera i F.Thureau-Dangina, którzy odcyfrowali dużą liczbę tabliczek glinianych. Okazało się teraz ,że matematyka babilońska była znacznie lepiej rozwinięta niż w innych krajach
Wschodu. Ocena ta może być ostateczna, ponieważ istnieje pewna konsekwencja w charakterze treści tekstów babilońskich i egipskich na przestrzeni wieków. Co więcej,rozwój ekonomiczny Mezopotamii był bardziej zaawansowany niż innych krajów tak zwanego "urodzajnego półksiężyca" Bliskiego Wschodu, rozciągającego się od Mezopotamii do Egiptu - Mezopotamia stanowiła punkt krzyżowania się wieku dróg karawan, podczas gdy Egipt znajdował się we względnym odosobnieniu. Dodać do tego należy fakt ,że ujarzmienie nieobliczalnego Tygrysi Eufratu wymagało więcej umiejętności inżynierskich i administracji niż utrzymanie Nilu, "najlepiej wychowanej rzeki" według Williama Willcocksa. Dalsze badania nad dawną matematyką hinduską mogą jeszce ujawnić nieoczekiwane świetne osiągnięcia ,lecz na razie nie ma na to zbyt przekonywujących dowodów. Większość naszych wiadomości o matematyce egipskiej pochodzi z dwóch papirusów matematycznych - już wspomnianego papirusu Rhinda zawierającego 85 zadań i tak zwanego papirusu moskiewskiego
,prawdopodobnie starszego o dwa wieki, zawierającego 25 zadań .Zadania te były już dawno znane, gry rękopisy powstawały, lecz istnieją mniejsze papirusy o znacznie świeższej dacie, nawet z czasów rzymskich, które nie wykazują żadnej różnicy w ich traktowaniu. Matematyka, której nauczają, oparta jest na dziesiętnym systemie liczbowym ze specjalnymi znakami dla każdej wyższej jednostki dziesiętnej - system, którego znanym przykładem jest rzymski sposób liczenia, oparty na tej zasadzie : MDCCCLXXVIII = 1878. Na podstawie tego systemu Egipcjanie rozwinęli arytmetykę głównie o charakterze addytywnym, to znaczy właściwą cechą tej matematyki było sprowadzenie wszystkich mnożeń do kolejno powtarzanych dodawań. Mnożenie przez 13 uzyskiwano na przykład mnożąc najpierw przez 2, potem przez 4, wreszcie przez 8, a następnie dodając wyniki mnożenia przez 4 i 8, do liczby mnożonej. Wiele zadań było bardzo prostych, nie wychodzących poza równania liniowe o jednej niewiadomej:
"Wielkość, jej 2/3, jej 1/2 i jej 3/7 dodane razem dają 33.Co to za wielkość". Najbardziej godnym uwagi działem matematyki egipskiej był rachunek ułamkowy. wszystkie ułamki sprowadzano do sum tak zwanych ułamków prostych, to znaczy ułamków o liczniku 1. Jedynym wyjątkiem był ułamek 2/3= 1-1/3, dla którego istniał specjalny symbol. Rozkład na sumy ułamków prostych był możliwy dzięki tablicom, które dawały zamian ułamków 2/n - jedyną zamianę potrzebną z powodu mnożenia dwójkowego. Papirus Rhinda zawierał tablice podające rozkład na ułamki proste dla wszystkich n nieparzystych od 5 do 331 np. 2/7 = 1/4 + 1/28; 2/97 = 1/56+1/679+1/776.
Taki rachunek na ułamkach nadawał matematyce egipskiej charakter ciężki i niewygodny i rzeczywiście zahamował on dalszy rozwój tej nauki. Rozkład ten wymagał równocześnie pewnej wprawy matematycznej; istnieją interesujące teorie wyjaśniające sposób w jaki egipscy specjaliści mogli uzyskiwać owe wyniki. Praktycznym początkiem tej niewygodnej arytmetyki i początków algebry były zadania dotyczące proporcji chleba i różnych rodzajów piwa, żywienia bydła i magazynowania zboża. Pewne zadania wykazują również zainteresowanie teoretyczne,jak zadanie podzielenia stu bochenków między pięciu ludzi w ten sposób ,by uzyskane części stanowiły postęp arytmetyczny, a jedna siódma sumy trzech części większych była równa sumie dwóch części mniejszych. Znajdujemy tu nawet postęp geometryczny dotyczący 7 domów, z których w każdym było po 7 kotów, każdy z kotów polował na 7 myszy itd, co dowodzi znajomości wzoru na sumę wyrazów takiego postępu. Istniały również zadania o naturze geometrycznej dotyczące przed wszystkim pomiarów.
Pole trójkąta obliczano jako połowę iloczynu podstawy przez wysokość, pole koła o średnicy d było dane jako (d-1/9d)2, co prowadzi do wartości π równej 256/81 = 3,1605. Napotykamy tu także pewne wzory dla objętości brył, np. sześcianu, prostopadłościanu, walca kołowego, wszystkie rozumiane konkretnie ,jako pojemności zbiorników, głównie zboża. najbardziej godnym uwagi wynikiem geometrii egipskiej był wzór na objętość ostrosłupa ściętego o podstawie kwadratowej V= (1/3)h(a2+ab+b2) ,gdzie a i b są długościami boków kwadratów, a h jest wysokością. Wynik ten, którego odpowiednika nie znała żadna ze starożytnych form matematyki, jest najbardziej godny uwagi,ponieważ nie ma żądnych danych wskazujących na to ,że Egipcjanie mieli jakiekolwiek pojęcie nawet o twierdzeniu Pitagorasa, pomimo pewnych nie potwierdzonych opowiadań o harpedonaptai, którzy rzekomo konstruowali trójkąty prostokątne przy pomocy sznurka o 3+4+5 = 12 węzłach. Musimy tu przestrzec przed przesadą w ocenie
starożytności egipskiej wiedzy matematycznej. Budowniczym piramid z 3000 r. p.n.e. i wcześniejszych przypisano wszelkiego rodzaju osiągnięcia dobrze rozwiniętej nauki, a nawet istnieje szeroko rozpowszechnione opowiadanie ,że Egipcjanie w 4212 r. p.n.e. przyjęli tzw. cykl Sothyjski dla rachuby kalendarza. Nie można poważnie przypisywać narodowi, powoli wynurzającemu się z warunków neolitycznych, tak ścisłej matematycznej i astronomicznej wiedzy; źródeł tych opowiadań należy zwykle doszukiwać się w późnych tradycjach egipskich przekazywanych nam przez Greków. Wspólną cechą starożytnych cywilizacji jest datowanie podstaw wiedzy od bardzo wczesnych czasów. Wszystkie dostępne teksty wskazują na dosyć prymitywny poziom matematyki egipskiej. Poziom astronomii egipskiej był na ogół taki sam. Przechodząc do Mezopotamii przenosimy się na poziom daleko wyższy od osiągniętego kiedykolwiek przez matematykę egipską. Możemy tu nawet obserwować postęp w ciągu wieków. Już najstarsze teksty datujące się z okresu późno
sumeryjskiego (trzeci dynastia Ur, około 2100 r. p.n.e.) wykazują wysoką sztukę rachunkową. Teksty te zawierają tablice mnożenia , w których dobrze rozwinięty system sześćdziesiątkowy łączył się z systemem dziesiętnym, istniały znaki klinowe dla 1, 60, 3600,a także 60-1, 60-2.Nie była to jednak ich najbardziej charakterystyczna cecha .Podczas gdy Egipcjanie każdą wyższą jednostkę oznaczali przez nowy symbol, Sumerowie używali tego samego symbolu, lecz wartość jego oznaczali przy pomocy jego położenia. Tak więc 1, po której następowała znów 1, oznaczała 61, a kolejno napisane znaki 5,6 i 3,oznaczały 5x602+6x60+3 = 18363. Ten system pozycyjny, w którym wartość liczby zależała od położenia znaków, nie różnił się istotnie od naszego systemu pisania liczb, w którym symbol 343 oznacza 3 x 102+4 x 10 + 3. System taki ogromnie ułatwiał rachunki, co łatwo stwierdzić próbując przeprowadzić mnożenie w naszym systemie i systemie rzymskim. System pozycyjny usuwa także wiele
trudności arytmetyki ułamków, tak jak nasz system dziesiętny. Cały ten system wydaje się być bezpośrednim wynikiem techniki administracyjnej, o czym świadczą tysiące tekstów datujących się z tego samego okresu dotyczące dostaw bydła, zboża itp. wraz z działaniami arytmetycznymi opartymi na tych transakcjach. W tym sposobie liczenia istniały pewne dwuznaczności, ponieważ znaczenie każdego znaku nie zawsze wynikało z jego położenia. Tak więc (5,6,3) mogło także oznaczać 5 x 601+6 x 600 + 3 x 60-1 = 306 1/20, a rzeczywiste znaczenie trzeba było zrozumieć z kontekstu. Inną niejasność powodował fakt ,że miejsce puste oznaczało niekiedy zero tak ,że (11,5) mogło oznaczać 11 x 602 + 5 = 39605. w końcu pojawił się specjalny symbol dla zera, lecz stało się to nie wcześniej niż w okresie perskim. Tak zwany wynalazek zera był więc logicznym wynikiem wprowadzenia systemu pozycyjnego, lecz dopiero w tym jego stadium, gdy technika rachunkowa osiągnęła pewną doskonałość. Zarówno
układ sześćdziesiątkowy , jak układ pozycyjny pozostały na zawsze własności ludzkości. Nasz obecny podział godzin na 60 minut i 3600 sekund pochodzi od Sumerów - podobnie jak podział koła na 360 stopni, stopnia na 60 minut, a minuty na 60 sekund. Istnieją powody by przypuszczać ,że ten właśnie wybór 60 raczej niż 10 wynikał z dążenia do ujednolicenia miar, choć fakt ,że 60 ma wiele dzielników, mógł również odegrać pewną rolę. Jeśli chodzi o system pozycyjny, którego trwałą wartość porównano do alfabetu, to oba te wynalazki zastąpiły skomplikowaną symbolikę przez metodę łatwo zrozumiałą dla wielu ludzi .Historia obu tych wynalazków jest jeszcze bardzo niejasna. Wydaje się rozsądnym przypuszczenie, że zarówno Hindusi jak i Grecy zapoznali się z nim na drogach karawan prowadzących przez Babilon; wiemy także ,że autorzy muzułmańscy przypisywali ten wynalazek Hindusom. Tradycja babilońska musiał jednak mieć wpływ na późniejsze rozpowszechnienie się systemu pozycyjnego. Następna grupa tekstów klinowych datuje się
z okresu pierwszej dynastii babilońskiej gdy w Babilonie panował król Hammurabi (1950 r. p.n.e.) a ludność semicka ujarzmiła pierwotnych Sumerów. W tekstach tych znajdujemy arytmetykę na stopniu dobrze rozwiniętej algebry. Podczas gdy Egipcjanie tego okresu umieli rozwiązywać tylko proste równania liniowe, Babilończycy okresu Hammurabiego całkowicie opanowali technikę posługiwania się równaniami kwadratowymi. Rozwiązywali oni równania liniowe i kwadratowe o dwóch niewiadomych, a nawet zadania zawierające równania sześcienne i dwukwadratowe. Zadania te formułowali tylko ze specjalnymi współczynnikami liczbowymi, lecz metody stosowane nie pozostawiają wątpliwości ,że znana była regułą ogólna. Oto przykład wzięty z tabliczki pochodzącej z tego okresu: "Pole A składające się z dwóch kwadratów jest równe tysiąc. Bok jednego z kwadratów jest równy 2/3 boku drugiego kwadratu zmniejszonym o 10. Jakie są boki kwadratów?". Pytanie to prowadzi do równań x2+y2 = 1000, y 2/3*x-10, których
rozwiązanie można znaleźć z równania 13/9*x2-40/3*x - 900 = 0, mającego jedno rozwiązanie dodatnie x = 30. Rzeczywiste rozwiązanie w tekście klinowym ogranicza się - jak we wszystkich zadaniach wschodnich - do zwykłego wyliczenia operacji liczbowych, które należało przeprowadzić dla rozwiązania równania kwadratowego:"Podnieś do kwadratu 10; daje to 100;odejmij 100 od 1000 daje to 900,"itd. Wyraźnie arytmetyczno-algebraiczny charakter matematyki babilońskiej jest również widoczny w geometrii. Podobnie jak w Egipcie, geometria rozwijała się na podstawie problemów praktycznych dotyczących pomiarów, lecz postać geometryczna zadań była zwykle tylko sposobem postawienia zagadnienia algebraicznego. Poprzedni przykład pokazuje, jak zadanie dotyczące powierzchni kwadratu prowadziło do nietrywialnego problemu algebraicznego, a przykład ten nie jest wyjątkiem. Teksty wykazują, że w geometrii babilońskiej okresu semickiego znane były wzory na pola prostych figur prostoliniowych i na objętości prostych brył,
choć objętość ostrosłupa ściętego nie była jeszcze znana. Tak właśnie twierdzenie Pitagorasa było znane nie tylko w przypadkach szczególnych, lecz w całej ogólności. Właściwą cechą tej geometrii był jednak jej charakter algebraiczny. Dotyczy to w równym stopniu wszystkich późniejszych tekstów, zwłaszcza tekstów datujących się z trzeciego okresu, z którego posiadamy dużą ilość tabliczek - okresu obejmującego ery:nowobabilońską, perską,,seleukidzką (od około 600 r. p.n.e. do około 300 r. n.e.).teksty tego późniejszego okresu znajdowały się pod silnym wpływem rozwijającej się astronomii babilońskiej, która w tym okresie zaczęła przyjmować prawdziwie naukowe rysy i charakteryzowała się dokładną analizą różnych efemeryd. matematyka udoskonaliła się nawet w swej technice rachunkowej; jej algebra traktowała problemy dotyczące równań, które nawet obecnie wymagają dużej zręczności rachunkowej. Istnieją obliczenia datujące się z okresu Seleukidów, sięgające do siedemnastu miejsc sześćdziesiątkowych. Tak skomplikowane
rachunki nie były już związane z problemami dotyczącymi podatków i pomiarów, lecz wynikały z problemów astronomicznych lub czystego zamiłowania do obliczeń. Wiele z tych obliczeń wykonano przy pomocy tablic, począwszy od zwykłych tablic mnożenia, aż do tablic odwrotności i pierwiastków kwadratowych i sześciennych. Jedna z tablic podaje spis liczb postaci n3 + n2, którym posługiwano się zapewne do rozwiązywania równań sześciennych, np postaci n3 + n2 = a. Istniały doskonałe przybliżenia , √2 wyrażano jako 1*5/12 (√2 = 1,414214, 1*5/12 = 1,4167) i 1√2=0,7071 jako 17/24 = 0,7083. Znajdujemy nawet wartość √2 = (1;24;51;10) = 1,414213. Pierwiastki kwadratowe jak się wydaje znajdowano przy pomocy wzoru podobnego do tego
Co do liczby π to większość tabliczek zadowala się wartością biblijną π=3. Istnieją pewne dane ,że posługiwano się też lepszymi przybliżeniami prowadzącymi do wartości około 3 1/8. Istnieją również teksty klinowe dotyczące zagadnienia procentów składanych,takich jak pytanie, po jakim czasie pewna suma pieniędzy złożona na 20% podwoi się. prowadzi to do równania (1 1/5)x = 2 , które rozwiązuje się stwierdzając najpierw ,że 3 < x < 4, a następnie przez interpolację liniową; we współczesnym zapisie:
4 - x = (1,2)4 -2 / (1,2)4 - (1,2)3
co daje 4 lata minus (2, 33, 20) miesięcy.
Jedną ze specyficznych przyczyn rozwoju algebry około 2000 lat p.n.e. wydaje się być przejęcie dawnego pisma sumeryjskiego przez nowych władców semickich - Babilończyków. Dawne pismo podobnie jak hieroglify stanowiło zbiór ideogramów, w którym każdemu pojęciu odpowiadał specjalny symbol. Semici używali ich dla zapisu fonetycznego swego własnego języka, a także przejęli część znaków z ich znaczeniem pierwotnym. Znaki te w dalszym ciągu oznaczały pojęcia, lecz były wymawiane w sposób odmienny. Ideogramy te były dobrze dostosowane do języka algebraicznego podobnie jak nasze znaki + , - itp., które w rzeczywistości są także ideogramami. W szkołach dla administratorów w Babilonie ten algebraiczny język stał się częścią obowiązującego programu szkolnego dla wielu pokoleń i ,choć państwo przechodziło przez ręce wielu władców (Kassytów,Asyryjczyków,Medów, Persów),tradycja pozostała. Trudniejsze zadania pochodzą z późniejszych okresów historii cywilizacji starożytnej, w szczególności z czasów Persów i Seleukidów.
Babilon w tym czasie przestał być ważnym ośrodkiem politycznym, lecz przez długie wieki pozostał centrum kulturalnym dużego państwa ,gdzie Babilończycy mieszali się z Persami, Grekami, Żydami, Hindusami i wieloma innymi narodowościami. We wszystkich tekstach klinowych istnieje ciągłość tradycji, która wydaje się wskazywać na ciągły rozwój lokalny. Jest prawie niewątpliwe ,że ten rozwój lokalny pobudzał także kontakty z innymi cywilizacjami, i że wpływy te miały charakter wzajemny. Wiemy ,że astronomia babilońska tego okresu wywarła wpływ na astronomię grecką, a matematyka babilońska wpłynęła na arytmetykę praktyczną; uzasadnione jest również przypuszczenie ,że nauka grecka i hinduska spotkały się za pośrednictwem babilońskich szkół pisarzy. Rola Mezopotamii w czasach Persów i Seleukidów w rozwoju starożytnej astronomii i matematyki jest jeszcze mało znana, lecz wszystkie dane wskazują ,że musiała być znaczna .Średniowieczna nauka arabska i hinduska opierały się na tradycjach nie tylko Aleksandrii, lecz także i
Babilonu.
Nigdzie w całej starożytnej matematyce wschodniej nie znajdujemy próby przeprowadzenia tego co obecnie nazywamy dowodem. Podawano tylko przepisy pewnych reguł ;"zrób to, zrób tamto" bez żadnego uzasadnienia. Nie znamy sposobu, przy pomocy którego znajdowano twierdzenia - jak ,na przykład,Babilończycy poznali twierdzenie Pitagorasa? Istnieją liczne próby wyjaśnienia sposobu , przy pomocy którego Egipcjanie i Babilończycy uzyskiwali se wyniki, lecz wszystkie opierają się na hipotezach. Nam przyzwyczajonym do ścisłych dowodów Euklidesa, ten cały wschodni sposób rozumowania wydaje się na pierwszy rzut oka dziwny i wysoce niezadowalający. Przestajemy jednak się dziwić, gdy zdamy sobie sprawę, że matematyka, której nauczamy obecnie inżynierów i techników ma jeszcze przeważnie postać przepisów: "zrób to zrób tamto", bez wysiłku w kierunku przeprowadzenia ścisłego dowodu. W wielu szkołach jeszcze teraz uczy się algebry jako układu przepisów, a nie jako nauki dedukcyjnej. Matematyka wschodnia chyba nigdy nie wyzwoliła
się spod tysiącletniego wpływu problemów techniki i administracji, dla potrzeb których została stworzona.
Sprawa greckiego i babilońskiego wpływu ma duże znaczenie dla badań nad starożytną matematyką hinduską i chińską .Rodowici uczeni i chińscy lat późniejszych podkreślali, a niekiedy jeszcze i dzisiaj podkreślają ,bardzo dawne pochodzenie swej matematyko; nie ma jednak tekstów matematycznych, których istnienie można by ściśle stwierdzić przed naszą erą. Najstarsze teksty hinduskie datują się z pierwszych stuleci naszej ery, a najstarsze teksty chińskie nawet z okresu jeszcze późniejszego. Wiemy ,że Hindusi posługiwali się dziesiętnymi systemami liczbowymi bez układu pozycyjnego. Układ taki tworzyły tzw. cyfry Brahmi, które miały specjalne znaki dla każdej z liczb 1,2,3,...,9,10,20,30,40,...100,200,300,...,1000, 2000,... symbole te sięgają co najmniej do czasów króla Asoka (300 p.n.e). Następnie mamy Sulvasutry, z których części pochodzą z roku 500 p.n.e. lub z okresu wcześniejszego; zawierają reguły matematyczne, być może dawnego rodzimego pochodzenia. Reguły te mieszczą się wśród przepisów rytualnych, z
których niektóre dotyczą konstrukcji ołtarzy. Znajdujemy tu przepisy konstrukcji kwadratów i prostokątów oraz wzory dotyczące stosunku przekątnej do boku kwadratu i równoważności kół i kwadratów. Tekst wykazuje pewną znajomość twierdzenia Pitagorasa w przypadkach szczególnych oraz zawiera parę ciekawych przybliżeń przy pomocy ułamków prostych. Ciekawy fakt, że te wyniki zawarte w Sulvasutrach nie pojawiają się w późniejszych dziełach hinduskich, wskazuje na to ,że w matematyce hinduskiej nie możemy nawet mówić o ciągłości tradycji tak typowej dla matematyki babilońskiej i egipskiej; takiej ciągłości przy ogromnym obszarze Indii może w ogóle nie było. Mogły tam istnieć różne tradycje związane z różnymi szkołami. Wiemy na przykład ,że dżajnizm , równie starożytny jak buddyzm (około 500 r. p.n.e) popierał nauki matematyczne. W świętej księdze Dżąjany podana jest wartość π = √10.
Studia nad dawną matematyką chińską bardzo utrudnia brak dostatecznych przekładów, tak ,że musimy posługiwać się źródłami z drugiej ręki jak książka Mikamiego oraz dość pobieżne prace Biota i innych. Opracowania te dają nam pewne informacje o tzw. "Dziesięciu klasykach (suan-ching)" ,zbiorze tekstów matematycznych i astronomicznych używanych przy państwowych egzaminach dla urzędników w zakresie matematyki w okresie dynastii T`ang (618-907 n.e.).Materiał zawarty w tych tekstach jest znacznie starszy; pierwszy z nich, Chaou pi, datuje się przypuszczalnie z okresu Chou (1112-256 p.n.e), a część jego zawartości może pochodzić z okresu nawet wcześniejszego. Księga I-Ching, nie należąca do Dziesięciu klasyków, jest chyba jeszcze starsza niż Chou pi;zawiera ona trochę wiadomości matematycznych pomieszanych z wróżbami i magią. Jej najbardziej znanym wynikiem matematycznym jest kwadrat magiczny
System liczbowy u starożytnych Chińczyków, jak na to wskazuje Dziesięć klasyków był dziesiętny ze specjalnym symbolami dla jednostek wyższych, podobnie jak system egipski, W celu wyrażenia wyższych jednostek powtarzano jak się zdaje, znaki oznaczające jednostki niższe i w ten sposób powstał system pozycyjny. Na przykład w Sun Tzu jednym z Dziesięciu Klasyków, datującym się z pierwszego stulecia naszej ery, znajdujemy opis posługiwania się patyczkami do wykonania mnożenia i dzielenia. Patyczki te zrobione z bambusa lub drzewa układało się w ten sposób że np.
oznaczały odpowiednio 1,2,6,7,10,20,60. prowadziło to do układu pozycyjnego o dwudziestu znakach. Genialna idea systemu pozycyjnego mogła być wynikiem trudności w znalezieniu nieograniczonej ilości układów pionowych i poziomych lasek. W obliczeniu kalendarza posługiwano się pewnego rodzaju system sześćdziesiatkowo - dziesiątkowym, w którym 60 było najwyższą jednostką zwaną "cyklem". Nie ma jednak danych na to ,że starożytna arytmetyka chińska kiedykolwiek posługiwała się własnymi systemami liczbowymi dla wykonania obliczeń równie skomplikowanych jak w matematyce babilońskiej. Matematyka Dziesięciu klasyków jest prosta i chyba nie wykraczała poza ramy matematyki egipskiej. Jest w niej trochę trygonometrii, szczególnie w hai-Tao, czyli klasyku wyspy morskiej, lecz ponieważ datuje się ona na trzeci wiek naszej ery, nie możemy tu wykluczyć roli wpływów zachodnich. Liu Hui, któremu przypisuje się autorstwo Hai-Tao, zalazł π za pomocą foremnych wieloboków wpisanych o 192 ,a nawet 3072 bokach. Arytmetyka w
"Dziewięciu rozdziałach" (Chiu Chang suan-shu), pochodząca z okresu dynastii Han (drugi i pierwszy wiek p.n.e) ,zawiera materiały o wiele starsze. Jest to najstarszy zachowany prawdziwie matematyczny chiński podręcznik. Dziewięć rozdziałów zawiera zagadnienia z arytmetyki praktycznej, z miernictwa (proporcje, regułą trzech, pewne pola i objętości z π = 3), oraz rozwiązania układów równań liniowych, np. układu x+2y+3z=26 , 2x+3y+z=34, 3x+2y+z = 39. Równania te dane są przez "macierze" ich współczynników, zapisane za pomocą pałeczek rachunkowych. Macierz ta może zawierać liczby ujemne. Matematyka chińska jest w tej wyjątkowej sytuacji ,że jej tradycje pozostały niezmienione aż do ostatnich lat, tak ,że możemy badać jej pozycję w społeczeństwie nieco lepiej ,niż miało to miejsce w matematyce egipskiej i babilońskiej ,które należą do cywilizacji zaginionych. Wiemy na przykład ,że kandydaci do egzaminu musieli opanować określony zasób wiedzy zawarty w Dziesięciu klasykach i ,ze ten egzamin opierał się
właściwie na umiejętności cytowania poprawnie tekstów z pamięci. Tradycyjna nauka była w ten sposób z całą drobiazgowością przekazywana z pokolenia na pokolenie. W takiej pełnej zastoju atmosferze kulturalnej odkrycia naukowe stały się nadzwyczaj wyjątkowe, a to znowu zapewniało niezmienność tradycji matematycznej. Tradycja ta mogła być przekazywana przez tysiąclecia i tylko niekiedy naruszana przez wielkie katastrofy historyczne. w Indiach istniały podobne warunki; mamy nawet tam przykłady tekstów matematycznych napisanych w postaci strof metrycznych dla ułatwienia nauki pamięciowej. Nie ma szczególnego powodu przypuszczać ,że starożytne przepisy praktyczne Egiptu i Babilonu bardzo różniły się od hinduskich i chińskich. Pojawienie się zupełnie nowej cywilizacji było niezbędne dla zapobieżeniu kompletnemu skostnieniu matematyki. Odmienny pogląd na życie, charakterystyczny dla cywilizacji greckiej, podniósł wreszcie matematykę do poziomu prawdziwej nauki. Powrót
W ostatnich wiekach drugiego tysiąclecia w basenie Morza Śródziemnego i wokół niego zaszły ogromne zmiany polityczne i ekonomiczne. W burzliwej atmosferze migracji i wojen po epoce brązu nastąpiła nasza epoka, zwana epoką żelaza. Znamy tylko nieliczne szczegóły z tego okresu zmian, wiemy jednak ,że niedługo przed jego końcem, przypuszczalnie około roku 900 p.n.e. zniknęły państwa minojskie i hetyckie, potęga Egiptu i Babilonu znacznie zmniejszyła się , a nowe narody wkroczyły na arenę historii. Najbardziej wyróżniali się spośród nich Hebrajczycy, Asyryjczycy, Fenicjanie i Grecy. Zastąpienie brązu żelazem stanowiło nie tylko przewrót w sztuce wojennej, lecz wskutek potanienia narzędzi produkcji spowodowało zwiększenie dochodu społecznego, pobudziło rozwój handlu i zwiększyło udział szerokich warstw społeczeństwa w sprawach gospodarczych i życiu publicznym. Znalazło to wyraz w dwóch wielkich wynalazkach: zastąpienia niezgrabnego pisma Starożytnego Wschodu przez łatwy do nauczenia się alfabet
oraz wprowadzeniu pieniądza - monety ,co ożywiło handel. Nadszedł czas, w którym kultura przestała być wyłączną domeną wschodniego stanu urzędniczego. Działalność "najeźdźców morskich" jak nazywano w tekstach egipskich niektóre z migrujących narodów, była początkowo związana z dużymi stratami kulturalnymi. Znikła cywilizacja minojska, upadła sztuka egipska, nauka babilońska i egipska zatrzymała się w swym rozwoju na setki lat. Nie dotarły do nas żadne teksty matematyczne z tego przejściowego okresu. Skoro tylko stosunki ustaliły się, Starożytny Wschód powrócił do swych tradycji, a główna rola przypadła całkowicie nowemu typowi cywilizacji - cywilizacji greckiej. Miasta, które powstały na wybrzeżach Azji Mniejszej i w Grecji, już nie były ośrodkami administracyjnymi społeczeństwa opierającego swą egzystencję na nawadnianiu. Były to miasta handlowe, w których dawni feudalni właściciele ziemscy prowadzili skazaną na niepowodzenie walkę z niezależną, uświadomioną politycznie klasą kupiecką. W siódmy i szóstym
wieku p.n.e. klasa kupiecka uzyskała przewagę i musiała z kolie stoczyć walkę z drobnymi kupcami i rzemieślnikami (demos). Wynikiem tego było podniesienie greckiego polis do roli samodzielnego miasta-państwa, nowej formy społecznej ,zupełnie innej niż dawne miasta-państwa w Sumerze i innych krajach Wschodu. Najważniejsze z tych miast-państw powstały w Jonii na wybrzeżu Anatolii. Ich rosnący handel połączył je z wybrzeżem całego Morza Śródziemnego, z Mezopotamią, Egiptem, Scytią a nawet z dalszymi krajami. Przodujące miejsce przez długi czas zajmował Milet. Miasta na innych wybrzeżach także rosły w bogactwo i znaczenie - na właściwym wybrzeżu Grecji, najpierw Korynt a potem Ateny, an wybrzeżu italskim Kroton i Tarent, na Sycylii Syrakuzy. ten nowy porządek społeczny stworzył nowy typ człowieka. Kupiec nigdy nie był bardzo niezależny ,lecz wiedział ,że i taka niezależność była wynikiem stałej i twardej walki. Był on daleki od statycznego światopoglądu człowieka Wschodu. Żył w okresie odkryć geograficznych
porównywalnym jedynie do szesnastego wieku w Europie Zachodniej; nie uznawał żadnego monarchy absolutnego ani władzy rzekomo obdarzonej niezmienną boskością. Co więcej, dzięki pracy niewolników i bogactwu mógł sobie pozwolić na pewną ilość wolnego czasu, mógł filozofować na temat tego świata. Brak jakiejś ugruntowanej religii prowadził wielu mieszkańców tych nadbrzeżnych miast do mistycyzmu, lecz równocześnie powodował wzrost jego przeciwieństw - racjonalizmu i naukowego światopoglądu. Matematyka nowoczesna zrodziła się w atmosferze jońskiego racjonalizmu - była to matematyka, która stawiała sobie nie tylko wschodnie pytanie "jak?" ale także nowoczesne, naukowe pytania "dlaczego?". Tradycyjnym ojcem matematyki greckiej był kupiec Tales z Miletu, który w pierwszej połowie szóstego wieku odwiedził Egipt i Babilon. Jeśli nawet jego postać jest legendarna, to stanowi ona coś wybitnie realnego - symbolizuje okoliczności, w których położono podstawy nie tylko nowoczesnej matematyki, lecz także nowoczesnej wiedzy
i filozofii. Wczesne greckie dociekania matematyczne miały jako główny cel zrozumienie miejsca człowieka w świecie, zgodne z racjonalnym schematem. Matematyka pomagała znaleźć porządek w chaosie, ułożyć idee w logiczne ogniwa i znaleźć podstawowe zasady. Była to najbardziej rozumowa ze wszystkich nauk i chociaż nie ulega wątpliwości ,że greccy kupcy zapoznali się ze wschodnią matematyką podczas podroży handlowych, to wcześnie stwierdzili oni, że wschodni matematycy nie uczynili prawie nic, by rozwinąć jej pierwiastki racjonalne. Dlaczego trójkąt równoramienny ma dwa równe kąty? Dlaczego pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o tej samej podstawie wysokości? Pytania te nasunęły się w sposób naturalny ludziom, którzy podobne pytania stawiali w zakresie kosmologii, biologii i fizyki. Niestety nie ma oryginalnych źródeł, które mogły by dać obraz wczesnego rozwoju matematyki greckiej. Istniejące teksty pochodzą z okresów chrześcijańskiego i muzułmańskiego są bardzo skąpo uzupełnione przez papirusy
egipskie o nieco wcześniejszej dacie. Filologia klasyczna umożliwiła nam odtworzenie tekstów datujących się od czwartego wieku p.n.e. i późniejszych - na tej drodze uzyskaliśmy rzetelne wydania Euklidesa, Archimedesa, Apoloniusza i innych wielkich matematyków starożytności. Teksty te przedstawiają jednak pewną wiedzę matematyczną już w pełni rozwiniętą. której historyczny rozwój trudno jest śledzić nawet za pomocą późniejszych komentarzy. Jeśli chodzi o okres powstawania matematyki greckiej, musimy całkowicie opierać się na na małych fragmentach przekazanych przez późniejszych autorów oraz na rozproszonych wzmiankach filozofów i innych autorów, nie będących w ścisłym tego słowa matematykami. Wysoce pomysłowa i cierpliwa krytyka tekstów pozwoliła na wyeliminowanie wielu niejasności występujących w tej wczesnej historii - dzięki pray przeprowadzonej przez takich badaczy jak Paul Tannery, T.L.Heath, H.G.Zeuthen, E.Frank i innych może przedstawić pewien logiczny , choć w dużej mierze hipotetyczny obraz greckiej
matematyki w okresie jej powstawania. W szóstym wieku p.n.e. nowa i wielka potęga wschodnia powstała na ruinach Asyrii - Persja Achmenidów. Zagarnęła ona miasta anatolijskie, lecz struktura społeczna wybrzeży Grecji była już zbyt dobrze ustalona, by mogła ponieść porażkę .Najazd perski został odparty w historycznych bitwach pod Maratonem, Salaminą i Plateą. Najważniejszym wynikiem zwycięstwa Grecji była ekspansja i hegemonia Aten, gdzie w czasach Peryklesa, w drugiej połowie piątego stulecia, wzrosły wpływy elementów demokratycznych. Były to siły prowadzące do rozszerzenia wpływów ekonomicznych i wojskowych, które uczyniły Ateny około roku 430 nie tylko pierwszym między miastami greckimi, lecz także ośrodkami nowej ,zdumiewającej cywilizacji złotego wieku Grecji. W ramach walk społecznych i politycznych filozofowie i nauczyciele tworzyli swoje teorie, a wraz z nimi , a wraz z nimi nową matematykę. Po raz pierwszy w historii grupa krytycznych umysłowości "sofistów" , mniej skrępowana tradycją niż którakolwiek
z grup wykształconych osób, zaczęła rozważać problemy natury matematycznej bardziej z punktu widzenia ich zrozumienia niż użyteczność. Byłoby wysoce interesującym śledzić dyskusje sofistów, gdyż taka postawa umysłowa umożliwiła im osiągnięcie podstawa ścisłego myślenia samego w sobie. Niestety zachował się tylko jeden zupełny matematyczny fragment z tego okresu, napisany przez jońskiego filozofa Hipokratesa z Chios. Fragment ten przedstawia wysoki poziom doskonałości matematycznej i sposób typowy traktuje wysoce "praktyczniej", lecz teoretycznie ważny przedmiot tak zwanych lunulae -półksiężyców ograniczonych przez dwa łuki kołowe. Problem znalezienia pól ograniczonych przez dwa łuki kołowe, dających się wyrazić wymiernie przez średnice, pozostaje w bezpośrednim związku z problemem kwadratury koła, jednym z podstawowych problemów matematyki greckiej. Analiza tego problemu przez Hipokratesa wykazuje ,że matematycy Złotego Wieku Grecji posiadali uporządkowany system geometrii płaskiej, w którym zasada
dedukcji logicznej przy przejściu od jednego twierdzenia do drugiego (apagoge) była w pełni stosowana. Taki był początek aksjomatyki, jak wskazuje tytuł księgi przypuszczalnie napisanej przez Hipokratesa pt. "Elementy (Stoichej)", tytułem wspólnym wszystkim greckim dziełom aksjomatycznym do Euklidesa włącznie. Hipokrates rozpatrywał pola figur płaskich, ograniczonych zarówno przez linie proste jak i łuki kołowe. Pola podobnych wycinków kołowych,dowodził, mają się do siebie jak kwadraty ich cięciw. Znał twierdzenie Pitagorasa oraz odpowiadającą mu nierówność dla trójkątów nieprostokątnych. Całe dzieło jest pełne, jeśli można tak powiedzieć, tradycji euklidesowej, mimo ,ze jest starsze od od Euklidesa o więcej niż wiek. Problem kwadratury koła jest jednym z "trzech sławnych zadań starożytności", które w owym okresie zaczęły być przedmiotem badań Były to problemy następujące:
1. Trysekcja kąta tj. problem podzielenia danego kąta na trzy równe części
2. Podwojenie sześcianu tj problem znalezienia krawędzi sześcianu o objętości dwa razy większej od danego sześcianu, tzw .sześcian delfijski.
3. Kwadratura koła, tj. znalezienie kwadratu o polu równym polu danego koła.
Waga tych problemów polega na tym, że mogą one być rozwiązane geometrycznie przez konstrukcję skończonej ilości linii i łuków kołowych,tylko w sposób przybliżony. Stanowiły one w ten sposób narzędzie służące do poszukiwań w nowych działach matematyki. Doprowadziły do odkrycia przecięć stożkowych i niektórych krzywych sześciennych,czwartego stopnia i jednej krzywej przestępnej, kwadratrysy. Postać anegdotyczna, w której zależnie od okoliczności problemy zostały przekazane (wyrocznia delficka itp) , nie powinna nam przesłaniać ich podstawowego znaczenia. Nierzadko problemy matematyczne były formułowane w postaci anegdoty lub zagadki - jabłko Newtona, złamana obietnica Cardana czy beczki wina Keplera. Matematycy wszystkich czasów, do naszych włącznie, ujawnili związki między tymi zagadnieniami greckimi a nowoczesną teorią równań, w których rozważa się zakres wymierności liczb algebraicznych, oraz teorią grup.
Przypuszczalnie poza grupą sofistów, która była w pewnym stopniu związana z ruchem demokratycznym, stałą inna inna grupa filozofów o zainteresowaniach matematycznych ,związana z partiami arystokratycznymi. Nazywali się sami pitagorejczykami od dość mitycznego twórcy ich szkoły Pitagorasa, który był prawdopodobnie mistykiem, uczonym i arystokratycznym mężem stanu. Podczas gdy większość sofistów kładła szczególny nacisk na realność zmian, pitagorejczycy ograniczali się do badania niezmiennych elementów natury i społeczeństwa .W swoim poszukiwaniu wiecznych praw wszechświata prowadzili studia nad geometrią ,arytmetyką, astronomią i muzyką (quadrivium).Najwybitniejszą spośród nich postacią był Archytas z Tarentu żyjący około 400 r p.n.e., którego szkole, jeśli wierzyć hipotezie E.Franka, można przypisać wiele cech matematyki pitagorejskiej. Arytmetyka tej szkoły byłą wiedzą wysoce spekulatywną, mającą mało wspólnego ze współczesną jej babilońską techniką rachunkową. Liczby dzielono na klasy: parzyste, nieparzyste,
parzysto-parzyste, nieparzysto-nieparzyste, pierwsze i złożone, doskonałe , zaprzyjaźnione, trójkątne, kwadratowe, pięciokątne itd. Część najbardziej interesujących wyników dotyczyła "liczb trójkątnych", które stanowiły ogniwo między arytmetyką a geometrią. Pitagorejczycy badali ich własności, przypisując im charakter mistyczny i umieszczając je w centrum filozofii kosmicznej, zmierzającej do sprowadzenia wszystkich stosunków do stosunków między liczbami ("wszystko jest liczbą"). Punkt był "jednostką w położeniu". Pitagorejczycy znali pewne własności wieloboków i wielościanów foremnych. Pokazali oni w jaki sposób można pokryć płaszczyznę przy pomocy trójkątów foremnych, kwadratów lub sześciokątów foremnych, a przestrzeń przy pomocy sześcianów, do czego Arystoteles dołączył później błędne twierdzenie ,ze można wypełnić przestrzeń przy pomocy czworościanów foremnych. Pitagorejczycy mogli również znać ośmiościan i dwunastościan foremny - tę ostatnią bryłę z powodu pirytów występujących na Półwyspie Apenińskim,
krystalizujących się w postaci dwunastościanów i będących modelem takich figur w ornamentach lub symbolach magicznych datujących się od czasów Etrusków. Występują one już u narodów celtyckich Europy Centralnej w początkach okresu żelaza ok. 900 r p.n.e. i później (z pirytu otrzymuje się żelazo).Jeśli chodzi o twierdzenie Pitagorasa, to pitagorejczycy przypisywali jego odkrycie swojemu mistrzowi, który miał ofiarować bogom 100 wołów jako ofiarę wdzięczności za nie. Widzieliśmy ,że twierdzenie to było już znane w Babilonii Hammurabiego, lecz jego pierwszy ogólny dowód pochodzi chyba ze szkoły pitagorejskiej. największym odkryciem przypisywanym pitagorejczykom było wynalezienie liczb niewymiennych jako niewspółmiernych odcinków prostej. Odkrycie to mogło być wynikiem zajmowani się średnią geometryczną a:b = b:c, która służyła jako symbol arystokracji. Jaka była średnia geometryczna liczb 1 i 2, dwóch świętych symboli? Doprowadził oto do badania stosunku boku i przekątnej kwadratu, i okazało się ,że stosunku
tego nie można wyrazić przez "liczby" , to znaczy przez liczby naturalne i ich stosunki, jedyne pojęcie dopuszczalne w arytmetyce pitagorejskiej.Przypuśćmy ,że ten stosunek jest p:q, gdzie zawsze można założyć ,ze p i q są liczbami względnie pierwszymi. Wówczas p2 = 2pq2 ,czyli p2, a zatem i p jest liczbą parzystą; przypuśćmy ,że p =2r, liczba q musi być zatem nieparzysta; ponieważ jednak q2 2r2, wiec q musi być równocześnie parzyste. Sprawa tej sprzeczności nie została rozstrzygnięta,jak to się stało na Wschodzie, czy Europie Odrodzenia, przez rozszerzenie pojęcia liczby, lecz przez odrzucenie w takich przypadkach pojęcia liczby, i poszukiwanie syntezy w geometrii. Odkrycie to, które zburzyło pogodną harmonię między arytmetyką i geometrią, zostało przypuszczalnie dokonane w ostatnich dziesięcioleciach piątego wieku przed naszą erą. Pojawiło się ono wraz z inną trudnością, wynikłą z rozważań nad realnością zmian, które dostarczyły filozofom
tematu do dociekań od tego czasu aż do dziś. Trudność tę przypisywaną Zenonowi z Elei (około 450 r. p.n.e), uczniowi Parmenidesa,konserwatywnego filozofa, który uczył ,ze rozum rozpoznaje tylko rzeczy istniejące absolutnie, a zmiany są tylko pozorne. uzyskało to matematyczny sens przy badaniu procesów nieskończonych w takich zagadnieniach, jak określanie objętości ostrosłupa. Tu paradoksy Zenona wchodzą w konflikt z pewnymi starymi i intuicyjnymi pojęciami dotyczącymi nieskończenie małych i nieskończenie wielkich .Zawsze wierzono ,że sumę nieskończenie wielu wielkości można uczynić dowolnie wielką,nawet jeśli każda z tych wielkości jest niezmiernie mała (∞ x ε = ∞), a także suma skończonej lub nieskończonej ilości wielkości o wymiarze zero jest zerem (n x 0 = 0, ∞x0 = 0). Krytyka Zenona odrzuciła te wyobrażenia, a jego cztery paradoksy wywołały niepokój,którego pozostałości można obserwować do dziś. Zostały one przekazane przez Arystotelesa i są znane jako paradoksy Achillesa, Strzały
,Dychotomii i Stadionu. Sformułowane są w taki sposób, by uwypuklić sprzeczność w pojęciach ruchu i czasu. Istotę rozumowania wyjaśnią paradoksy Achillesa i Dychotomii ,które przytoczymy własnymi słowami w następujący sposób:Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.Dychotomia:Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu.
Co więcej, biegacz nie może nawet zacząć biegu, bo ten sam paradoks stosuje się również do dystansu dowolnie zmniejszonego: tak samo, jak nie da się (według powyższego rozumowania) dobiec na dystans 100 m, nie da się również na dystans jednego metra ani na dystans jednego milimetra.Argumenty Zenona dowiodły ,że nieskończony odcinek można rozbić na nieskończenie wiele małych odcinków, z których każdy ma długość skończoną. Pokazały również ,że trudno jest wytłumaczyć, co mamy na myśli mówiąc ,że prosta "składa się" z punktów. Najprawdopodobniej sam Zenon nie miał pojęcia o matematycznych wnioskach ze swoich argumentów. Problemy prowadzące do takich paradoksów pojawiały się stale w toku dyskusji filozoficznych i teologicznych - rozpoznajemy w nich problemy dotyczące stosunków między nieskończonością aktualną i potencjalną. Paul Tannery przypuszczał jednak ,że argumenty te były bezpośrednio skierowane przeciw pitagorejskiemu wyobrażeniu przestrzeni jako sumy punktów ("punkt jest jednostką w położeniu").
W każdym razie rozumowanie Zenona wywarło niewątpliwie wpływ na myśl matematyczną wielu pokoleń. Jego paradoksy można porównać do podanych w roku 1734 przez biskupa Berkleya, który wykazał do jakich logicznych absurdów może prowadzić niepełne sformułowanie zasad rachunku różniczkowego i całkowego, nie podając jednak lepszych własnych. Argumenty Zenona przysporzyły matematykom jeszcze więcej kłopotu po odkryciu liczb niewymiernych. Czy możliwe było uprawianie matematyki jako wiedzy ścisłej? Tannery wyraził się,że można by tu mówić o "prawdziwym skandalu logicznym", o kryzysie w matematyce greckiej. Jeśli tak jest, to kryzys ten rozpoczął się w późniejszym okresie wojny peloponeskiej, która zakończyła się upadkiem Aten (404 r.).Możemy więc doszukać się jakiegoś związku między kryzysem w matematyce, a kryzysem systemu społecznego - w upadkiem Aten skończyło się panowanie demokracji niewolniczej, a rozpoczął się nowy okres przewagi arystokracji - kryzysem, który został rozwiązany w duchu nowego okresu.
Typowy dla tego okresu historii greckiej był wzrost dobrobytu pewnych grup klas rządzących połączony z równoczesnym wzrostem nędzy i niedostatkiem biednych. Rządzące klasy opierały coraz bardziej swój byt materialny na niewolnictwie, co pozwalało im poświęcić wolny czas sztukom i naukom, lecz równocześnie coraz bardziej zwiększało ich pogardę dla wszelkiej pracy ręcznej. Posiadacz wolnego czasu patrzył z góry na pracę wykonywaną przez niewolników i rzemieślników, szukając ulgi w studiach nad filozofią i etyką osobistą. Postawę taką reprezentowali Platon i Arystoteles; właśnie w Republice Platona (napisanej przypuszczalnie około 360 r) znajdujemy jasny obraz ideałów arystokracji - właścicieli niewolników. "Władcy" republiki Platona mają studiować quadrivium składające się z arytmetyki, geometrii, astronomii i muzyki, by móc zrozumieć prawa wszechświata. Taka intelektualna atmosfera prowadziła (w każdym razie w swoim wcześniejszym okresie)do rozważań nad postawami matematyki i spekulatywnej kosmologii .Z akademią
Platona byli związani co najmniej trzej wielcy matematycy, a mianowicie Archytas, Teajtet (zm. 369) i Eudoksos (ok. 408 - 355). Teajtetowi przypisuje się teorię liczb niewymiernych w takiej postaci, w jakiej podana jest w dziesiątej księdze Elementów Euklidesa. Imię Eudoksosa związane jest z teorią stosunków, która Euklides podaje w swoje piątej księdze, a także z tzw. metodą "wyczerpywania" prowadząca do ścisłego obliczania powierzchni i objętości. Oznacza t o,że Eudoksos był tym, który rozwiązał "kryzys" matematyki greckiej i którego ścisłe sformułowania pomogły w wytyczeniu kierunku rozwoju aksjomatyki greckiej i, w znacznej mierze matematyki greckiej jako całości. Teoria proporcji (stosunków) Eudoskosa zerwała z teorią arytmetyczną pitagorejczyków, która stosowała się tylko do wielkości współmiernych. Była to czysto geometryczna teoria, która w ściśle aksjomatycznej formie, uczyniła zbędnym wszelkie powoływanie się zarówno na wielkości współmierne jak i niewspółmierne. Typowa jest definicja 5 księgi V
Elementów Euklidesa:"Mówi się ,że wielkości są w jednym i tymże stosunku pierwsza do drugiej i trzecia do czwartej, kiedy wziąwszy pierwszej i trzeciej równe wielokrotne i drugiej i czwartej równe wielokrotne w każdej odmianie wielokrotnego wielokrotnych powtórzenia, każda z dwóch pierwszych wielokrotnych, każdą z dwóch drugich wielokrotnych albo razem jedna drugą przewyższa, albo razem jedna drugiej jest równa, albo razem jedna drugiej mniejsza, to jest , gdy wielokrotna pierwszej wielkości jest większą , równą lub mniejszą od wielokrotnej trzeciej wielkości, jest też wielokrotna drugiej większą, równą lub mniejszą od wielokrotnej czwartej wielkości". Obecna teoria liczb niewymiernych , rozwinięta przez Dedekinda i Weierstrassa , postępuje niemal dosłownie za sposobem myślenia Eudoksosa, lecz przez użycie nowoczesnych metod arytmetyki otwiera znacznie szersze perspektywy.Metoda wyczerpywania (słowo "wyczerpywać" pojawiło się po raz pierwszy w Gregoire de Saint Vincent (1647)), była odpowiedzią szkoły
platońskiej na argumenty Zenona. Unikała ona zasadzek nieskończonostek po protu omijając je, przez sprowadzenie problemów,które mogą prowadzić do nieskonczonostek, do problemów wymagających jedynie formalnej logiki. Gdy np. chodziło o udowodnienie ,że objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej objętości P graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości, dowód polegał na wykazaniu ,ze oba przypuszczenia V > 1/3 P i V < 1.3 P prowadzą do absurdów. Wprowadza się w tym celu pewien aksjomat znany obecnie pod nazwą aksjomatu Archimedesa, który również zakładała teoria stosunków Eudoksosa;mianowicie aksjomat :"Mówi się ,że wielkość mająca stosunek między sobą, kiedy mniejsza z nich powtórzona wielokrotnie może przewyższać większą". Metoda ta, która należała do typowego sposobu rozumowania greckiego i stosowanego w okresie Odrodzenia przy dowodach w obliczaniu pól i objętości, może łatwo być przetłumaczona na dowód czyniący zadość wymaganiom analizy nowoczesnej. Posiada oną tą wielką niedogodność ,ze dowodzony
wynik musi być z góry znany;matematyk musi więc przedtem znaleźć go przy pomocy jakichś innych, mniej ścisłych,lecz bardziej wnikliwych metod. Istnieją wyraźne dowody na to ,że używano takiej a nie innej metody. Posiadamy list Archimedesa do Eratostenesa (około 250 p.n.e) odkryty dopiero w roku 1906, w którym Archimedes opisuje nieścisła, lecz skuteczną metodę znajdowania wyników. List ten znany jest jako "Metoda". S Luaria przypuszczał ,że reprezentuje on szkołę myśli matematycznej konkurencyjną w stosunku do szkoły Eudoksosa i datującą się również wstecz aż do okresu "kryzysu".Miała ona być związana z nazwiskiem Demokryta, odkrywcy teorii atomowej. Zgodnie w przypuszczeniem S.Laurii szkoła Demokryta wprowadziła pojęcie atomu geometrycznego. Uważano ,że odcinki prostej, pola i objętości składają się z wielkiej,lecz skończonej ilości "niepodzielnych atomów" .Obliczanie objętości było sumowaniem objętości wszystkich "atomów" , z których dane ciało się składało. Teoria taka wydawać by się może absurdalna dopóki
nie zdamy sobie sprawy z tego ,że zupełnie podobnymi wyobrażeniami posługiwali się liczni matematycy przed Newtonem. W szczególności Viete i Kepler uważali ,że okrąg składa się wielu odcinków prostej. Nie ma dowodu na to ,by starożytni kiedykolwiek rozwijali poprawne teorie na tej podstawie, lecz nowoczesne pojęcie granicy umożliwiło rozwinięcie tej teorii atomowej w teorię tak samo ścisłą jak teoria wyczerpywania. Obecnie używamy zawsze pojęcia "atomów" przy formułowaniu jakiegoś problemu matematycznego teorii sprężystości, fizyki czy chemii, pozostawiając ścisłą teorię "granic" zawodowemu matematykowi. Przewagą metody "atomowej" nad metodyką wyczerpywania było , to ,że ułatwia uzyskiwanie nowych wyników. Starożytność miała więc do wyboru z jednej strony metodę ścisłą , lecz względnie jałową, z drugiej zaś nieścisłą, lecz znacznie bardziej płodną. Pouczający jest fakt ,ze praktycznie we wszystkich dziełach klasycznych stosowano metodą pierwszą. To znowu może pozostawać w związku z tym ,że matematyka stałą
się rozrywką klas posiadającej, opierającej swe istnienie na niewolnictwie, obojętnej na wkład twórczy, a zainteresowanej w kontemplacji. Może to być również odbiciem zwycięstwa platońskiego idealizmu nad demokrytejskim materializmem w filozofii matematycznej.
W roku 334 Aleksander Wielki rozpoczął podbój Persji, Gy zmarł w Babilonie w roku 323 ,cały Bliski Wschód był pod panowaniem greckim. Obszary podbite przez Aleksandra zostały podzielone między trzech jego generałów - powstały z nich trzy państwa: Egipt pod panowaniem Ptolemidów, Mezopotamia i Syria pod panowaniem Seleukidów i Macedonia pod panowaniem Antygonosa i jego następców .Nawet dolina Indusu posiadała swoich własnych książąt greckich. Rozpoczął się okres hellenizmu. Natychmiastowym wynikiem kampanii Aleksandra było przyspieszenie ekspansji kultury greckiej na dużym obszarze Wschodu. Egipt, Mezopotamia i część Indii zostały zhellenizowane. Grecy przebiegali Bliski Wschód jako kupcy, handlarze ,lekarze, poszukiwacze przygód, podróżnicy i
najemnicy. Miasta , z których wiele wówczas powstało i które można rozpoznać po ich hellenistycznych nazwach, pozostawały pod wojskową i administracyjną kontrolą grecką; ludność ich była mieszana, grecko-wschodnia. Hellenizm był jednak w istocie cywilizacją miejską; wsie pozostawały w swym pierwotnym stanie i zachowały swój tradycyjny charakter. w miastach stara kultura orientalna zetknęła się z importowaną cywilizacją grecką i częściowo zmieszały się z nią,chociaż stale pozostawał głęboki rozdział między dwoma światami. Hellenistyczni monarchowie przyjmowali wschodnie zwyczaje, mieli do czynienia z orientalnymi problemami, lecz popierali grecką sztukę , literaturę, naukę. Matematyka grecka przeniesiona w nowe otoczenie zatrzymywała wiele ze swoich tradycyjnych rysów, lecz równocześnie znalazła się pod wpływem problemów administracji i astronomii czekających na rozwiązanie na Wschodzie. Ten ścisły kontakt greckiej nauki ze Wschodem był niezwykle płodny zwłaszcza w pierwszych stuleciach. Praktycznie wszystkie
twórcze prace, które nazywamy "matematyką grecką" powstały w stosunkowo krótkim czasie od 350 do 200 r. p.n.e. - od Eudoksosa do Apoloniusza,a nawet odkrycia Eudoksosa są znane jedynie dzięki interpretacji Euklidesa i Archimedesa. jest także godne uwagi ,że największy rozkwit tej hellenistycznej matematyki miał miejsce w Egipcie pod Ptolemidami, a nie w Mezopotamii mimo bardziej zaawansowanego stanu rodzimej matematyki w Babilonii. Przyczyny tego faktu można się doszukiwać w tym ,że Egipt stanowił teraz centralną pozycję świata śródziemnomorskiego. Nowa stolica Aleksandria zbudowana na wybrzeżu morza stała się ekonomicznym i intelektualnym ośrodkiem świata hellenistycznego. Babilon natomiast upadał, będąc jedynie dalekim ośrodkiem dróg karawan, i w końcu zniknął,a zastąpiła go nowa stolica Seleukidó w Ktesifon-Seleucja. O ile jednak wiemy ,żaden z wielkich matematyków greckich nie był związany z Babilonem. Antiochia i Pergamon , również miasta należące do państwa Seleukidów ,lecz leżące bliżej Morza
Śródziemnego, posiadały wybitne szkoły greckie. Rozwój rodzimej astronomii i matematyki babilońskiej osiągnął właśnie swój szczyt pod panowaniem Seleukidów,a grecka astronomia uzyskała rozmach, którego znaczenie teraz dopiero zaczynamy lepiej rozumieć. Oprócz Aleksandrii istniały jeszcze inne ośrodki myśli matematycznej; były to przede wszystkim Ateny i Syrakuzy. Ateny stały się ośrodkiem nauczania, a Syrakuzy wydały Archimedesa,,największego z greckich matematyków. W okresie tym zaczęli się pojawiać zawodowi uczeni - ludzie ,którzy poświęcali swoje życie uprawianiu wiedzy i brali za to pieniądze. Najbardziej wyróżniający się przedstawiciele tej grupy żyli w Aleksandrii, gdzie Ptolemidzi założyli wielki ośrodek nauczania w tak zwanym Muzeum wraz jego słynną biblioteką. Tu przechowywano i i rozwijano greckie tradycje literatury i nauki. Wyniki tego przedsięwzięcia były znaczne; wśród pierwszych uczonych związanych z Aleksandrią był Euklides, jeden z najbardziej wpływowych matematyków wszystkich czasów. O życiu
Euklidesa nie wiemy nic pewnego .Działał on przypuszczalnie w okresie panowania Ptolemeusza I (306-283), któremu miał powiedzieć ,że nie istnieje królewska droga do geometrii. Najsłynniejszym i najbardziej dojrzałym jego dziełem jest trzynaście ksiąg "Elementów" ("Stoicheja"),chociaż przypisuje mu się także wiele innych mniejszych dzieł. Z innych podręczników Data zawierają to ,co można by nazwać zastosowaniem algebry do geometrii, lecz przedstawionymi w języku ściśle geometrycznym. Nie wiemy , ile z tych podręczników pochodzi od samego Euklidesa, a ile z nich stanowi kompilacje ,lecz wskazują one w wielu miejscach zadziwiającą wnikliwość. Stanowią one pierwsze podręczniki czysto matematyczne,które zachowały się ze starożytności greckiej. "Elementy" stanowią po Biblii książkę chyba najczęściej drukowaną i czytaną w historii świata zachodniego. Od wynalazku druku ukazało się więcej niż tysiąc ich wydań, a przedtem ich odpisy stanowiły najbardziej rozpowszechniony podręcznik geometrii. Większa część naszej
szkolnej geometrii jest wzięta niemal dosłownie z siedmiu spośród trzynastu ksiąg, a Euklidesowe tradycje jeszcze ciągle wywierają silny wpływ na nasze elementarne nauczanie .Dla matematyków zawodowych księgi te stanowiły zawsze przedmiot niewypowiedzianego podziwu, a ich logiczna struktura wywarła być może na myślenie naukowe większy wpływ niż jakikolwiek inny podręcznik na świecie. Wykład Euklidesa opiera się na ściśle logicznym wyprowadzaniu twierdzeń z układu definicji, postulatów i aksjomatów. Pierwsze cztery księgi dotyczą geometrii płaskiej i prowadzą do najbardziej elementarnych własności linii i kątów, do przystawania trójkątów, równości pól, twierdzenia Pitagorasa, konstrukcji kwadratu równego danemu prostokątowi ,złotego podziału, koła i wieloboków foremnych. Księga piąta przedstawia teorię wielkości niewspółmiernych Eudoksosa w jej czysto geometrycznej postaci, w szóstej księdze jest ona zastosowana do podobieństw trójkątów. To wprowadzenie podobieństwa na tak o późnym etapie jest najważniejszą
różnicą między wykładem geometrii płaskiej Euklidesa a wykładem obecnym. Przypisać to należy przesadnemu znaczeniu ,jakie przypisywał on nowej teorii wielkości niewspółmiernych Eudoksosa. Rozważania geometryczne podejmuje znów księga dziesiąta, często uważana za najtrudniejszą z ksiąg Euklidesa; zawiera ona klasyfikację geometryczną niewymierności kwadratowych i ich pierwiastków kwadratowych,jak nazywamy teraz liczby postaci 
Ostatnie trzy księgi dotyczą geometrii przestrzennej i prowadzą przez kąty bryłowe, objętości prostopadłościanów, graniastosłupów, ostrosłupów do kuli i do tego , co można uważając za punkt kulminacyjny: teorii pięciu wielościanów foremnych ("platońskich") oraz dowodu ,że istnieje ich tylko pięć. Księgi VII i IX są poświęcone teorii liczb -technice rachunkowej,lecz takim pitagorejskim zagadnieniom jak podzielność liczb całkowitych, sumowanie postępów geometrycznych oraz pewnym właściwościom liczb pierwszych .Znajdujemy tu zarówno algorytm Euklidesa dla wyznaczania
największego wspólnego dzielnika danego układu liczb jak i twierdzenie Euklidesa ,ze istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych >Szczególnie interesując jest twierdzenie VI, 27, które zawiera pierwsze zagadnienie na maksimum, jakie do nas dotarło wraz z dowodem,że kwadrat ma największe pole ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie. Postulat piąty w księdze I (stosunek "postulatu" i "aksjomatu" u Euklidesa nie jest u Euklidesa jasne)jest równoważny tzw. "aksjomatowi równoległości" zgodnie z którym przez punkt leżący poza prostą można przeprowadzić jedną i tylko jedną prostą równoległą do prostej danej. Próby sprowadzenia tego aksjomatu do twierdzenia doprowadziły w XIX wieku, przez przyjęcie go za aksjomat, do pełnego sprecyzowania nauki Euklidesa oraz do odkrycia innych, tzw. nieeuklidesowych geometrii .Rozumowanie algebraiczne podane jest u Euklidesa całkowicie w postaci geometrycznej. Wyrażenie √A określa się jako bok kwadratu o polu A, iloczyn a*b jako pole prostokąta o bokach a i b. Ten
sposób postępowania był najpierw w teorii stosunków Eudoksosa, która świadomie odrzucała wyrażenia liczbowe dla odcinków prostej i traktowała wielkości niewspółmierne czysto geometrycznie,podczas gdy arytmetyka ograniczała się tylko dla "liczb" (całkowitych) i ich stosunków. Jaki cel miał Euklides pisząc swoje Elementy?. Możemy z pewną dozą pewności powiedzieć ,że chciał on zebrać w jednym dziele trzy wielkie odkrycia niedalekiej przeszłości: teorię proporcji Eudoksosa, teorię wielkości niewymiernych Teajtetai teorię pięciu wielościanów foremnych, która zajmowała wybitne miejsce w kosmologii Platona. Były to trzy typowe greckie osiągnięcia. Największym matematykiem okresu hellenistycznego i całej starożytności był Archimedes (287-212), żyjący w Syrakuzach jako doradca króla Herona. Jest on jedną z niewielu naukowych postaci starożytności będących czymś więcej niż imieniem - zachowywały się pewne dane dotyczące jego życia i osoby. wiemy ,że zginął ,gdy Rzymianie zajęli Syrakuzy, po oddaniu swych
technicznych umiejętności na usługi obrońców miasta. Zadziwia nas jego zainteresowanie zastosowaniami praktycznymi,tak osobliwe w zestawieniu ze wzgardą , z jaką odnosili się do nich współcześni platonicy lecz wyjaśnienie znajdujemy często w przytaczanym cytacie "Marcelllusa" Plutarcha: "jakkolwiek odkrycia te zyskały mu reputację nadludzkiej bystrości, nie raczył on zostawić po sobie ,żadnego napisanego dzieła o tym przedmiocie, lecz uważając za niegodne i nieczyste spray mechaniki i wszelkiej sztuki ,której celem jest zysk i użyteczność, kierował całą swą ambicje ku spekulacjom, których całe piękno i subtelność nie są splamione żadną domieszką ogólnych życiowych potrzeb".Najważniejsze osiągnięcia Archimedesa w matematyce należą do dziedziny, którą nazywamy obecnie rachunkiem całkowym, dotyczącej twierdzeń o polach figur płaskich i objętości brył .W swym "Pomiarze koła" przybliżał on okrąg przez wpisane i opisane wieloboki foremne. Prowadząc swoje przybliżenia aż do wieloboków o 96 bokach znalazł (we
współczesnych oznaczeniach) :
co zwykle się wyraża mówiąc ,że π równa się około 3 1/7 .W księdze Archimedesa "O kuli i walcu" znajdujemy wzory na pole powierzchni kuli (w takiej postaci ,że pole powierzchni kuli jest cztery razy większe od pola powierzchni jej wielkiego koła) oraz na objętość kuli (w takiej postaci ,ze objętość ta jest równa 2/3 objętości opisanego walca).W księdze Archimedesa "Kwadratura paraboli" znajduje się jego wzór na pole odcinka paraboli (4/3 pola wpisanego trójkąta o tej samej podstawie i wierzchołku w punkcie, gdzie styczna jest równoległa do podstawy) .W dziele "Spirale" znajdujemy spiralę Archimedesa wraz z obliczeniami pola; w dziele "O konoidach i sferoidach" znajdujemy objętości brył ograniczonych kwadrykami obrotowymi. Imię Archimedesa jest związane z jego twierdzeniem o utracie wagi bryły zanurzonej w cieczy, które można znaleźć w jego dziele "O ciałach pływających" - traktacie o hydrostatyce. We wszystkich tych dziełach Archimedes łączył zdumiewająca oryginalność myśli
z mistrzostwem techniki rachunkowej i precyzją dowodzenia. Typowy dla tej precyzji jest już cytowany "aksjomat Archimedesa" oraz systematyczne posługiwanie się metodą wyczerpywania dla dowodzenia wyników całkowań. Widzieliśmy jak równocześnie znajdował swoje wyniki na drodze heurystycznej (przez "ważenie" niekończonostek), lecz następnie ogłaszał je, zgodnie z najsurowszymi wymaganiami ścisłości. Swą biegłością rachunkową Archimedes różnił się od większości twórczych matematyków greckich. Nadał oto jego dziełu, obok wszystkich jego typowo greckich cech, pewne piętno wschodnie. Można się tego doszukać w jego "Problemie bydła",bardzo skompilowanym zagadnieniu dotyczącym równań nieoznaczonych, które można interpretować jako zagadnienie prowadzące do rozwiązania równania typu Pella: t2 - 4729494u2 = 1 w liczbach całkowitych ,mającego rozwiązanie w bardzo dużych liczbach. jest to tylko jedna spośród wielu danych na to ,że tradycja platońska nigdy nie opanowała całkowicie matematyki
hellenistycznej;tak samo było z astronomią hellenistyczną. Wraz z trzecim wiekiem matematykiem okresu hellenistycznego, Apoloniuszem z Pergi, mamy znowu do czynienia z grecką tradycją geometryczną .Apoloniusz (ok. 260-170), który prawdopodobnie nauczał w Aleksandrii i w Pergamon, napisał traktat "Stożkowe" składający się z ośmiu ksiąg, z których siedem dochowało się do naszych czasów, trzy tylko w tłumaczeniu arabskim. Jest to traktat o elipsie, paraboli i hiperboli, wprowadzonych jako przecięcie stożka kołowego, omawiający także i ewoluty (rozwinięte) stożkowych .znamy te stożkowe z nazw podanych przez Apoloniusza; odwołują się one do pewnych własności pól tych krzywych, które w dzisiejszych oznaczeniach opisane są przez równania y2 = px, y2 = px ± p/d*x2 (plus daje hiperbolę ,minus daje elipsę).Parabola znaczy tu "przyłożenie", elipsa - "przyłożenie z niedomiarem", hiperbola - "przyłożenie z nadmiarem". Apoloniusz nie używał naszej naszej metody współrzędnych, nie
znał bowiem pojęć algebraicznych (odrzucając je prawdopodobnie świadomie pod wpływem szkoły Eudoksosa), jednak wiele jego wyników można natychmiast przetłumaczyć na język współrzędnych - dotyczy to też znalezionej przez niego własności rozwiniętych która jest identyczna z równaniem Kartezjusza. Można także powiedzieć o innych dziełach Apoloniusza, których części się zachowały; dotyczą one geometrii algebraicznej, w geometrycznym, a więc jednorodnym języku .Znajdujemy tu problem kół stycznych Apoloniusza, żądający znalezienia okręgów stycznych do trzech okręgów danych; okręgi te mogą być prostymi lub punktami. U Apoloniusza spotykamy się po raz pierwszy w wyraźnej formie z żądaniem ograniczenia się przy konstrukcjach geometrycznych wyłącznie do cyrkla i liniału, co nie było zatem "ogólnogreckim" żądaniem,jak czasem się przypuszcza.
Matematyka poprzez całą swoją historię ,aż do czasów nowożytnych jest nierozłącznie związana z astronomią. Potrzeby nawadniania i rolnictwa w ogóle, a w pewnym zakresie także żeglugi zapewniły astronomii pierwsze miejsce w nauce wschodniej i hellenistycznej jej rozwój wpłynął znacznie na rozwój matematyki. Rachunkowa ,a często także i pojęciowa treść matematyki były w znacznym stopniu uwarunkowane astronomią; rozwój astronomii w równej mierze zależał od poziomu dzieł matematycznych. Budowa układu planetarnego jest taka ,ze stosunkowo proste metody matematyczne powalają uzyskać daleko idące rezultaty; są one równocześnie wystarczająco skomplikowane, by pobudzić do udoskonalenia tych metod, jak również samych teorii astronomicznych. Sam Wschód w okresie poprzedzającym erę hellenistyczną poczynił znaczne postępy w astronomii rachunkowej;
dotyczy to specjalnie Mezopotamii w późnym okresie asyryjskim, i perskim. Obserwacje prowadzone tam systematycznie przez długi czas, pozwoliły na godne uwagi wyjaśnienie wielu efemeryd. Ruch księżyca był dla matematyków starożytności równie fascynującym jak dla matematyków osiemnastego wieku; astronomowie babilońscy (chaldejscy) poświęcili jego zbadaniu wiele wysiłku .Zetknięcie się nauki greckiej i babilońskiej podczas okresu Seleukidów wywołało wielki postęp teoretyczny i rachunkowy, a tam gdzie wiedza babilońska trzymała się nadal swych tradycji kalendarzowych, grecka osiągnęła niektóre z najznaczniejszych swoich sukcesów. Najstarszym znanym greckim wkładem do astronomii teoretycznej była teoria planetarna tegoż Eudoksosa, którego prace wpłynęła na Euklidesa.
Dążeniem jej było wytłumaczenie ruchu planet (wokół ziemi) jako nakładanie się ruchów czterech obracających się współśrodkowych sfer, z których każda ma własną oś o końcach leżących na sferze otaczającej .Zastąpienie opisu (kroniki) zjawisk niebieskich przez ich wytłumaczenie było czymś całkowicie nowym i typowo greckim. Wbrew swej surowej formie teoria Euklidesa zawierała zasadniczą ideę wszystkich teorii planetarnych aż do siedemnastego wieku, która to idea polegała na wyjaśnieniu nieregularności w orbitach pozornych księżyca i planet przy pomocy superpozycji ruchów obrotowych. Na niej opiera się jeszcze strona rachunkowa naszych nowoczesnych teorii dynamicznych, z chwilą gdy wprowadza się szeregi Fouriera .Następcą Eudoksosa był Arystarch z Samos - Kopernik starożytności (około 280 r. p.n.e.),
któremu Archimedes przypisał przypuszczenie ,że słońce, a nie ziemia jest ośrodkiem ruchu planet. Hipoteza ta znalazła mało zwolenników w starożytności, chociaż przypuszczenie ,że ziemia obraca się wokół swoje osi było szeroko rozpowszechnione. Mały sukces teorii heliocentrycznej był głównie przypisywany autorytetowi Hipparcha, często uważanego za największego astronoma starożytności. Hipparch z Nicei prowadził obserwacje między rokiem 161-126 p.n.e. Tylko niewielka część jego prac dotarła do nas bezpośrednio. Głównym źródłem naszych wiadomości o jego osiągnięciach jest Ptolemeusz ,żyjący o trzy wieki później. Dużą część wielkiego dzieła Ptolemeusza Almagest można przypisać Hipparchowi,w szczególności użycie kół ekscentrycznych oraz epicykli w celu wyjaśnienia ruchu słońca, księżyca i planet ,jak również odkrycie precesji punktów równonocy.
Hipparchowi przypisuje się również metodę określania długości i szerokości geograficznej metodą astronomiczną, mimo to starożytni nigdy nie potrafili stworzyć naukowej organizacji,której celem byłoby opracowanie na większą skalę map. Uczeni w starożytności byli na to zbyt rozproszeni zarówno w przestrzeni jak i czasie. Dzieło Hipparcha jest ściśle związane z osiągnięciami astronomii babilońskiej, która osiągnęła w tym okresie swój najwyższy szczyt; możemy dzieło jego uważać za najważniejszy owoc naukowy kontaktów grecko-wschodnich w okresie hellenistycznym.
Trzecim a zarazem ostatnim , okresem społeczeństwa starożytnego jest okres panowania Rzymu. Syrakuzy zostały podbite przez Rzymian w 212, Kartagina w roku 146m Grecja w 146, Mezopotamia w 64, Egipt w 30 p.n.e. Cały rządzony przez Rzym Wschód, łącznie z Grecją, stał się kolonią podporządkowaną administracji rzymskiej.
Rządy te nie wywierały wpływu na strukturę ekonomiczną krajów wschodnich, dopóki były wpłacane w porę ciężkie podatki i inne świadczenia. Państwo rzymskie w sposób naturalny podzieliło się na zachodnią część z ekstensywnym rolnictwem opierającym się na pracy niewolników oraz na część wschodnią z intensywnym rolnictwem, w którym nigdy nie używano niewolników rezerwując ich do prac domowych i publicznych. Pomimo wzrostu pewnych miast i handlu obejmującego znany świat zachodni, struktura ekonomiczna państwa rzymskiego w dalszym ciągu opierała się na rolnictwie.
Rozpowszechnienie się ekonomii opartej na niewolnictwie fatalnie wpłynęło w takim społeczeństwie na rozwój oryginalnej pracy naukowej. Posiadacze niewolników jako klasa byli rzadko zainteresowani w wynalazkach technicznych, częściowo dlatego ,że niewolnicy mogli wykonywać tanio każdą pracę,częściowo z obawy dania jakiegokolwiek narzędzia w ręce niewolników, którzy mogliby przy jego pomocy rozwinąć swą inteligencję. Wielu członków klasy rządzącej parało się sztuką i nauką, lecz to paranie się prowadziło częściej do mierności niż do produktywnego myślenia. W czasie gdy wraz z upadkiem handlu niewolnikami upadła ekonomia rzymska, pozostało niewielu ludzi uprawiających nawet mierną naukę minionych stuleci. Dopóki Imperium Rzymskie wykazywało pewną stabilność, nauka wschodnia w dalszym ciągu prosperowała jako ciekawa mieszanina elementów hellenistycznych i wschodnich.
Pomimo ,że oryginalność i rozmach stopniowo zanikały, trwająca przez wiele lat pax Romana pozwalała na niezakłócone prowadzenia tradycyjnych spekulacji. Przez parę wieków z pax Romana współistniała pax Sinensis ląd euro-azjatycki nigdy nie znał takiego okresu ,ja za panowania Antoniusa w Rzymie i dynastii Han w Chinach. Wskutek tego przenikanie wiedzy na cały kontynent od Rzymu i Aten do Mezopotamii,Chin i Indii stało się łatwiejsze niż kiedykolwiek przedtem .Wiedza hellenistyczna przenikała do Chin i Indii i podlegała z kolei wpływom nauki tych krajów. Nieliczne zdobycze babilońskiej astronomii i greckiej matematyki dotarły do Italii, Hiszpanii i Galii przykładem jest rozpowszechnienie się sześćdziesiątkowego podziały kąta i godziny w całym Imperium Rzymskim.
Istnieje teoria E.Woepckego, która datuje rozprzestrzenienie się w Europie tzw. hindusko-arabskich cyfr na okres neopitagorejskich wpływów w Imperium późnorzymskim. Fakt tego rozprzestrzenienia w tym czasie może być prawdziwy lub nie, lecz jeśli wydarzenie to było aż tak odległe w czasie, to było ono raczej wywołane wpływami handlu niż filozofii. Aleksandria pozostała ośrodkiem matematyki starożytnej. Prowadzono tam badania oryginalne, choć kompilacje i komentarze stały się bardziej uprawianą formą nauki. Wiele prac matematyków i astronomów starożytnych dotarło do nas właśnie przez tych kompilatorów; niezwykle trudno jest niekiedy stwierdzić co przepisali a co odkryli sami. Próbując zrozumieć stopniowy upadek matematyki greckiej, musimy wziąć pod uwagę jej stronę techniczną. Niezręczny geometryczny sposób wykładu z konsekwentnym odrzucaniem znakowań algebraicznych, uczynił niemal niemożliwe jakiekolwiek wyjście poza przecięcia stożkowe.
Algebrę i rachunek pozostawiono pogardzonym uczonym wschodnim, których wiedza została pokryta wierzchnią warstwą greckiej cywilizacji. Niesłusznie byłoby jednak przypuszczać ,że matematyka aleksandryjska byłą czysto grecka w tradycyjnym euklidesowo platońskim znaczeniu; sztuka rachunkowa i algebra typu egipsko-babilońskiego była uprawiana na równi z abstrakcyjnymi dowodami geometrycznymi. Wystarczy pomyśleć o Ptolemeuszu, Heronie, Diofantosie, by przekonać się o tym fakcie. Jedynym węzłem między wieloma rasami i szkołami było wspólne używanie języka greckiego
Jednym z najwcześniejszych matematyków aleksandryjskich okresu rzymskiego był Nikomachos z Gerasy (100 r. n.e), którego Wstęp do arytmetyki jest najbardziej wyczerpującym znanym wykładem arytmetyki pitagorejskiej .Zawiera on w znacznej części to samo co arytmetyczne księgi Elementów Euklidesa, lecz podczas gdy Euklides przedstawiał liczby przy pomocy odcinków prostej, Nikomachos używa oznaczeń arytmetycznych ze zwykłym językiem dla wyrażenia liczb nieokreślonych. Jego wykład liczb wielobocznych i ostrosłupowych wywarł wpływ na matematykę średniowieczną,zwłaszcza za pośrednictwem Boecjusza .Jednym z największych dzieł tego drugiego okresu aleksandryjskiego był Wielki zbiór Ptolemeusza ,znany bardziej pod zarabizowanym tytułem Almagest (około 150 r. n.e.)
Almagest był astronomicznym dziełem napisanym z wielkim mistrzostwem i oryginalnością, nawet jeśli wziąć pod uwagę ,że wiele zaczerpnął od Hipparcha, Kidinnu i innych astronomów babilońskich .Zawierał on również trygonometrię z tablicą cięciw odpowiadających różnym kątom, równoważną tablicy sinusów kątów od 0o do 90o, co pół stopnia. Ptolemeusz dla cięciwy odpowiadającej 1o znalazł watość (1,2,50) = 1/60+1/602+50/603 = 0,017268;
wartość poprawna jest 0,017453 ; dla π wartość
(3,8,30) = 327 /120 = 3,14166
W Almagescie znajdujemy wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy dwóch kątów wraz z początkami trygonometrii sferycznej. Twierdzenia były przedstawione w postaci czysto geometrycznej;nasze współczesne oznaczenia trygonometryczne datują się od Eulera. Tj. od osiemnastego wieku .W księdze tej spotykamy się także z twierdzeniem Ptolemeusza o czworoboku wpisanym wkoło. W Planisphaerium Ptolemeusza znajdujemy omówienie rzutu stereograficznego, a jego Geographia określa położenie miejscowości na ziemi za pomocą szerokości i długości geograficznej stanowiących dawne przykłady współrzędnych na sferze. Rzut stereograficzny stanowi podstawę budowy astrolabium narzędzia do określania położenia na ziemi znanego już w starożytności i powszechnie używanego aż do wprowadzenia sekstansu w osiemnastym wieku. Nieco starszym od Ptolemeusza był Menelaos (około 100 r. n.e.),którego Sphaerica zawierały geometrię kuli, wraz z badaniem trójkątów sferycznych, przedmiotu pominiętego przez Euklidesa
Znajdujemy tu twierdzenie Menelaosa o trójkątach w jego uogólnieniu na kulę. Podczas gdy astronomia Ptolemeusza zawierała sporo rachunków na ułamkach sześćdziesiątkowych, wykład Menelaosa był geometryczny w duchu czysto euklidesowym .Do okresu Menelaosa można także zaliczyć Herona. W każdym razie wiemy ,że opisał on dokładnie zaćmienie księżyca w 62 r. n.e.. Heron był pisarzem encyklopedycznym pisał o geometrii , rachunku i mechanice, w pracach jego jest ciekawa mieszanina nauki greckiej i wschodniej. W swoich Metrica wyprowadził on wzór na pole trójkąta w postaci czysto geometrycznej; samo twierdzenie zostało przypisane Archimedesowi. W tychże Metrica znajdujemy typowo egipskie ułamki jednostkowe.
Wzór Herona na objętość ostrosłupa ściętego o podstawie kwadratowej może być łatwo sprowadzony do podobnego wzoru znalezionego w starym moskiewskim papirusie .Natomiast jego pomiar objętości pięciu wielościanów foremnych był utrzymany w duchu Euklidesa. Cechy wschodnie są jeszcze wyraźniejsze w dziele Arthmetica Diofantosa (około 250 r. n.e.). Przechowało się tylko sześć ksiąg oryginalnych,całkowita ilość ksiąg jest przedmiotem przypuszczeń. Ich zręczne podejście do równań nieoznaczonych wskazuje na to ,że starożytna algebra Babilonu, a być może Indii nie tylko przechowała się pod pokrywą greckiej cywilizacji, lecz także została wzbogacona przez aktywnych twórców. Jak i kiedy to się stało, nie wiadomo ,tak samo,jak nie wiadomo, kim był Diofantos mógł być zhellenizowanym Babilończykiem. Księga jego jest jednym z najbardziej interesujących dzieł jakie się zachowały z czasów grecko-rzymskich. Zestaw problemów Diofantosa jest szeroki,a a ich rozwiązania są często wysoce pomysłowe.
Analiza diofantyczna polega na rozwiązywaniu równań nieoznaczonych postaci Ax2 + Bx + C = y2, Ax3 + Bx2 + Cx + D = y2 lub układów takich równań. Typowe dla Diofantosa jest to, że interesował się on tylko rozwiązaniami dodatnimi i wymiernymi; rozwiązania niewymierne nazywał niemożliwymi .Starannie dobierał współczynniki, tak aby uzyskać dodatnie rozwiązanie wymierne, którego poszukiwał, Wśród jego równań znajdujemy x2-26y2 =1, x2-30y2 = 1 zwane obecnie równaniem Pella. Diofantos podał także szereg faktów z teorii liczb, jak np. twierdzenie ,że jeśli każda z dwóch liczb całkowitych jest sumą dwóch kwadratów.
To ich iloczyn może być na dwa sposoby rozłożony na dwa kwadraty. Są u niego również twierdzenia o rozkładzie liczb na sumę trzech i czterech kwadratów. U Diofantosa spotykamy się po raz pierwszy z systematycznym użyciem symboli algebraicznych. Miał on specjalne oznaczenia na niewiadomą, na minus, na odwrotność. Oznaczenia te miały jeszcze raczej charakter skrótów niż symboli algebraicznych w naszym sensie (tworzą one tzw. algebrę retoryczną); dla każdej potęgi niewiadomej istnieje specjalny symbol. Nie ulega wątpliwości ,że mamy tu do czynienia nie tylko jak w Babilonie ,z zagadnieniami arytmetycznymi o określonym charakterze algebraicznym, lecz także z dobrze rozwiniętym znakowaniem algebraicznym, które w dużym stopniu prowadziło do rozwiązywania problemów bardziej skomplikowanych,jakich przedtem nie stawiano. Ostatnie z wielkich dzieł matematycznych aleksandryjskich napisał Pappus (koniec trzeciego wieku)
Jego Zbiór (Synagoge), był pewnego rodzaju podręcznikiem do studiowania geometrii greckiej wraz z uwagami historycznymi, ulepszeniami i odmianami istniejących twierdzeń i dowodów. Czytano go raczej wraz z dziełami oryginalnymi niż niezależnie. Wiele z wyników autorów starożytnych znamy tylko w formie przekazanej przez Pappusa -na przykład problemy kwadratury koła,podwojenia sześcianu
oraz trysekcji kąta . Interesujący jest rozdział o figurach izoperymetrycznych, w którym znajdujemy fakt ,że koło ma większe pole niż dowolny wielobok o tym samym obwodzie. Znajduje się tu też uwaga ,ze komórka plastra pszczelego posiada pewne własności maksymalno-minimalne. Półforemne bryły Archimedesa są również znane ze wzmianek Pappusa. Podobnie jak Arytmetyka Diofantosa, Zbiór Pappusa jest porywającą książką, której problemy wywołały wiele późniejszych badań. Szkoła aleksandryjska stopniowo zamierała wraz z upadkiem społeczeństwa starożytnego. Pozostawała ona jako całość bastionenm pogaństwa przeciwko postępom chrześcijaństwa i wielu z jej matematyków zapisało swe nazwiska także w historii starożytnej filozofii. Proklos (410 485) którego Komentarz do pierwszej księgi Euklidesa jest jednym z głównych naszych źródeł do historii matematyki greckiej, stał na czele neoplatońskiej szkoły w Atenach.
Innym przedstawicielem tej szkoły w Aleksandrii była Hypatia, która pisała komentarze do matematyków klasycznych. Została ona zamordowana w roku 415 przez zwolenników św. Cyryla. Zdarzenie to natchnęło Charlesa Kingsleya do napisania o niej powieści. Te szkoły filozoficzne wraz ze swymi komentarzami przeżywały okresy rozkwitu i upadku przez całe stulecia. Akademia w Atenach została rozwiązana jako pogańska przez cesarza Justyniana (529), lecz tym czasie powstawały nowe szkoły w Konstantynopolu i Jundiszapurze. Wiele starych rękopisów przetrwało W Konstantynopolu , podczas gdy komentatorzy utrwalali w dalszym ciągu pamięć greckiej nauki i filozofii w języku greckim. W roku 630 Aleksandria została zajęta przez Arabów, którzy cywilizację grecką w Egipcie zastąpili przez arabską. Nie ma powodu sądzić,że Arabowie zniszczyli słynną bibliotekę aleksandryjską, albowiem wątpliwe jest czy ta biblioteka jeszcze istniała w tym czasie.
Faktycznie podboje arabskie nie zmieniły materialnego charakteru badań matematycznych w Egipcie. Może tu mieć miejsce fakt pewnego cofnięcia się lecz kiedykolwiek znów pojawiają się wiadomości o matematyce egipskiej, to trzyma się ona ściśle tradycji grecko orientalnej (np. Alhazen). Tą część kończymy pewnymi uwagami o greckiej arytmetyce i logistyce. Matematycy greccy odróżnili arytmetykę, wiedzę o liczbach (arithmoi) i logistykę , obliczenia praktyczne. Termin arihmos wyraża jedynie pojęcie liczby naturalnej, pewnej wielkości składającej się z jednostek (Euklides VII, definicja 2 ,zaznacza to także, że jedności nie uważano za liczbę. Nasze pojęcie liczby rzeczywistej było nieznane,tak więc odcinek prostej nie zawsze posiadał długość.
Rozumowanie geometryczne zastępowało nasze rozumowanie o liczbach rzeczywistych. Euklides, gdy chciał wyrazić fakt ,że pole trójkąta jest równe połowie podstawy pomnożonej przez wysokość musiał powiedzieć ,że jest ono połową pola prostokąta o tej samej podstawie i leżącego między tymi samymi równoległymi. Twierdzenie Pitagorasa było związkiem między polami trzech kwadratów, a nie pomiędzy długościami trzech boków. Elementy Euklidesa zawierają teorię równań kwadratowych, lecz posługują się przykładaniem pól, a ponieważ pierwiastki są odcinkami uzyskanymi przy pomocy pewnych konstrukcji, możemy powiedzieć, że jedynymi dopuszczalnymi pierwiastkami są pierwiastki dodatnie.
Jednakże w Elementach odcinek nie musi mieć koniecznie mieć przypisanej wartości liczbowej. Ten sposób pojmowania odcinka i liczby powinien być uważany za celowy akt wywołany zwycięstwem idealizmu platońskiego wśród grup greckiej klasy rządzącej zainteresowanych matematyką, ponieważ współczesne wschodnie pojęcia dotyczące związków między algebrą a geometrią nie dopuszczały żadnych ograniczeń co do pojęcia liczby. Wszystkie dane pozwalają przypuszczać ,że dla Babilończyków twierdzenie Pitagorasa było liczbowym związkiem między długościami boków i z tym właśnie typem matematyki zapoznali się matematycy jońscy .Zwyczajna matematyka rachunkowa, znana jako logistyka przeżywała znaczny rozkwit we wszystkich okresach historii greckiej. Euklides ją odrzucał, lecz Archimedes i Heron posługiwali się nią zręcznie i bez skrupułów.
Opierała się ona , w zależności od kresu, na różnych systemach liczbowych. Wczesna grecka metoda liczenia opierała się na dziesiętno-addytwynej zasadzie, podobnie jak metoda Egipcjan i Rzymian. W okresie aleksandryjskim ,a być może jeszcze wcześniej pojawiła się metoda pisania liczb, która zapanowała na okres piętnastu stuleci nie tylko wśród uczonych lecz także kupców i urzędników. Używała ona kolejnych symboli alfabetu greckiego dla oznaczania najpierw dziewięciu symboli 1,2,...,9, następnie dziesiątek od 10 do 90 i wreszcie setek od 100 do 900. Dołączono ponadto trzy starte greckie litery dla otrzymania potrzebnych 27 symboli. Przy użyciu tego systemu każda liczba mniejsza od 1000 mogła być
zapisana przy pomocy najwyżej trzech symboli; liczby większe od 1000 mogły być wyrażane przez proste rozszerzenie systemu. System ten używany jest w istniejących rękopisach dzieł Archimedesa, Herona oraz wszystkich innych autorów klasycznych. Istnieją dowody archeologiczne ,że systemu tego nauczano w szkołach. Był to system dziesiętny niepozycyjny. Ten brak znaczenia pozycji oraz używanie nie mniej niż 27 znaków, uważano niekiedy za dowód niższości systemu. Łatwość z jaką starożytni matematycy posługiwali się nim, jego przyjęcie przez greckich kupców, nawet w bardzo skomplikowanych transakcjach, jego wielka trwałość we wschodniorzymskim cesarstwie, aż do samego końca w roku 1453 -wydaje się świadczyć o pewnych zaletach systemu. Pewna praktyka z tym systemem może nas rzeczywiście przekonać o tym ,że skoro opanuje się znaczenie symboli, dość łatwo można wykonać cztery elementarne działania arytmetyczne.
Rachunki na ułamkach z właściwym znakowaniem są również proste, lecz Grecy nie byli konsekwentni powodu barku jednolitego systemu. Używali egipskich ułamków jednostkowych, babilońskich ułamków sześćdziesiątkowych ,a także ułamków w zapisie przypominającym nasz. Ułamki dziesiętne nie zostały nigdy wprowadzone ten wielki wynalazek pojawił się dopiero w późnym europejskim Odrodzeniu, kiedy już aparat rachunkowy rozszerzył się znacznie poza używany w starożytności. Nawet ułamki dziesiętne zostały wprowadzone do wielu podręczników szkolnych dopiero w osiemnastym i dziewiętnastym wieku.
Istnieje pogląd ,że system alfabetyczny był szkodliwy dla rozwoju algebry greckiej, ponieważ użycie liter jako określonych liczb uniemożliwiało ich użycie dla oznaczenia liczb ogólnych, jak to czynimy w naszej algebrze. Takie formalne wytłumaczenie braku algebry przed Diofantosem musimy jednak odrzucić, nawet jeżeli przypisujemy duże znaczenie właściwemu zapisowi, gdyby autorzy klasyczni interesowali się algebrą, byliby stworzyli odpowiednią symbolikę, której faktycznie dał początek Diofantos. Problem algebry greckiej może być wyjaśniony tylko w oparciu o szersze zbadanie związków między matematykami greckimi a algebrą babilońską, w ramach całości stosunków między Grecją a Wschodem. Powrót
WSCHÓD PO UPADKU SPOŁECZEŃSTWA GRECKIEGO
Starożytna cywilizacja Bliskiego Wschodu mimo wszystkich wpływów hellenistycznych nigdy nie znikła .Zarówno greckie jak wschodnie wpływy wyraźnie występują w nauce aleksandryjskiej; Konstantynopol i Indie były także ważnymi punktami ,w których stykały się Wschód i Zachód, W roku 395 Teodozjusz I założył cesarstwo bizantyjskie; jego stolica Konstantynopol był miastem greckim, lecz ośrodkiem administracyjnym wielkich obszarów , gdzie Grecy stanowili tylko część ludności miejskiej. Przez tysiąc lat cesarstwo to opierało się siłom Wschodu, Zachodu i Północy, będąc jednocześnie strażnikiem cywilizacji greckiej i mostem między Wschodem i Zachodem, Mezopotamia uzyskała niezależność od Greków i Rzymian już w drugim wieku n.e. , najpierw pod panowaniem królów partyjskich, potem (w roku 266) pod panowaniem czysto perskiej dynastii Sassanidów.
Obszar Indusu znajdował się przez parę wieków pod panowaniem kilku dynastii greckich, które znikły około pierwszego wieku n.e. Powstałe po nich rodzime królestwa podtrzymywały jednak stosunki kulturalne z Persją i Zachodem. Hegemonia polityczna Greków na Bliskim Wschodzie skończyła się niemal zupełnie wraz z nagłym wzrostem Islamu. Po roku 622, tj. dacie hedżry, Arabowie zajęli w zdumiewającym pochodzie (podobnym do późniejszego podboju Ameryki przez Hiszpanów) wielkie obszary Azji Zachodniej, a przed końcem siódmego wieku opanowali część cesarstwa zachodniorzymskiego do Sycylii, Afryki Północnej i Hiszpanii. Gdziekolwiek doszli, dążyli do zastąpienia cywilizacji grecko-rzymskiej muzułmańską. Językiem oficjalnym zamiast greki i łaciny stał się arabski ;
używanie nowego języka w dokumentach naukowych może jednak przysłonić ,ze pod panowaniem arabskim zachowała się w znacznym stopniu ciągłość kultury. Starożytne cywilizacje rodzime miały nawet pod tym panowaniem większe możliwości przetrwania niż pod obcym panowaniem greckim. Persja np. ,mimo ,administracji arabskiej pozostała w dużej stopniu podobną do dawnego państwa Sassanidów. Niezgodności między różnymi tradycjami, choć w nowej formie ,jednak pozostały. Poprzez cały okres panowania Islamu przetrwała określona grecka tradycja opierająca się różnym kulturom rodzimym. Widzieliśmy ,że najznakomitsze wyniki matematyczne rywalizacji i pomieszania kultur wschodniej i greckiej w okresie rozwoju cesarstwa rzymskiego pojawiły się w Egipcie.
Wraz z upadkiem cesarstwa rzymskiego ośrodek badań matematycznych zaczął się przesuwać do Indii, a później z powrotem do Mezopotamii. Pierwszymi dobrze zachowanymi przyczynkami indyjskimi do nauk ścisłych są księgi Siddhanta, z których jedna Surya, prawdopodobnie zachowała się w postaci podobnej do oryginalnej (około 300-400 r. n.e.).Księgi te dotyczą głównie astronomii,posługują się epicyklami i ułamkami sześćdziesiątkowymi. Pozwala to dopatrywać się wpływów astronomii greckiej, być może przekazanych w okresie poprzedzającym napisanie Almagestu; fakty te mogą także wskazywać na bezpośrednie kontakty z astronomią babilońską. Siddhanty wskazują ponadto wiele cech charakterystycznie hinduskich. Surya Siddhanta zawiera tablice sinusów (jya) zamiast cięciw. Wyniki zawarte w Siddhantach były systematycznie wykładane i rozszerzane przez szkoły matematyków hinduskich skupiające się głównie w Udż-dżajn (Indie Środkowe) i Masjur (Indie Południowe).
Z piątego wieku n.e. zachowały się nazwiska i księgi poszczególnych matematyków hinduskich; niektóre z tych ksiąg są nawet dostępne w języku angielskim. Najbardziej znanymi z tych matematyków są Arybhata (zwany pierwszym, około 500 r.) i Brahmagupta (około 625 r.). Cały problem ich zależności od Grecji , Babilonu i Chin jest sprawą przypuszczeń, faktem jest jednak ,że równocześnie wykazują oni dużą oryginalność. Charakterystyczne dla ich dzieł są części arytmetyczno-algebraiczne, w których zamiłowanie do równań nieoznaczonych ma nieco wspólnych cech z Diofantosem. W następnych wiekach po pisarzach tych inni zajmowali się tym samym ogólnym przedmiotem; dzieła ich były częściowo astronomiczne, częściowo arytmetyczno-algebraiczne i zawierały dygresje w dziedzinę miernictwa i trygonometrii. Aryabhata I posługiwał się wartością π = 3,1416.
Ulubionym przedmiotem było znajdowanie wymiernych trójkątów i czworoboków; szczególnie płodnym w tym okresie był Mahavira ze szkoły Majsur (około 850 r.) Około 1150 znajdujemy w Udż-dżajn, gdzie pracował Brahmagupta, innego znakomitego matematyka Bhaskarę. Pierwsze ogólne rozwiązanie równania nieoznaczonego ax+by = c (a,b,c całkowite) znalazł Brahmagupta. Dlatego też, mówiąc ściśle, nie jest poprawne nazywanie liniowych równań nieoznaczonych równaniami diofantycznymi. Tam gdzie Diofantos dopuszczał jeszcze rozwiązania ułamkowe, Hindusi zadowalali się wyłącznie
rozwiązaniami całkowitymi. Poszli oni dalej niż Diofantos, dopuszczając ujemne rozwiązania równań, chociaż mogło to być starsze osiągnięcie sugerowane przez astronomię babilońską. Na przykład Bhaskara , który rozwiązując równanie x2-45x = 250 ,znalazł x = 50 i x = -5 odnosił się dosyć sceptycznie do prawdziwości pierwiastka ujemnego. Jego Lilavati było przez długie lata na wschodzie wzorcowym dziełem o arytmetyce i miernictwie. W roku 1587 cesarz Akbar kazał przetłumaczyć je na perski, a w roku 1832 ukazało się jego wydanie w Kalkucie. Najbardziej znanym odkryciem matematyki hinduskiej jest nasz obecny system dziesiętny .System dziesiętny a także system pozycyjny są bardzo stare, lecz ich połączenie ma ,jak się wydaje, swój początek w Indiach, gdzie stopniowo zdobywało przewagę nad systemami niepozycyjnymi. Po raz pierwszy, o ile wiadomo, pojawia się ten system w tablicy a roku 595 n.e., gdzie data 346 jest zapisana w dziesiętnym układzie pozycyjnym.
Długo przed tym dokumentem epigraficznym Hindusi posiadali system wyrażający duże liczby przy pomocy słów ustawionych według zasady pozycyjnej. Istnieją wczesne teksty w których wyraźnie występuje słowo sunya oznaczające zero. Tak zwany rękopis Bachszali, składający się z siedemdziesięciu kawałków kory brzozowej o niepewnym datowaniu i pochodzeniu (oceniany na trzeci do dwunastego wieku naszej ery) i dotyczący tradycyjnej problematyki hinduskiej równań nieoznaczonych i kwadratowych, używa punktu dla oznaczenia zera. Najstarszy epigraficzny dokument ze znakiem zera pochodzi z dziewiątego wieku. Jest to wiele później niż pojawienie się znaku zera w tekstach babilońskich. Pochodzenie znaku 0 dla zera można by wyjaśnić wpływami greckimi (ouden = greckie nic); podczas gdy babiloński punkt pojawia się wyłącznie między cyframi, zero hinduskie występuje też na końcu, a więc 0,1,2,....,9 stają się cyframi równouprawnionymi.
Dziesiętny układ pozycyjny powoli rozprzestrzeniał się wzdłuż dróg karawan zajmując miejsce obok innych systemów w wielu częściach Bliskiego Wschodu. Jego rozpowszechnienie się w Persji, a być może także w Egipcie mogło mieć miejsce w okresie Sassanidów (224 641). W tym czasie tradycja starego babilońskiego systemu pozycyjnego mogła jeszcze być żywa w Mezopotamii Najstarszą wyraźną wzmianką o hinduskim systemie pozycyjnym poza Indiami znajdujemy w dziele biskupa syryjskiego Severusa Sebokht`a, napisanym w roku 662. Z chwilą przetłumaczenia przez Al-Fazariego Siddhant na język arabski (około 773 r.), muzułmański świat naukowy zaczął się zapoznawać z tzw. systemem hinduskim.
System ten zaczęto szerzej stosować w świecie arabskim, chociaż poza tym pozostał w użyciu system grecki oraz inne systemy rodzime. Mogły tu odegrać również pewną rolę czynniki społeczne tradycja wschodnia przedkładała pozycyjny system dziesiętny nad system grecki. Symbole używane dla oznaczenia cyfr z pozycyjną wartością wykazują dużą różnorodność, istnieją jednak dwa główne typy : symbole hinduskie używane przez wschodnich Arabów oraz tzw. cyfry gobar (lub ghubar) używane w Hiszpanii przez Arabów Zachodnich. Pierwszy typ symboli jest dotychczas używany wśród Arabów, natomiast nasz system obecny wydaje się pochodzić od cyfr gobar. Istnieje wspomniana już teoria Woepckego, według któej cyfry gobar były już w użyciu w Hiszpanii, gdy przybyli tam Arabowie, a przynieśli jes na Zachód Neopitagorejczycy z Aleksandrii już w roku 450 n.e.
Mezopotamia, która w okresie hellenistycznego i rzymskiego panowania stała się placówką kresową Imperium Rzymskiego, odzyskała swoją centralną pozycję pod panowaniem Sassanidów, rodzimych perskich królów panujących nad Persją w duchu tradycji Cyrusa i Kserksesa .Niewiele wiemy o tum okresie historii perskiej, szczególnie o jej nauce, lecz historia legendarna, tak jak odbija się ona w bajkach z tysiąca i jednej nocy, u Omara Chajjama, Firduasiego potwierdza potwierdza bardzo nieliczne dokumenty historyczne o tym ,że epoka Sassanidów była okresem rozkwitu kulturalnego. Persja Sassanidów leżąca między Konstantynopolem,Aleksandrią , Indiami i Chinami była krajem, w którym stykało się wiele kultur. Babilon wprawdzie upadł, lecz ustąpił miejsca nowej stolicy Seleucji Ktesifon, którą z kolei zastąpił Bagdad po najeździe arabskim w roku 641.
Najazd ten pozostawił wiele niezmienionego w starej Persji, chociaż arabski zajął miejsce pehlewi jako język oficjalny. Nawet islam został przyjęty w postaci zmodyfikowanej (szyizm), a chrześcijanie, żydzi i wielbiciele Zoroastra w dalszym ciągu wywierali swój wpływ na życie kulturalne kalifatu bagdadzkiego. Matematyka okresu muzułmańskiego wykazuje to samo pomieszanie wpływów , z którymi zetknęli się w Aleksandrii i w Indiach. Kalifowie Abbasydzi,a szczególnie Al-Mansur (754-775), Harun-al
Raszid (786-809) i Al-Ma`mun (813-883) popierali astronomię i matematykę. Al-Ma1mun zorganizował nawet w Bagdadzie Dom Wiedzy z biblioteką i obserwatorium. Matematyczna działalność muzułmańska, która rozpoczęła się od przekładów Siddhant przez Al-Fazariego osiągnęła swój pierwszy szczyt w osobie pochodzącego z Chiwy Mohammeda ibn Musa Al-Chwarizmiego, którego działalność przypada mniej więcej na rok 825. Napisał on kilka dzieł o matematyce i astronomii. Jego arytmetyka zawiera wykład hinduskiego systemu liczenia. Jakkolwiek nie mamy oryginalnego tekstu arabskiego, zachował się jego przekład łaciński z XII wieku. Książka ta była jednym ze źródeł, w których Europa Zachodnia zapoznała się z układem pozycyjnym dziesiętnym. Tytył przekładu brzmi Algorithmi de numero Indorum - zlatynizowane imię autora algortihmus przeszło do naszego języka matematycznego .Nieco podobnie rzecz miała się z algebrą Al-Chwarizmiego, której tytuł brzmiał Hosab al-dżabr ua-l-mukabala
(dosłownie : wiedza o redukcji i przenoszeniu co przyuszczalnie znaczy nauka o równaniach. Algebra ta, której tekst arabski zachował się , rozpowszechniła się również za pośrdnictwem przekładu łacińskiego, co spowodowało ,że słowo al-dżabr stało się synonimem całej nauk algebry, która aż do połowy XIX wieku była po prostu nauką o równaniach. Algebra ta zawiera dyskusję równań liniowych i kwadratowych, lecz bez jakiegokolwiek formalizmu algebraicznego; bark tu nawet symbolizmu retorycznego Diofantosa .Wśród tych równań wyróżnia się trzy typy: x2+10x = 39, x2+21= 10x, 3x+4 =x2, które traktuje się oddzielnie z uwagi na niedopuszczanie do rozważań liczb ujemnych. Te trzy typy powtarzają się często w podręcznikach późniejszych - równanie x2+10x = 39 snuje się jak złota nić przez algebrę wielu stuleci pisze prof. L.C.Karpiński.
Wiele z rozumowań ma charakter geometryczny. Do dzieł arabskich, które później zostały przetłumaczone na łacinę, należą również tablice sinusów i tangensów Al-Chwarizmiego. Jego geometria jest zwykłym katalogiem reguł pomiarowych; posiada ona pewne znaczenie w uagi na to ,że jej bezpośrednim źródłem jest tekst hebrajski z roku 150 n.e . Wykazuje on wyraźny brak śladów tradycji Euklidesa. Astronomia Al-Chwarizmiego jest wyciągiem z Siddhant, może więc wykazywać pewne dalsze wpływy greckie za pośrednictwem podręcznika sanskryckiego .Dzieła Al-Chwarizmiego w całości wydają się wykazywać raczej wpływy orientalne niż greckie co zresztą mogło być celowe. Dzieło Al-Chwarizmiego odgrywa ważną rolę w historii matematyki jest ono jednym z głównych źródeł, przez które cyfry hinduskie i algebra arabska dotarły do Europy Zachodniej . Algebra aż do połowy XIX wieku zachowała swój orientalny charakter wyrażający się brakiem podstaw aksjomatycznych, czym jaskrawo kontrastowała z geometrią euklidesową.
Dzisiejsza algebra i geometria szkolna jeszcze wykazują ślady swego różnego pochodzenia. Tradycję grecką uprawiała szkoła uczonych arabskich, którzy tłumaczyli wiernie greckich klasyków Apoloniusza, Archimedesa ,Euklidesa, Ptolemeusza i innych na język arabski. Ogólnie rozpowszechnienie się nazwy Almagest dla oznaczenia dzieła Wielki Zbiór Ptolemeusza wskazuje na wpływ tłumaczeń arabskich na Zachód .Dzięki tym przekładom i odpisom zachowało się wiele klasycznych dzieł greckich, które w innym przypadku zapewne by zaginęły .Istniała wyraźna tendencja do podkreślania praktycznej i rachunkowej strony matematyki greckiej kosztem jej części teoretycznej .Arabska astronomia była szczególnie zainteresowana trygonometrią słowo sinus jest tłumaczeniem łacińskim arabskiej wymowy sanskryckiego jya. Sinusy odpowiadają połowie cięciwy podwójnego łuku (Ptolemeusz posługiwał się całą cięciwą) i były traktowane jako odcinki, a nie jako liczby.
Sporo trygonometrii znajdujemy w pracach Al-Battaniego (Albategnius przed 858-929) jednego z wielkich astronomów arabskich, który znał tablicę cotangensów dla każdego stopnia (umbra extensa) oraz wzór cosinusów dla trójkąta sferycznego. Dzieło Al-Battaniego wykazuje ,że autorzy arabscy nie tylko kopiowali , lecz także osiągali nowe wyniki dzięki opanowaniu obu metod, greckiej i wschodniej. Abul-Wafa (940-997/8) wyprowadził wzór sinusów trygonometrii sferycznej, obliczył tablice sinusów co 15 stopni z dokładnością ośmiu znaków dziesiętnych, wprowadził równoważniki secansa i cosecansa oraz przeprowadzał konstrukcje używając cyrkla o stałej rozwartości, Kontynuował on badanie greckie nad równaniami sześciennymi i dwukwadratowymi. Al-Karchi (początek jedenastego wieku) , który napisał obszerną algebrę na wzór Diofantosa, uzyskał interesujące wyniki o liczbach niewymiernych. Wykazywał on wyraźne upodobanie do greckiej
matematyki, a jego lekceważenie matematyki hinduskiej było takie ,że musiało być systematyczne. Nie mamy potrzeby śledzenia licznych politycznych i etnograficznych zmian w okresie Islamu. Przynosiły one upadki i okresy rozkwitu w uprawianiu astronomii i matematyki; pewno ośrodki znikały inne rozkwitały na krótki okres, lecz ogólny charakter wiedzy muzułmańskiej pozostawał w zasadzie nienaruszony .Wymienimy tylko parę ważniejszych faktów. Około roku tysięcznego n.e. w Północnej Persji pojawili się nowi władcy tureccy Seldżukowie (Seldżukidzi), których państwo rozkwitło wokół centrum nawodnienia Merw. Żył tu Omar Chajjam (około 1038/48 1123/24) znany na Zachodzie jako autor czterowierszy - "rubajatów", był on astronomem i filozofem: "Ach , moje obliczenia, mówią ludzie ,czyż nie ścieśniły one roku do ludzkiego cyrkla?Jeśli tak, to przez wyrwanie z kalendarza nie narodzonego jutro i umarłego dnia wczorajszego".
Omar Chajjam wspominał tu może o swojej reformie starego perskiego kalendarza, który wprowadził błąd jednego dnia w ciagu 5000 lat (1540 lub 3770 lat według różnych interpretacji), podczas gdy nasz obecny kalendarz gregoriański zawiera błąd jednego dnia w 3300 latach. Jego zreformowany kalendarz został wprowadzony w 1079 roku, lecz zastąpił go później muzułmański kalendarz księżycowy. Omar Chajjam napisał Algebrę , która stanowi poważne osiągnięcie z uwagi na to ,że zawiera systematyczne badania równań sześciennych .Stosując metodę używaną niekiedy przez Greków, określał pierwiastki tych równań jako punkty przecięcia dwóch stożkowych. Nie używał rozwiązań numerycznych i rozróżniał również w stylu greckim rozwiązania geometryczne i arytmetyczne.
Te ostatnie istniały tylko wówczas gdy pierwiastku były dodatnie i wymierne. Podejście to było więc całkowicie różne od stosowanego przez matematyków bolońskich w XVI wieku, którzy posługiwali się metodami czysto algebraicznymi. W innym dziele Omar Chajjam zajął się trudnościami spotykanymi u Euklidesa; zastąpił aksjomatami równoległości układem innych założeń. Używał przy tym figur będących w związku z hipotezą kata rozwartego, prostego i ostrego, które obecnie rozważa się w geometrii nieeuklidesowej .Zastąpił również teorię stosunków Euklidesa przez teorię liczbową, w której doszedł do liczbowego pojmowania niewymierności i do ogólnego pojęcia liczby rzeczywistej.
Po zdobyciu Bagdadu przez Mongołów w roku 1256 powstał niedaleko , w Maraga, nowy ośrodek nauki założony przez władcę mongolskiego Hułagu dla Nasir ad-Dina (1201-1274). Tu znowu powstał instytut, w którym cała wiedza orientalna miała być zgromadzona i porównana z grecką. Nasor ad-Din wydzielił trygonometrię z astronomii jako oddzielną naukę; jego próby udowodnienia pewnik równoległych Euklidesa w ślad za Omarem Chajjamem pokazują ,że doceniał teoretyczne podejście Greków. Wpływ Nasira ad-Dina rozszedł się potem szeroko w Europie Renesansu: jeszcze w latach 1651 i 1663 John Wallis posługiwał się dziełem Nasira ad-Dina o postulacie Euklidesa.
Nasir kontynuował też tradycje Omara Chajjama w swej teorii stosunków i w nowym ujęciu liczbowym niewymierności. Inny perski matematyk Al-Kaszi (początek XV wieku) wykazał dużą biegłość rachunkową porównywalną z tą, którą osiągnęli później pod koniec XVI w. Europejczycy. Rozwiązywał przy pomocy iteracji i metod trygonometrycznych równania sześcienne, znał metodę, obecnie nazywaną metodą Hornera, rozwiązywania ogólnych równań algebraicznych wyższych stopni która uogólnia wyciąganie pierwiastków wyższego stopnia zwykłych liczb (prawdopodobnie pod wpływem chińskim).W dziele jego znajdujemy wzór dwumianowy dla ogólnego całkowitego dodatniego wykładnika. Oprócz ułamków sześćdziesiątkowych posługuje się ułamkami dziesiętnymi z oddzieleniem części ułamkowej (np. 25,07 razy 14,3 równa się 368,501) i zna liczbę π z 16 poprawnymi cyframi dziesiętnymi
Ważną postacią w Egipcie był Ibn Al-Haitham (Alhazen około 965-1039), największy muzułmański fizyk, którego Optyka wywarła wielki wpływ na Zachód. Rozwinął on tzw. zadanie Alhazena, w którym chodzi o poprowadzenie z dwóch punktów w płaszczyźnie koła prostych przecinających się w punkcie na danym okręgu i tworzących równe kąty z normalną do okręgu w tym punkcie. Zadanie to prowadzi do równania dwukwadratowego; zostało ono rozwiązane na sposób grecki przy pomocy hiperboli przecinającej się z kołem .Alhazen posługiwał się także metodą wyczerpywania dla obliczenia objętości figur powstałych przez obrót paraboli wokół średnicy lub rzędnej .Sto lat przed Alhazenem żył w Egipcie algebraik Abu Kamil,
który kontynuował i rozszerzył dzieło Al-Chwarizmiego i wywarł wpływ nie tylko na Al-Karchiego, lecz także na Leonarda z Pizy. Inny ośrodek nauczania istniał w Hiszpanii, Jednym z wybitnych astronomów w Kordobie był Al-Zarqali (Arzachel, około 1029 1087) najlepszy obserwator swoich czasów i wydawca tzw. toledańskich tablic planetarnych. Tablice trygonometryczne zawarte zawarte w tym dziele, które przetłumaczone zostały na łacinę, wywarły pewien wpływ na rozwój trygonometrii Renesansu. Jeśli chodzi o matematykę chińską, to nie możemy jej rozpatrywać jako zjawiska oderwanego (jak np. matematyka Majów) a w żadnym przypadku począwszy od czasów dynastii Han, to jest od ostatnich dwóch tysięcy lat.
Wiedza grecka, hinduska a później arabska wpłynęły na wiedzę w Chinach, która z kolei wywarła wpływ na Zachód. Wspomnieliśmy już o wartości π znalezionej przez Liu Huia, która może wskazywać na wpływ Archimedesa. Związany z tym wynik pojawia się nieco później w dziele Tsu Chung Chi (430-501), który swój wynik wyraził wartością π = 355/113 . Dzieło to jest współczesne z późną epoką nauki aleksandryjskiej. W okresie dynastii Tang (618-907) duża część istniejącej wiedzy matematycznej została zebrana we wspomnianych już Dziesięciu klasyków. Matematyka w dalszym ciału rozwijała się pod panowaniem dynastii Sung (960-1279), po której pod koniec XIII w. nastąpiło panowanie mongolskie (Chanów) , kiedy to duża część Azji i Europy znajdowała się pod tą samą władzą polityczną. W ten sposób kontakty między cywilizacjami chińską, hinduską, muzułmańską, łacińską i grecką w dalszym ciągu utrzymały się.
Wśród matematyków okresu dynastii Sung wspomnimy o Chin Chiu Sao, Li Yeh i Yang Hui (XIII wiek) .Układy równań jednoczesnych rozwiązywano wspomnianą już metodą zbliżoną do metody macierzowej, w której dopuszczano także liczby ujemne. Równania wyższych stopni rozwiązywano liczbowo przez transformację pierwiastków (x = y + a, x = 1/y) i metodą nazwaną obecnie metodą Hornera (x4-763200x2 + 406 425 600 000 = 0 u Chin Chiu Sao). W dziele Ynag Hui napotykamy na rachunek ułamków dziesiętnych: 24,68 x 36,56 = 902,3008 .W swej biegłości matematycy chińscy pod wieloma względami dorównywali pisarzom muzułmańskim a nawet niekiedy wyprzedzali ich: metodę Hornera i ułamki dziesiętne można później znaleźć w dziełach Al-Kasziego z Samarkandy.
Choć prawie cała matematyka chińska i większa część muzułmańskiej jest ściśle związana z tradycjami algorytmiczno algebraicznymi Wschodu, to jednak w stosunku do metod starożytnych przedstawiają one istotny postęp. Europa Zachodnia zrównała się z nimi dopiero pod koniec wieku szesnastego. Informacje o matematyce japońskiej dochodzą do nas dopiero począwszy od wieku dwunastego. W dużej części znajdowała się ona pod wpływem chińskim. Nowe osiągnięcia częściowo wywołane kontaktami z Europą, pojawiają się w wieku siedemnastym. Był to okres, w którym nowe i wyższe formy matematyki zaczęły rozkwitać na Zachodzie. Powrót
Najbardziej rozwiniętą częścią Imperium Rzymskiego zarówno pod względem ekonomicznym , jak i kulturalnym był Wschód. Część zachodnia nigdy nie opierała się na ekonomii nawadniania; jej rolnictwo miało charakter ekstensywny i nie wpływało na rozwój astronomii. Zachód dawał sobie dobrze radę na swój sposób z minimalną ilością astronomii, pewnym zasobem arytmetyki praktycznej i nauki o pomiarach potrzebnych w handlu i przy podziale gruntów: podnieta do rozwoju tych nauk przychodziła jednak ze Wschodu. Statyczna cywilizacja Zachodniego Imperium Rzymskiego przetrwała z małymi przerwami i zmianami w wielu krajach; tak samo pozostała niezmieniona śródziemnomorska jedność starożytnej cywilizacji, która nie poddała się wpływom najazdów barbarzyńskich.
We wszystkich królestwach germańskich , z wyjątkiem być może Brytanii, warunki ekonomiczne, instytucje społeczne i życie umysłowe pozostały w zasadzie takimi , jakimi były w czasie upadku Imperium Rzymskiego. Podstawą życia ekonomicznego było rolnictwo oparte na niewolnikach, których stopniowo zastąpili wolni rolnicy i dzierżawcy, lecz równocześnie istniały dobrze rozwijające się miasta i szeroki handel z gospodarką pieniężną. Centralną władzę w grecko-rzymskim świecie po upadku imperium zachodniego w roku 476 dzierżyli cesarz w Konstantynopolu i papież w Rzymie. Zachodni kościół katolicki poprzez swe instytucje i język , jak mógł, kontynuował w królestwach germańskich tradycje kulturalne cesarstwa rzymskiego. Klasztory oraz wykształceni ludzie świeccy pielęgnowali resztki cywilizacji grecko rzymskiej.
Jeden z tych ludzi świeckich, dyplomata i filozof Anicius Manilius Severinus Boecjusz napisał dzieła matematyczne, które cieszyły się autorytetem na Zachodzie przez ponad tysiąc lat. Ich uboga treść była odbiciem warunków kulturalnych, a ich przetrwanie mogło być wywołane przekonaniem ,że autor zmarł w roku 524, jako męczennik za wiarę katolicką. Jego Institutio arithmetica, powierzchowny przekład Nikomachosa, zawierała nieco pitagorejskiej teorii liczb, która weszła do średniowiecznego nauczania jako część standardowego trivium i quadrivium: arytmetyki, geometrii, astronomii i muzyki. Trudno jest ustalić na Zachodzie okres, w którym ekonomia starożytnego cesarstwa rzymskiego upadła, ustępując miejsca nowym porządkom feudalnym.
Nieco światła na to pytanie rzuca hipoteza H.Pirenne, według której koniec starego świata zachodniego nastąpił wraz z ekspansją islamu . Arabowie pozbawili cesarstwo bizantyjskie wszystkich jego prowincji na południowych i wschodnich wybrzeżach Morza Śródziemnego i ze wschodniego Morza Śródziemnego uczynili zamknięte jezioro muzułmańskie. Utrudnili oni przez kilka wieków stosunki handlowe między Bliskim Wschodem a chrześcijańskim Zachodem. Intelektualna wymiana między światem arabskim i północnymi częściami byłego Imperium Rzymskiego chociaż nigdy nie ustała całkowicie, przez całe wieki była zahamowana. Wówczas w Galii Franków i innych dawnych częściach Imperium Rzymskiego stopniowa zanikłą szersza gospodarką, upadek ogarnął miasta, dochody z opłat celnych stały się znikome.
Gospodarkę pieniężna zastąpił handel wymienny i lokalny, Europa Zachodnia został doprowadzona do stanu półbarbarzyńskiego. Wraz z upadkiem handlu wzrastało znaczenie arystokracji ziemskiej północnofransuscy magnaci ziemscy z Karolingami na czele stali się potęgą rządzącą w kraju Franków. Punkt ciężkości gopsodarczy i kulturalny przesunął się na północ do północnej Francji i Brytanii. Rozdział między Wschodem i Zachodem do tego stopnia ograniczył rzeczywistą władzę papieża ,że papiestwo samo sprzymierzyło się z Karolingami symbolicznym tego wyrazem było ukoronowanie w roku 800 Karola Wielkiego na cesarza Świętego Cesarstwa Rzymskiego. Społeczeństwo zachodnie stawało się kościelno-feudalne, a oblicze jego przybrało cechy północnogermańskie.
We wczesnych wiekach zachodniego feudalizmu, nawet w zakonach znajdujemy małe zainteresowanie matematyką. W prymitywnym rolniczym społeczeństwie tego okresu praktyczne bodźce powodujące rozwój matematyki, choćby nawet jej praktycznych zastosowań, prawie nie istniały, a matematyka klasztorna nie był niczym więcej jak małą ilością arytmetyki używanej głównie do obliczenia daty Wielkanocy (tak zwany comptus). Największym autorytetem był Boecjusz. Wśród tych matematyków duchownych pewne znaczenie miał Brytyjczyk z pochodzenia Alkuin, związany z dworem Karola Wielkiego; jego łacińskie Zagadnienia dla kształcenia umysłu, zawierały wybór, który natchnął autorów zbiorów zadań na wiele wieków. Wiele z tych problemów pochodzi ze starożytnego Wschodu. Na przykład :
Pies ścigający królika oddalonego o 150 stóp robi skoki długości 9 stóp, a skoki królika mają 7
stóp. Po ilu skokach pies dogoni królika?
Należy przewieźć wilka, kozę i kapustę w łódce mogącej zabrać tylko jedno z nich obok przewoźnika. Jak należy je przewozić , by wilk nie zjadł kozy i koza nie zjadła kapusty?.
Innym matematykiem duchownym był Gebert, mnich francuski, który w roku 999 została papieżem pod imieniem Sylwestra II .Napisał on kilka traktatów pozostających pod wpływem Beocjusza, lecz jego zasadnicza zasługa polega na tym ,że jako jeden z pierwszych zachodnich uczonych udał się do Hiszpanii dla zaznajomienia się z matematyką świata arabskiego.
Istnieje wyraźna różnica między rozwojem zachodniego wczesnogreckiego i wschodniego feudalizmu. Wskutek ekstensywnego charakteru zachodniego rolnictwa zbytecznym był duży system administracji biurokratycznej, tak ,że nie mógł on stanowić bazy dla ewentualnego despotyzmu wschodniego. Na Zachodzie nie było możliwości zdobycia dużych rzesz niewolników. Gdy wsie w Europie Zachodniej zmieniały się w miasta , miasta te przekształciły się w jednostki samorządne, a mieszczanie nie rozporządzali wolnym czasem, którego dostarczałaby im praca niewolników. Jest to główny powód, dla którego między rozwojem greckiego polis a rozwojem zachodniego miasta, które w pierwszych stadiach miały wiele wspólnego , w okresie późniejszym była wyraźna różnica.
Średniowieczna ludność miejska musiała polegać na własnej inwencji, ażeby podnieść swój poziom życiowy. Prowadząc zażartą walkę przeciw wielkim właścicielom ziemskim odniosła zwycięstwo w dwunastym trzynastym i czternastym wieku. Zwycięstwo to opierało się nie tylko na szybkim rozwoju handlu i gospodarki pieniężnej, lecz także na stopniowym rozwoju techniki. Książęta feudalni często popierali miasta w ich walce przeciw drobniejszym posiadaczom ziemskim i w końcu rozciągali na nie swe panowanie. Prowadziło to w rezultacie do powstania pierwszych państw narodowych w Europie Zachodniej. Miasta zaczęły nawiązywać stosunki handlowe ze Wschodem, który stanowił jeszcze ośrodek cywilizacji.
Nastąpiło to bądź na drodze całkowicie pokojowej, bądź przy pomocy środków gwałtownych, jak to miało miejsce w licznych krucjatach. Stosunki te zapoczątkowały miasta włoskie, po nich nawiązały je miasta Francji i Europy Środkowej. Uczeni szli za kupcami i żołnierzami, niekiedy nawet ich wyprzedzali. Hiszpania i Sycylia były najbliższymi punktami styczności Wschodu z Zachodem i tam zachodni kupcy i uczeni zapoznawali się z cywilizacją muzułmańską. Gdy w roku 1085 Toledo zostało odebrane Maurom przez chrześcijan, uczeni zachodni zaczęli napływać do tego miasta, by poznać wiedzę arabską. Korzystali często z pomocy tłumaczy żydowskich dla porozumienia się i dla dokonania przekładów; w związku z tym w wieku dwunastym spotykamy w Hiszpanii Platona z Tivoli, Gherarda z Cremony, Adelarda z Bath i Roberta z Chester tłumaczących na łacinę matematyczne rękopisy arabskie.
W ten sposób za pośrednictwem arabskich tłumaczeń Europa poznała klasyków greckich; w okresie tym Europa Zachodnia była już dostatecznie oświecona, by docenić tę wiedzę. Jak widzieliśmy, pierwsze potężne miasta handlowe powstały we Włoszech, gdzie w dwunastym i trzynastym wieku Genua, Piza, Wenecja, Mediolan i Florencja prowadziły kwitnący handel ze światem arabskim i Północą. Kupcy włoscy odwiedzali Wschód i zapoznawali się z jego cywilizacją, podróże Marco Polo dowodzą nieustraszoności tych poszukiwaczy przygód. Podobnie jak kupcy jońscy sprzed prawie dwóch tysięcy lat, poznawali oni naukę i sztukę starej cywilizacji nie tylko celem ich odtwarzania, lecz także dla zużytkowania ich we własnej kupieckiej cywilizacji, w której już w dwunastym i trzynastym wieku zaznaczyły się wzrost bankowości i początki kapitalistycznej postaci przemysłu. Pierwszym z zachodnich kupców, którego badania matematyczne wykazują już pewną dojrzałość, był Leonardo z Pizy.
Leonardo, zwany także Fibonaccim (syn Bonaccia), podróżował na Wschód jako kupiec. Po powrocie napisał Liber Abaci (1202), zawierający mnóstwo wiadomości arytmetycznych i algebraicznych, które zebrał w czasie swoich podróży. W Practica Geometriae (1220) Leonardo w podobny sposób opisał wszystko, co odkrył z zakresu geometrii i trygonometrii. Można by uważać go za oryginalnego badacza, ponieważ jego księgi zawierają wiele przykładów nie mających wyraźnych wzorów w literaturze arabskiej . Cytuje on jednak Al-Chwarizmiego jak np. przy omawianym równaniu x2+10x = 39. Problem prowadzący do ciągu Fibonacciego 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., w którym każdy wyraz jest sumą dwóch wyrazów poprzednich, wydaje się być nowy, to samo dotyczy dużej dojrzałości dowodu, że pierwiastki równania x3+2x2+10x=20 nie mogą być wyrażone przy pomocy niewymierności Euklidesa 
(zatem nie mogą być
skonstruowane wyłącznie przy pomocy cyrkla i liniału). Leonardo udowodnił to, sprawdzając każdy z piętnastu przypadków Euklidesa, a następnie znalazł przybliżony pierwiastek dodatni tego równania z dokładnością sześciu miejsc sześćdziesiątkowych.
Ciąg Fibonacciego wynikł z problemu:
Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku jeśli: (a) każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, a ta nowa para staje się płodna w następnym miesiącu, (b) króliki nie zdychają.
Liber Abaci jest jedną z pozycji, przez które hindusko-arabski system liczbowy został wprowadzony w Zachodniej Europie. Sporadyczne posługiwanie się nim datuje się na całe wieki przed Leonardem; wiadomości o nim przywozili kupcy, dyplomaci, uczeni, pielgrzymi i żołnierze przybywający z Hiszpanii i krajów Lewantu. Najstarszym rękopisem zawierającym liczby hindusko-arabskie jest Codex Vigilanus napisany w Hiszpanii w roku 976.
Wprowadzenie dziesięciu symboli w Europie było jednak powolne, najwcześniejszy rękopis francuski, w którym je znajdujemy pochodzi z roku 1275. Grecki system liczbowy przez długie wieki pozostał w użyciu wzdłuż wybrzeży Adriatyku. Obliczenia przeprowadzano często na starożytnym abaku - desce z żetonami czy kamykami (często składał się on po prostu z linii narysowanych na piasku) podobnym w zasadzie do liczydła jeszcze używanego przez Rosjan, Chińczyków, Japończyków a także przez dzieci. Cyfr rzymskich używano do zapisywania wyników obliczeń wykonywanych na abaku. Przez całe wieki średnie, a nawet później, znajdujemy cyfry rzymskie w księgach kupieckich, co wskazuje, że abak był używany w kantorach. Wprowadzenie cyfr hindusko-arabskich napotkało na opór opinii publicznej, ponieważ użycie tych symboli utrudniało odczytanie ksiąg kupieckich.
W statutach Arte del Cambio z roku 1299 zakazano bankierom Florencji używania cyfr arabskich, a zobowiązano ich do posługiwania się jedynie kursywą rzymską. Gdzieś w wieku czternastym włoscy kupcy zaczęli używać cyfr arabskich w swoich księgach rachunkowych . Wraz z rozwojem handlu zainteresowanie matematyką przeniosło się powoli do miast północnych. Początkowo było to właściwie zainteresowanie praktyczne i przez kilka wieków matematyki uczyli poza uniwersytetami rachmistrzowie samoucy, zazwyczaj nie znający klasyków i nauczający równocześnie prowadzenia ksiąg i nawigacji. Przez długi okres czasu ten typ matematyki wykazywał wyraźne ślady swego arabskiego pochodzenia, o czym świadczą takie słowa jak algebra i algorytm. Matematyka spekulatywna nie zamarła całkowicie w wiekach średnich, chociaż była uprawiana nie przez praktyków, lecz przez filozofów scholastyków.
Studia nad Platonem i Arystotelesem połączone z rozmyślaniami o istocie bóstwa prowadziły do subtelnych spekulacji nad naturą ruchu, ciągłości i nieskończoności. Orygenes, idąc za Arystotelesem, negował istnienie nieskończoności aktualnej, lecz w Civitas Dei św. Augustyn przyjmował cały
ciąg liczb naturalnych jako nieskończoność aktualną. Jogo zdanie w tej sprawie było tak dobrze sformułowane, że Georg Cantor zauważył, że pozaskończoności nie można bardziej energicznie pragnąć, nie można jej lepiej określić i obronić, niż to uczynił Św. Augustyn. Scholastyczni pisarze Średniowiecza, w szczególności św. Tomasz z Akwinu zgadzał się z infinitum actu non datur Arystotelesa, lecz rozpatrywał każde continuum jako potencjalnie podzielne w nieskończoność. W ten sposób nie istniał najkrótszy odcinek, ponieważ każda część odcinka ma własności odcinka.
Punkt nie był więc częścią odcinka, ponieważ był on niepodzielny: ex indivisibilibus non potest compari aliquod continuum. Punkt może wytwarzać odcinek przez ruch. Takie rozważania wywarły swój wpływ na twórców rachunku nieskończonościowego w siedemnastym wieku oraz na filozofów pozaskończoności w wieku dziewiętnastym; Cavalieri, Tacquet, Bolzano i Cantor znali autorów scholastycznych i rozważali ich idee.
Duchowni ci uzyskiwali niekiedy wyniki o bardziej bezpośrednim matematycznym znaczeniu. Thomas Brandwardinus, który został arcybiskupem Canterbury, po studiach nad Boecjuszem badał wieloboki gwiaździste. Najważniejszym spośród tych średniowiecznych duchownych matematyków był Nicole Oresme, biskup z Lisieux w Normandii, który operował potęgami ułamkowymi. Z uwagi na to ,że 43 = 64 = 82 pisał 8 jako |1p1/2| 4 lub |p*1/1*2| 4 co oznaczało 41 1/2 Napisał on także traktat
De latitudinibus formarum (około 1360), w którym przedstawia graficznie zmienną zależną (latitudo), przeciwstawiając ją zmiennej niezależnej (longitudo), która podlega zmianom.
Mamy tu rodzaj bliżej nieokreślonego przejścia od współrzędnych na sferze ziemskiej lub niebieskiej, znanych starożytnym, do współczesnej geometrii współczesnej. Traktat ten był wydany kilkakrotnie między latami 1482 i 1515 i mógł wywrzeć wpływ na matematyków Odrodzenia z Descartesem włącznie. Główna linia rozwoju matematyki przeszła w rosnących miastach handlowych pod bezpośredni wpływ handlu, nawigacji, astronomii, miernictwa. Ludność miejska była za interesowana w liczeniu, arytmetyce i rachunkach. Sombart określił to zainteresowanie mieszczanina piętnastego i szesnastego wieku terminem Rechenhaftigkeit".
Największymi miłośnikami matematyki praktycznej byli rachmistrze, wśród których rzadko spotykamy ludzi z wykształceniem uniwersyteckim, zdolnych dzięki wiedzy astronomicznej rozumieć znaczenie ulepszania metod rachunkowych. Ośrodkami nowego życia były miasta włoskie i środkowoeuropejskie: Norymberga, Wiedeń i Praga. Upadek Konstantynopola w roku 1453, stanowiący koniec cesarstwa Bizantyjskiego, zaprowadził wielu uczonych greckich do miast zachodnich. Wzrosło zainteresowanie oryginalnymi tekstami greckimi i łatwiej było je zaspokoić. Profesorowie uniwersytetu wspólnie z
wykształconymi ludźmi świeckimi studiowali te teksty, ambitni rachmistrze śledzili i starali się zrozumieć nową wiedzę na swój sposób. Typowym dla tego okresu był Johannes Muller z Koenigsbergu (Regiomontanus), czołowa postać matematyczna piętnastego wieku. Działalność tego wybitnego rachmistrza, twórcy instrumentów, wydawcy i uczonego obrazuje postęp w matematyce europejskiej w ciągu dwóch wieków po Leonardzie. Tłumaczył on i wydawał dostępne mu rękopisy klasyczne. Jego nauczyciel, astronom wiedeński Georg Peurbach, autor tablic astronomicznych i trygonometrycznych rozpoczął już tłumaczenie z języka greckiego astronomii Ptolemeusza. Regiomontanus kontynuował to tłumaczenie, a także tłumaczył Apoloniusza, Herona i najtrudniejszego z nich Archimedesa.
Jego główne oryginalne dzieło De triangulis omnimodis libri quinque (1464, drukowane dopiero 1533), stanowi kompletny wstęp do trygonometrii, różniący się od naszych obecnych podręczników tym, że nasze wygodne oznaczenia wówczas nie istniały. Zawiera on prawo sinusów trójkąta sferycznego. Wszystkie twierdzenia były jeszcze wypowiadane słowami. Odtąd trygonometria stała się wiedzą niezależną od astronomii. Nasir ad-Din dokonał czegoś podobnego w trzynastym wieku, ale zasadnicza różnica polega na tym, że jego dzieło niewiele przyczyniło się do postępu, podczas gdy książka Regiomontanusa wywarła głęboki wpływ na dalszy rozwój trygonometrii i jej zastosowanie do astronomii i algebry.
Regiomontanus poświęcił także wiele pracy obliczaniu tablic trygonometrycznych. Ułożył tablice sinusów w zależności od promienia. Wartości sinusa były odcinkami, określonymi jako połowy cięciw odpowiadających kątom w kole. Wartości te zależały więc od długości promienia. Duży promień dawał dużą dokładność wartości sinusa bez użycia sześćdziesiątkowych (lub dziesiętnych) ułamków. Systematyczne posługiwanie się promieniem 1, a więc pojmowanie sinusa, tangensa, itd. jako stosunków (liczb) pochodzi od Eulera (1748). Dotąd nie uczyniono żadnego istotnego kroku poza dawne osiągnięcia Greków i Arabów. Klasycy pozostali nec plus ultra nauki. Było więc radosną i ogromną niespodzianką, gdy matematycy włoscy na początku wieku szesnastego wyraźnie pokazali, że możliwe było
rozwinięcie nowej teorii matematycznej nie znanej starożytnym ani Arabom. Teoria ta, która prowadzi do ogólnego rozwiązania algebraicznego równania sześciennego, została odkryta przez Scipiona del Ferro i jego uczniów z Uniwersytetu w Bolonii. Miasta włoskie po czasach Leonarda były w dalszym ciągu ośrodkami, w których uprawiano matematykę. W piętnastym wieku ich rachmistrzowie znali dobrze operacje arytmetyczne łącznie z liczbami niewymiernymi (bez jakichkolwiek wątpliwości geometrycznych), a ich malarze byli dobrymi geometrami.
Vasari w swoich Żywotach malarzy podkreśla duże zainteresowanie, które wielu piętnastowiecznych artystów okazywało dla geometrii przestrzennej. Jednym z ich osiągnięć było rozwinięcie perspektywy przez takich mistrzów jak Alberti oraz Piero della Francesca; drugi z nich napisał także dzieło o bryłach foremnych. Wiedzę rachmistrzów zebrał franciszkanin Luca Pacioli, którego Summa de Arithmeticae była jednym z pierwszych wydrukowanych dzieł matematycznych (rok 1494). Napisana w języku włoskim -
i to niezbyt przyjemnym językiem - zawierała wszystko, co wiedziano wówczas o arytmetyce, algebrze i trygonometrii. Cyfry arabsko-hinduskie przyjęły się już wówczas i znakowanie arytmetyczne różniło się niewiele od naszego. Pacioli zakończył swoją księgę uwagą, że rozwiązanie równań x3 +mx = n, x3 + n = mx jest przy aktualnym stanie wiedzy równie niemożliwe jak kwadratura koła.
Wówczas to zaczęła się działalność matematyków Uniwersytetu w Bolonii. Uniwersytet ten pod koniec piętnastego wieku był jednym z największych i najsławniejszych w Europie. Sam jego wydział astronomii miał równocześnie szesnastu lektorów. wszystkich stron Europy studenci zjeżdżali się, by słuchać wykładów i brać udział w publicznych dyskusjach, które stanowiły także atrakcje dla szerokich tłumów oczekujących sensacji. Jego studentami w różnych okresach czasu byli: Pacioli, Albrecht Durer i Kopernik.
Charakterystyczne dla nowego okresu było nie tylko pragnienie przyswojenia sobie klasycznej wiedzy, lecz także stworzenia nowych rzeczy, poszukiwania poza granicami postawionymi przez klasyków. Sztuka drukarska i odkrycie Ameryki były przykładami tych możliwości. Czy było możliwe stworzenie nowej matematyki? Uczeni greccy i wschodni wysilali swą pomysłowość dla rozwiązania równania trzeciego stopnia, lecz udało im się rozwiązać numerycznie tylko pewne szczególne przykłady. Matematycy bolońscy starali się teraz znaleźć rozwiązanie ogólne. Wszystkie równania sześcienne mogą być sprowadzone do trzech typów
x3 + px = q; x3 = px + q , x3 + q = px
gdzie p i q są liczbami dodatnimi. Były one specjalnie badane przez profesora Scipiona del Ferro zmarłego w roku 1526. Można polegać na autorytecie E. Bortolottliego, że del Ferro rzeczywiście rozwiązał wszystkie typy. Nigdy nie ogłosił tego rozwiązania, mówił tylko o nim kilku przyjaciołom. Odkrycie stało się jednak znane i po śmierci Scipiona rachmistrz z Wenecji o przezwisku Tartaglia (jąkała) odkrył ponownie jego metodę (1535). Ujawnił publicznie swoje wyniki, lecz drogę, na której je uzyskał, zachował w tajemnicy.
W końcu wyjawił swój pomysł uczonemu lekarzowi z Mediolanu, Hieronimowi Cardano, który musiał przysiąc, że zachowa go w tajemnicy. Gdy w roku 1545 Cardano ogłosił swą szeroko znaną, niewielką książkę o algebrze Ars magna, Tartaglia z przykrością odkrył, że metoda jego, wprawdzie z pełnym uznaniem dla twórcy, została w niej w sposób dokładny odtworzona. Wynikł stąd zawzięty spór, w którym obie strony nie żałowały sobie obelg w sporze tym Cardana bronił młody uczony szlachcic Ludovico Ferrari. Z okazji tej zwady pojawiły się pewne interesujące dokumenty, a wśród nich Quaesiti Tartaglii (1546) i Cartelli Ferrariego (1547-48), z których cała historia tego świetnego odkrycia stała się publicznie znana. Rozwiązanie jest znane obecnie jako rozwiązanie Cardana;
dla przypadku x3 + px = q przyjmuje ono postać 
,Widzimy ,że rozwiązanie to wprowadza wielkości postaci 
różne od euklidesowych 
Ars magna Cardana zawiera inne świetne odkrycie metodę Ferrariego sprowadzenia rozwiązania ogólnego
równania dwukwadratowego do równania sześciennego. Ferrari sprowadził równanie x4 + 6x2 + 36 = 60x do równania y3 + 15y2 +36y = 450. Cardano rozpatrywał także liczby ujemne nazywając je fikcyjnymi, lecz nie umiał sobie poradzić z tzw. przypadkiem nieprzywiedlnym równania sześciennego, w którym istnieją trzy rozwiązania rzeczywiste występujące jako suma lub różnica tego, co nazywamy obecnie liczbami zespolonymi. Trudność ta została pokonana przez ostatniego z wielkich bolońskich matematyków szesnastego wieku Rafaela Bombellego,
którego Algebra ukazała się w roku 1572. W książce tej oraz w geometrii napisanej około roku 1550, która pozostała w rękopisie, wprowadził poprawną teorię urojonych liczb zespolonych. Pisał on 3i jako √0-9 (dosłownie R [0 m. 9]; R oznacza pierwiastek, m - meno). Pozwoliło to Bombellemu rozważać przypadek nieprzywiedlny, przy czym pokazał on na przykład, że
Książka Bombellego była szeroko znana; Leibniz korzystał z niej w badaniach nad równaniami sześciennymi, Euler cytuje Bombellego w swojej Algebrze w rozdziale o równaniach dwukwadratowych. Liczby zespolone straciły odtąd część swojego nadprzyrodzonego charakteru, chociaż ich całkowite przyjęcie nastąpiło dopiero w wieku dziewiętnastym.
Ciekawe jest to, że pierwsze wprowadzenie liczb urojonych nastąpiło w teorii równań sześciennych w przypadku, gdy jasne było, że rozwiązanie rzeczywiste istnieje, choć nie w bezpośredniej formie, a nie w teorii równań kwadratowych, jak wprowadzają je nasze współczesne podręczniki. Algebra i arytmetyka rachunkowa przez wiele dziesięcioleci pozostały ulubionym przedmiotem dociekań matematycznych.
nkowa przez wiele dziesięcioleci pozostały ulubionym przedmiotem dociekań matematycznych. Podnietą była już nie tylko Rechenhaftigkeit" burżuazji handlowej, lecz także żądania stawiane przez kierowników nowych państw narodowych w zakresie miernictwa i żeglugi. Inżynierowie byli niezbędni dla wykonywania robót publicznych i konstrukcji wojskowych. Astronomia pozostała jak poprzednio ważną dziedziną badań matematycznych. Był to okres wielkich teorii astronomicznych Kopernika, Tychona Brahe i Keplera. Pojawił się nowy obraz wszechświata. Myśl filozoficzna była odbiciem prądów myśli naukowej. Platon ze swoim uwielbieniem dla ilościowego rozumowania matematycznego uzyskał przewagę nad Arystotelesem. Wpływy Platona są szczególnie widoczne w dziele Keplera.
Zaczęły się pojawiać tablice astronomiczne i trygonometryczne coraz dokładniejsze szczególnie w Niemczech. Tablice G. J. Rheticusa, dokończone w roku 1596 przez jego ucznia Valentina Otho, zawierają wartości sześciu funkcji trygonometrycznych, co dziesięć sekund z dokładnością do dziesięciu miejsc. Tablice Pitiscusa (1613) podają aż piętnaście miejsc. Udoskonalona została także technika rozwiązywania równań oraz rozumienie natury ich pierwiastków. Publiczne wezwanie ogłoszone w roku 1593 przez matematyka belgijskiego Adriaen van Roomen
do rozwiązania równania stopnia 45 postaci
x45-45x43+945x41-12300x39 +
. - 3795x3 + 45x = A
było charakterystyczne dla tych czasów. Van Roomen proponował przypadki specjalne, np.
który daje 
przypadki te były sugerowane przez rozważania dotyczące wieloboków foremnych. François Viete - prawnik francuski związany z dworem Henryka IV - rozwiązał problem van Roomena, zauważywszy, że lewa strona była równoważna z sin φ wyrażonym przez sin 1/45 φRozwiązanie mogło więc być uzyskane przy pomocy tablic. Viete znalazł dwadzieścia trzy pierwiastki postaci sin (1/45φ - n*8o) odrzucając pierwiastki ujemne. Viete sprowadza także rozwiązanie Cardana równania sześciennego do postaci trygonometrycznej, w którym przypadek nieprzywiedlny przestał straszyć dlatego, że wprowadzenie liczb urojonych stało się zbyteczne. Rozwiązanie to można obecnie znaleźć w podręcznikach algebry wyższej.
Głównym osiągnięciem Viete`a było udoskonalenie teorii równań (np. In artem analyticam isagoge, 1591), gdzie jeden z pierwszych zastępował liczby przez litery. Używanie współczynników liczbowych nawet w algebrze retorycznej" szkoły Diofantosa hamowało ogólne badanie problemów algebraicznych. Dzieła szesnastowiecznych algebraistów (Cossista" według słowa włoskiego cosa oznaczającego niewiadomą) posługiwały się bardzo skomplikowanymi oznaczeniami. Natomiast w logistica speciosa" Viete'a pojawiła się przynajmniej ogólna symbolika, w której litery były używane dla oznaczenia współczynników liczbowych, znaki + i - były używane w naszym obecnym znaczeniu, a A quadratum" oznaczało A2 Algebra ta różniła się jeszcze od naszej tym, że Viete trzymał się greckiej zasady jednorodności, w której iloczyn dwóch odcinków musiał oznaczać pole;
można więc było dodawać tylko odcinki do odcinków, pola do pól i objętości do objętości. Przy takim traktowaniu pojawiały się nawet wątpliwości czy równania stopnia wyższego ponad 3 miały w ogóle jakiś sens, gdyż można było je interpretować tylko w czterech wymiarach, co nie było do pomyślenia w tych czasach.
Był to okres, w którym technika rachunkowa osiągnęła nowe szczyty. Viete ulepszył wynik Archimedesa obliczając π z dokładnością dziewięciu cyfr dziesiętnych, niedługo potem Ludolph van Coolen, nauczyciel szermierki z Delft, obliczył π z dokładnością trzydziestu pięciu miejsc dziesiętnych posługując się wielobokami wpisanymi i opisanymi o coraz to większej liczbie boków. Viete wyraził także π w postaci iloczynu nieskończonego (1593), w naszych oznaczeniach
2/π = cos π/4 cos π/8 cos π/16 cos π/32....
Postęp techniki był związany z ulepszeniem oznaczeń. Nowe wyniki jasno wykazują, że niesłuszne jest zdanie, jakoby uczeni tacy jak Viete "tylko" udoskonalili oznaczenia. Takie sformułowanie nie uwzględnia głębokiego związku między treścią i formą. Uzyskanie nowych wyników stało się możliwe tylko dzięki nowemu sposobowi pisania. Przykładami takich faktów mogą być wprowadzenie systemu liczenia hindusko-arabskiego i znakowanie Leibniza w rachunku różniczkowym. Znakowanie adekwatne lepiej odzwierciedla rzeczywistość od znakowania niedoskonałego i jako takie okazuje się obdarzone własnym życiem, które z kolei stwarza nowe życie. Udoskonalenie znakowania przez Viete`a poprzedziło o jedną generację zastosowanie przez Descartesa algebry do geometrii.
Inżynierowie i arytmetycy byli szczególnie potrzebni w nowych państwach handlowych, zwłaszcza we Francji, Anglii i Niderlandach. Astronomia kwitła w całej Europie. Choć miasta włoskie nie stanowiły po odkryciu drogi morskiej do Indii jedynej drogi na Wschód, pozostały one jeszcze ośrodkami o dużym znaczeniu. Tak więc pomiędzy wielkimi matematykami i rachmistrzami początku siedemnastego wieku znajdujemy Simona Stevina inżyniera, Johanna Keplera astronoma, Adriaana Vlacqa i Ezechiela de Deckera mierniczych.
Stevin - księgowy z Bruges został inżynierem w armii księcia Maurycego Orańskiego, który doceniał metody postępowania Stevina łączącego pomysły praktyczne ze zrozumieniem teoretycznym. W La disme (1585) wprowadził on ułamki dziesiętne jako część projektu ujednolicenia całego systemu pomiarów na bazie dziesiętnej. Było to jedno z wielkich udoskonaleń umożliwione przez powszechne wprowadzenie cyfr i systemu arabsko-hinduskiego.
Innym wielkim udoskonaleniem rachunkowym było wprowadzenie logarytmów. Wielu matematyków szesnastego wieku zajmowało się możliwością przyporządkowania sobie postępów arytmetycznego i geometrycznego, głównie w celu ułatwienia pracy ze skomplikowanymi tablicami trygonometrycznymi.
Ważnego kroku naprzód dokonał szkocki właściciel ziemski John Neper (lub Napier), który w roku 1614 ogłosił dzieło Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Zasadniczą jego ideą było zbudowanie dwóch ciągów liczbowych takich, że gdy jeden rośnie w postępie arytmetycznym, drugi maleje w postępie geometrycznym. Wówczas iloczyn dwóch liczb w drugim ciągu jest w prostej zależności od sumy odpowiadających liczb w ciągu pierwszym, i w ten sposób mnożenie może być sprowadzone do dodawania. Takim sposobem Neper mógł znacznie ułatwić pracę rachunkową z sinusami. Pierwsza próba Nepera była dość niezręczna, ponieważ jego dwa ciągi odpowiadały sobie według obecnego wzoru
y = ae-x/a (lub x = Nep. log y)
w którym a =107. Gdy x = x1 + x2, nie otrzymujemy y = y1y2 , lecz y = y1y2 a Sam Neper nie był zadowolony ze swojego systemu, o czym mówił swojemu wielbicielowi Henry Briggsowi, profesorowi Gresham College w Londynie. Zdecydowali się oni na funkcję y = 10x, dla której z x = x1 + x2 wynika właśnie y = y1y2. Po śmierci Nepera, Briggs zrealizował tę ideę i w roku 1624 ogłosił dzieło Arithmetica logarithmica, które zawierało briggsowskie logarytmy liczb całkowitych od 1 do 20000 i od 90000 do 100000 z dokładnością do 14 miejsc.
Luka od 20000 do 90000 została wypełniona przez Ezechiela de -Deckera, holenderskiego geodetę, który z pomocą Vlacqa opublikował w Gouda w roku 1627 pełne tablice logarytmów. Nowy wynalazek został natychmiast chętnie przyjęty przez matematyków i astronomów, a zwłaszcza przez Keplera, który miał długoletnie i przykre doświadczenia z mozolnymi rachunkami. Nowy sposób wprowadzania logarytmów przy pomocy funkcji wykładniczej niezupełnie odpowiada ich historii, ponieważ pomysł funkcji wykładniczej datuje się dopiero na późniejszy okres wieku siedemnastego; Neper nie znał pojęcia podstawy. Logarytmy naturalne oparte na funkcji y = ex pojawiły się niemal jednocześnie z logarytmami Briggsa. Lecz z ich podstawowej roli zdano sobie sprawę, gdy lepiej zrozumiano rachunek nieskończonościowy. Powrót
Szybki rozwój matematyki w okresie Odrodzenia był wynikiem nie tylko Rechenhaftigkeit" klasy kupieckiej, lecz także użytkowania i dalszego udoskonalania maszyn. Maszyny znały już ludy Wschodu i klasycznej starożytności; natchnęły one geniusz Archimedesa. Jednak istnienie niewolnictwa i brak wyższych form miejskiego życia ekonomicznego uniemożliwiło wykorzystanie maszyn w tych starych formach społecznych; znalazło to swój wyraz w dziełach Herona, w których opisane są maszyny, lecz tylko dla rozrywki lub dla pokazów sztuk magicznych.
W późniejszym Średniowieczu maszyny weszły w użycie w małych manufakturach, przy pracach publicznych i w kopalniach. Przedsięwzięcia te były podejmowane przez kupców miejskich i książąt w poszukiwaniu pieniędzy, a często były one wywołane opozycją w stosunku do cechów miejskich. Prowadzenie wojen i nawigacja także stanowiły podnietę dla udoskonalania narzędzi i stopniowego ich zastępowania przez maszyny. Już w czternastym wieku istniał w Lukce i Wenecji dobrze rozwinięty przemysł jedwabniczy oparty na podziale pracy i wykorzystaniu siły wodnej. W wieku piętnastym kopalnictwo w Europie Środkowej rozwinęło się w całkowicie kapitalistyczny przemysł oparty na wykorzystaniu pomp i wind umożliwiających wiercenia w coraz głębszych pokładach.
Wynalazek broni palnej i druku, budowa wiatraków i kanałów, statków zdolnych do żeglugi oceanicznej wymagały umiejętności technicznych i podnosiły wiedzę inżynierską. Sporządzanie zegarów potrzebnych dla astronomii i nawigacji, często umieszczanych w miejscach publicznych, ukazywało oczom ogółu arcydzieła mechaniki, regularność ich chodu oraz możność dokładnego wskazywania czasu wywoływały głębokie refleksje filozoficzne. W okresie Odrodzenia, a nawet jeszcze przez całe wieki, przyjmowano zegar za model wszechświata; był to ważny czynnik w kształtowaniu się mechanistycznych poglądów na świat. Maszyny prowadziły do mechaniki teoretycznej i do naukowego badania ruchu i zmian w ogólności.
Już starożytność wydała podręczniki dotyczące statyki i nowe badania nad mechaniką teoretyczną oparto naturalnie na statyce autorów klasycznych. Książki o maszynach pojawiały się na długo przed wynalazkiem druku, najpierw były to opisy doświadczalne (Kyeser na początku piętnastego wieku), później bardziej teoretyczne, jak książka o architekturze Leo Battisty Albertiego (około 1450) i pisma Leonarda da Vinci (około 1500). Rękopisy Leonarda zawierają wyraźne początki mechanistycznej teorii natury. Tartaglia w swoim dziele Nuova scienza (1537) rozważał konstrukcję zegarów oraz tory pocisków; nie znalazł on jednak toru parabolicznego odkrytego dopiero przez Galileusza.
Ogłoszenie łacińskiego wydania Herona i Archimedesa, a w szczególności wydania Archimedesa przez Commandina w roku 1558, udostępniło matematykom starożytną metodę całkowania. Sam Commandino stosował te metody dla obliczania środków ciężkości (1565 r.), chociaż mniej ściśle niż jego mistrz. Obliczanie środków ciężkości pozostało ulubionym przedmiotem uczonych idących śladami Archimedesa, których studia nad statyką doprowadziły do początków
tego, co obecnie nazywamy rachunkiem całkowym. Wśród nich najwybitniejszymi są: Simon Stevin, który w roku 1586 pisał o środkach ciężkości i hydraulice, Luca Valerio, który pisał w roku 1604 o środkach ciężkości i w roku 1606 o kwadraturze paraboli oraz Paul Guldin, autor Centrobaryca (1641), w których znajdujemy tak zwane twierdzenie Guldina o bryłach obrotowych, podane już przez Pappusa. Po tych wczesnych pionierach przyszły wielkie dzieła Keplera, Cavalieriego i Torricellego, w których rozwinęli oni metody mające później doprowadzić do odkrycia rachunku różniczkowego i całkowego.
Typowe dla tych autorów było dążenie do odrzucenia ścisłości rozumowań Archimedesa i zastąpienia ich rozważaniami często opartymi na nieścisłych, czasem atomowych" założeniach, przypuszczalnie nie wiedząc o tym, że Archimedes w liście do Eratostenesa również posługiwał się takimi metodami z uwagi na ich wartość heurystyczną. Częściowo było to spowodowane niechęcią do scholastyki u niektórych, lecz nie wszystkich autorów, wśród których większość stanowili księża katoliccy zaprawieni w scholastyce.
Właściwym jednak powodem było pragnienie uzyskania wyników, do których metoda grecka nie mogła prędko doprowadzić.
Rewolucja w astronomii związana z nazwiskami Kopernika, Tychona Brahe i Keplera rzuciła całkiem nowe światło na miejsce człowieka we wszechświecie oraz na jego zdolność wyjaśnienia zjawisk astronomicznych na drodze rozumowej. Możliwość uzupełnienia mechaniki ziemskiej przez mechanikę niebieską zwiększyła odwagę uczonych. W pracach Keplera szczególnie widoczny jest pobudzający wpływ nowej astronomii na problemy
wymagające dużych rachunków, jak również rozważania nieskończonościowe. Kepler próbował nawet obliczać objętości dla własnych potrzeb, a w swojej Stereometrya doliorum vinariorum (Geometria przestrzenna beczek do wina, r. 1615) obliczał on objętości brył uzyskanych przez obrót stożkowych wokół osi leżących w ich płaszczyźnie. Zerwał on ze ścisłością Archimedesa jego koło składało się z nieskończonej ilości trójkątów o wspólnym wierzchołku w środku, jego kula z nieskończonej ilości spiczastych ostrosłupów.
Kepler nazywa dowody Archimedesa absolutnie ścisłymi, absolutae et omnibus numeris perfectae" lecz pozostawiał je tym, którzy lubują się w dokładnych dowodach. Każdemu następnemu autorowi wolno było wybrać swój własny rodzaj ścisłości lub jej nie przestrzegać.
Galileuszowi (Galileo Galilei) zawdzięczamy nową mechanikę ciał swobodnie spadających, początki teorii sprężystości oraz śmiałą obronę systemu Kopernika. Ponad wszystko zawdzięczamy mu, więcej niż komukolwiek z jego okresu ducha współczesnej wiedzy, opartej na harmonii doświadczenia z teorią, z naciskiem na jej ujęcie matematyczne (choć u Galileusza doświadczenie odgrywa mniejszą rolę niż to się niekiedy przypuszcza).
W dziele Discorsi (1638) Galileusz doszedł do matematycznego badania ruchu, do związku między drogą, prędkością i przyśpieszeniem. Nie dał on nigdy systematycznego wykładu swoich idei rachunku różniczkowego i całkowego, pozostawiając to swoim uczniom Torricellemu i Cavalieriemu. Poglądy Galileusza na problemy matematyki czystej były całkowicie oryginalne, jak widać z jego uwagi, że "ani liczba kwadratów nie jest mniejsza od ilości
wszystkich liczb, ani ta ostatnia nie jest większa od poprzedniej". Ta obrona nieskończoności aktualnej (podana przez Salviatiego w Discorsi) była świadomie skierowana przeciw arystotelesowym i scholastycznym pozycjom (reprezentowanym przez Simplicia). Discorsi zawierają także paraboliczny tor pocisku wraz z tablicami wysokości i zasięgu jako funkcji kąta wzniesienia i danej prędkości początkowej. Salviati wspomina także, że linia łańcuchowa wygląda podobnie do paraboli, lecz nie podaje dokładnego opisu tej krzywej.
Nadszedł już wtedy czas, by po raz pierwszy systematycznie przedstawić rezultaty dotąd uzyskane w zakresie dzisiejszego rachunku całkowego. Wykład ten pojawił się w Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) napisanej przez Bonawenturę Cavalieriego, profesora Uniwersytetu w Bolonii. Cavalieri podał tu prostą formę rachunku nieskończonościowego opierając ją na scholastycznym pojęciu wielkości niepodzielnej" (x), przy czym ruch punktu wytwarzał prostą, a ruch prostej płaszczyznę. Cavalieri nie posługiwał się więc żadnymi nieskończonostkami ani atomami". Jeden z jego wyników jest ujęty w "zasadzie Cavalieriego", która głosi, że dwie bryły o tej samej wysokości mają tę samą objętość, jeżeli ich płaskie przekroje na tych samych wysokościach mają równe pola. Pozwoliło mu to wykonywać operacje równoważne całkowaniu wielomianów.
Dodając odcinki otrzymywał pole, lecz gdy Torricelli pokazał, że w ten sposób można udowodnić, że wysokość dzieli każdy trójkąt na dwie części o jednakowym polu, zastąpił on swe "odcinki" przez "pasemka", tj. uczynił je polami o bardzo małej szerokości. Stopniowy rozwój rachunku nieskończonościowego silnie pobudziło ogłoszenie Géométrie Descartesa (1637), która poddała zakres całej geometrii klasycznej kompetencji algebraików. Książka ta została początkowo ogłoszona jako dodatek do Discours de la Méthode (Rozprawa o metodzie), w której autor wykłada swoje racjonalistyczne podejście do badań nad naturą. René Descartes był Francuzem, rodem z Touraine; prowadził życie ziemiańskie, przez pewien czas służył w armii Maurycego Orańskiego, wiele lat przebywał w Niderlandach, zmarł w Sztokholmie, dokąd zaprosiła go królowa Szwecji.
Descartes - podobnie jak inni wielcy myśliciele siedemnastego wieku - poszukiwał ogólnej metody myślenia, która ułatwiałaby robienie wynalazków i poszukiwanie prawdy w nauce. Ponieważ jedyną znaną nauką ścisłą tworzącą pewną systematyczną całość była mechanika, a kluczem do zrozumienia mechaniki była matematyka, więc matematyka stała się najważniejszym środkiem do zrozumienia wszechświata. Co więcej, matematyka ze swoimi przekonującymi sformułowaniami sama była pięknym przykładem na to, że znajdowanie prawdy w nauce jest możliwe.
Mechanistyczna filozofia tego okresu, wprawdzie z innych powodów, doszła do wyników podobnych do platońskich. Platoniści wierzący w harmonię wszechświata i zwolennicy Descartesa, wierzący w ogólną metodę opartą na rozumie, uważali matematykę za królową nauk. Descartes ogłosił swoją Géométrie jako zastosowanie swej ogólnej metody unifikacji, w tym przypadku unifikacji geometrii i algebry. Zasługą jego dzieła, według ogólnie
przyjętego poglądu, było głównie stworzenie tzw. geometrii analitycznej. Prawdą jest, że ta gałąź matematyki rozwinęła się w końcu pod wpływem książki Descartesa, lecz samej Géométrie nie można wcale uważać za pierwszy podręcznik tego przedmiotu. Nie ma tam osi kartezjańskich ani równań prostej i stożkowych, choć pewne szczególne równanie rzędu drugiego jest traktowane jako przedstawiające stożkową. Poza tym znaczna część tej księgi jest poświęcona teorii równań algebraicznych, zawierającej regułę Descartesa" dla określenia ilości pierwiastków dodatnich i ujemnych. Musimy pamiętać, że już Apoloniusz podał charakteryzację stożkowych przy pomocy tego, co za Leibnizem nazywamy współrzędnymi, choć nie miały one żadnej wartości liczbowej. Szerokość i długość w dziele Geographia Ptolemeusza były współrzędnymi liczbowymi.
W Zbiorze Pappusa zawarty jest "Skarbiec Analizy" ("Analyomenos"), w którym wystarczy unowocześnić oznaczenia, by uzyskać konsekwentne zastosowanie algebry do geometrii. Nawet pojęcie o odwzorowaniu graficznym pojawia się przed Descartesem (Oresme). Zasługi Descartesa polegają przede wszystkim na konsekwentnym zastosowaniu dobrze rozwiniętej algebry początku siedemnastego wieku do analizy geometrycznej starożytnych, a przez to na znacznym rozszerzeniu jej stosowalności. Drugą zasługą Descartesa było ostateczne odrzucenie stosowanych przez jego poprzedników ograniczeń dotyczących jednorodności, które zaciążyły nawet na logística speciosa Viete'a tak, że x2, x3, xy traktowano odtąd jako odcinki.
Równanie algebraiczne stało się związkiem między liczbami, co stanowiło postęp w abstrakcji matematycznej niezbędny dla ogólnego traktowania krzywych algebraicznych, choć możemy także uważać to za końcowe stadium współzawodnictwa Zachodu z algorytmiczno-algebraiczną tradycją Wschodu.
U Descartesa znajdujemy już wiele oznaczeń nowoczesnych; w jego książce pojawiają się takie oznaczenia, jak
które różnią się od obecnie stosowanych tylko tym, że Descartes pisze jeszcze aa zamiast a2 (co można znaleźć nawet u Gaussa), chociaż używa także a3 zamiast aaa, a4 zamiast aaaa itd. Nietrudno jest znaleźć w jego księdze idee geometrii analitycznej, lecz nie należy doszukiwać się jej w naszym nowoczesnym ujęciu.
Nieco bardziej zbliża się do takiej geometrii analitycznej Pierre Fermat, prawnik z Tuluzy, który napisał krótką pracę o geometrii, przypuszczalnie przed ogłoszeniem książki Descartesa, lecz wydaną dopiero w roku 1679. W tej Isagoge znajdujemy równania y = mx, xy = k2, x2+y2 = a2, x2 ± a2y2 = b2 przypisane prostym i stożkowym w odniesieniu do układu osi (zwykle prostopadłych). Ponieważ jednak praca ta została napisana w symbolice Viete'a, wydaje się ona bardziej archaiczna od książki Descartesa. W czasie, gdy Isagoge Fermata ukazała się drukiem istniały już inne publikacje zawierające zastosowanie algebry do wyników Apoloniusza, a w szczególności Johna Wallisa Tractatus de sectionibus conicis (1655) oraz część Elementa curvarum linearum (1659) napisanych przez Johana de Witta, wysokiego urzędnika holenderskiego.
Oba te dzieła powstały pod bezpośrednim wpływem książki Descartesa. Postęp jednak był bardzo powolny; nawet Traité analytique des sections coniques (1707) de L'Hospitala zawierał niewiele więcej niż przeniesienie wyników Apoloniusza na język algebraiczny. Wszyscy autorowie wahali się z przyjęciem ujemnych wartości współrzędnych. Pierwszym, który odważnie posługiwał się równaniami algebraicznymi, był Newton w swych badaniach nad krzywymi sześciennymi (1703); pierwszą geometrią analityczną całkiem wolną od wpływu Apoloniusza była dopiero Introductio (1748) Eulera. .Pojawienie się książki Cavalieriego pobudziło wielu matematyków różnych krajów do badania problemów dotyczących nieskończenie małych. Problemy podstawowe zaczęto traktować w postaci bardziej abstrakcyjnej, zyskując w ten sposób na ogólności.
Problem stycznych polegający na poszukiwaniu metody wyznaczania stycznej do danej krzywej w danym punkcie, zajmował coraz bardziej poczesne miejsce obok problemów starożytnych dotyczących objętości i środków ciężkości. W tych poszukiwaniach zaznaczyły się dwie tendencje geometryczna i algebraiczna. Następcy Cavalieriego, a w szczególności Torricelli i nauczyciel Newtona Izaak Barrow, stosowali grecką metodę rozumowania geometrycznego, nie troszcząc się zbytnio o jego ścisłość. Wyraźne upodobanie do geometrii
greckiej wykazywał również Christiaan Huygens. Inni, jak Fermat, Descartes i John Wallis reprezentowali tendencję przeciwną, dążąc do traktowania zagadnienia przy pomocy nowej algebry. Praktycznie wszyscy autorzy okresu od 1630 r. do 1660 r. ograniczali się do problemów związanych z krzywymi algebraicznymi, szczególnie z krzywymi określonymi równaniem amyn = bnxm Znaleźli oni, każdy na swój sposób, wzór równoważny wzorowi
najpierw dla m całkowitych dodatnich, potem dla m całkowitych ujemnych i m ułamkowych. Sporadycznie pojawiały się krzywe niealgebraiczne takie jak cykloida (roulette) badana przez Descartesa i Blaise Pascala;
Traité général de la roulette (1658) Pascala, część dzieła wydanego pod nazwiskiem A. Dettonville'a, wywarł wielki wpływ na młodego Leibniza. W okresie tym zaczęło się pojawiać kilka rysów charakterystycznych rachunku różniczkowego i całkowego. Fermat odkrył w roku 1638 metodę znajdowania maksimów i minimów przy pomocy małego przyrostu zmiennej w prostym równaniu algebraicznym, a następnie przez zmniejszanie tego przyrostu do zera. Metoda ta została uogólniona w roku 1658 na bardziej ogólne krzywe algebraiczne przez Johannesa Hudde, burmistrza Amsterdamu. Zajmowano się w tym czasie wyznaczaniem stycznych, objętości i brył obrotowych, ale związku między całkowaniem i różniczkowaniem jako operacjami odwrotnymi nie dostrzegano, dopóki Barrow nie wyjaśnił go w roku 1670 (jednak w trudny sposób geometryczny).
Pascal używał niekiedy rozwinięć według potęg małych wielkości, w których pomijał wyrazy wyższego rzędu - wyprzedzając Newtona, który przyjmował, w sposób podlegający dyskusji, że (x+dx) (y+dy) - xy = xdy+ydx. Pascal bronił tego postępowania odwołując się do intuicji (esprit de finesse) bardziej niż do logiki (esprit de géométrie), wyprzedzając berkeleyowską krytykę Newtona. Myśl scholastyczna weszła do tych poszukiwań nowych metod nie tylko przez Cavalieriego, lecz także przez dzieło jezuity belgijskiego Grégoire de Saint Vincent, jego uczniów i towarzyszy Paula Guldina i André Tacqueta. Czerpali oni podnietę zarówno z ducha swoich czasów, jak i z pism scholastycznych o naturze continuum i o szerokościach form". U nich pojawia się po raz pierwszy nazwa wyczerpywania" dla metody Archimedesa. Książka Tacąueta O walcach i pierścieniach (1651) wywarła wpływ na Pascala.
Duża aktywność matematyków, w okresie gdy nie było czasopism naukowych, prowadziła do powstawania kół dyskusyjnych i do stałej korespondencji. Niektóre postacie zasłużyły się nauce przez to, że były ośrodkami wymiany naukowej. Najbardziej znanym spośród nich był franciszkanin Marin Mersenne, którego nazwisko jako matematyka zachowało się w liczbach Mersenne'a. Korespondowali z nim Descartes, Fermat, Desargues, Pascal i wielu innych uczonych . Z naukowych grup dyskusyjnych powstały akademie, jako przeciwieństwo uniwersytetów, które z pewnymi wyjątkami, jak uniwersytet w Lejdzie, rozwinęły się w okresie scholastycznym i jeszcze reprezentowały średniowieczną postawę w podawaniu wiedzy w skostniałej postaci. W odróżnieniu od nich nowe akademie wyrażały nowego ducha badań. Były one typowe dla tego okresu nasyconego pełnią nowej wiedzy, zajętego wykorzenianiem przestarzałych zabobonów, zrywającego więzy z tradycjami przeszłości, żywiącego najbardziej szaleńcze nadzieje na przyszłość.
Tu każdy uczony uczył się cieszyć i być dumnym z dodania małej cząstki do ogólnej sumy wiedzy; tu, jednym słowem, powstawał typ nowego uczonego"
Pierwsza akademia została założona w Neapolu (1560), po niej Accademia dei Lincei w Rzymie (1603). Brytyjskie Royal Society powstało w roku 1662, Akademia Francuska w 1666. Wallis był członkiem Brytyjskiego Royal Society, Huygens - Akademii Francuskiej. Po dziele Cavalieriego, jedną z najważniejszych książek napisanych w tym okresie wstępnym była Arithmetica infinitorum (1656) Wallisa. Autor od roku 1643 aż do swojej śmierci w roku 1703 był profesorem geometrii w Oksfordzie na sawiliańskiej katedrze. Już tytuł jego książki wskazuje, że Wallis zamierzał pójść dalej niż Geometria indivisibilium Cavalieriego; chciał on zastosować nową arithmetica (algebrę), a nie starożytną geometrię. Wallis był pierwszym matematykiem, który rozwijając algebrę, uczynił z niej prawdziwą analizę.
Jego metody operowania procesami nieskończonymi były często nieścisłe, lecz uzyskiwał on nowe wyniki; wprowadził szeregi i iloczyny nieskończone i śmiało posługiwał się liczbami urojonymi, wykładnikami ułamkowymi i ujemnymi, pisał ∞ zamiast 1/0 (i twierdził, że -1 > ∞). Jednym z jego typowych wyników jest rozwinięcie
π/2 = 2*2*4*4*6*6*8*8... / 1*3*3*5*5*7*7*9...
a także wyrażenia równoważne z całkami beta. To, co my piszemy 4/π, oznaczał małym kwadracikiem. Wallis był tylko jednym z wielu znakomitych ludzi tego okresu, którzy wzbogacali matematykę coraz to nowymi odkryciami. Siłą kierującą tego rozkwitu twórczej wiedzy, nie mającego równego sobie od czasów greckich, była tylko częściowo swoboda, z jaką można było stosować nowe metody. Wielu wielkich myślicieli szukało czegoś więcej: metody ogólnej" rozumianej czasem w wąskim sensie, jako metody matematycznej, czasem ogólniej, jako metody rozumienia natury i dokonywania nowych wynalazków. Dlatego to w tym okresie wszyscy wybitniejsi filozofowie byli matematykami, a wszyscy wybitniejsi matematycy filozofami. Poszukiwania nowych wynalazków prowadziły czasem bezpośrednio do odkryć matematycznych.
Słynnym przykładem jest Horologium oscittatorium (1673) Christiana Huygensa, gdzie poszukiwanie lepszych zegarów (w celu rozwiązania wiekowego problemu wyznaczania długości geograficznej na morzu) doprowadziło nie tylko do konstrukcji zegarów wahadłowych, lecz także do badania ewolut i ewolwent krzywej płaskiej. Huygens był zamożnym Holendrem i przebywał przez wiele lat w Paryżu; był równie świetnym fizykiem jak astronomem, stworzył falową teorię światła i stwierdził, że Saturn ma pierścień. Jego książka o zegarach wahadłowych wywarła wpływ na teorię grawitacji Newtona; wraz z Arithmetica Wallisa stanowiła ona w okresie przed Leibnizem i Newtonem najbardziej dojrzałe dzieło dotyczące rachunku różniczkowego i całkowego. Książki i listy Huygensa i Wallisa obfitują w nowe odkrycia dotyczące rektyfikacji, obwiedni i kwadratur.
Huygens badał traktrysę, krzywą logarytmiczną i łańcuchową, wykazał tautochronizm cykloidy. Mimo tego bogactwa wyników, z których wiele znaleziono dopiero po ogłoszeniu rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza, Huygens należy zdecydowanie do okresu wstępnego. Zwierzał się Leibnizowi, że nigdy nie mógł się oswoić z jego metodą. Tak samo Wallis nigdy nie mógł się przyzwyczaić do oznaczeń Newtona. Huygens był jednym z niewielu wielkich matematyków siedemnastego wieku, który poważnie traktował ścisłość, jego metody były zawsze zgodne z dawną tradycją archimedesową. Aktywność matematyków tego okresu rozciągała się na wiele dziedzin dawnych i nowych. Wzbogacali oni klasyczne dziedziny oryginalnymi wynikami, rzucali nowe światło na dawne fakty, a nawet tworzyli zupełnie nowe przedmioty badań matematycznych. Przykładem pierwszego rodzaju były badania Fermata nad Diofantosem, przykładem drugiego była nowa interpretacja geometrii Desargues`a.
Matematyczna teoria prawdopodobieństwa była przykładem tworu zupełnie nowego. Diofantos stał się dostępny w przekładzie łacińskim w roku 1621. W egzemplarzu Fermata tego przekładu znaleziono słynne notatki marginesowe, które jego syn opublikował w roku 1670. Wśród nich znajdujemy wielkie twierdzenie Fermata, że xn+yn=zn jest niemożliwe dla naturalnych x, y, z, n, gdy n> 2, które doprowadziło Kumraera w roku 1847 do jego teorii ideałów.
Fermat zapisał na marginesie Diofantosa II, 8: "Podzielić kwadrat na dwa inne kwadraty", uwagę: "Podzielić sześcian na dwa inne sześciany, potęgę czwartą na dwie inne potęgi czwarte, lub ogólnie jakąkolwiek potęgę na dwie inne potęgi o tym samym wykładniku większym niż dwa jest niemożliwe i znalazłem naprawdę piękny dowód tego faktu, lecz margines jest za wąski, by go na nim zmieścić".
O ile Fermat posiadał taki piękny dowód, to trzy wieki intensywnych poszukiwań nie potrafiły go odtworzyć. Bezpieczniej będzie przypuścić, że nawet wielki Fermat czasem się mylił. Inna notatka marginesowa Fermata stwierdza, że liczba pierwsza postaci 4n+1może być, i to tylko na jeden sposób, przedstawiona jako suma dwóch kwadratów; twierdzenie to zostało później udowodnione przez Eulera. Inne twierdzenie Fermata, które orzeka, że ap-1 - 1 jest podzielne przez p, gdy p jest liczbą pierwszą, natomiast a jest liczbą pierwszą względem p, pojawia się w liście z roku 1640; twierdzenie to można udowodnić przy pomocy środków elementarnych. Fermat pierwszy stwierdził także, że równanie x2 - Ay2 = 1 (A jest liczbą całkowitą nie kwadratową) posiada nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych.
Fermat i Pascal byli twórcami matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Stopniowy wzrost zainteresowania problemami związanymi z prawdopodobieństwem wynikł przede wszystkim z rozwoju ubezpieczeń, lecz zagadnienia szczególne, które pobudziły wielkich matematyków do myślenia o tym przedmiocie, postawione zostały przez wyższe sfery grające w kości lub w karty. Jak mówi Poisson "Un probleme relatif aux jeux de hasard, proposé a un austere janséniste par un homme du monde, a été l'origine du calcul des probabilités ". Tym. światowym człowiekiem był Chevalier de Méré (człowiek wielkiej erudycji), który postawił Pascalowi zagadnienie dotyczące tak zwanego probleme des points". Pascal rozpoczął korespondencję z Fermatem o tym problemie oraz sprawach z nim związanych. We dwójkę stworzyli oni część podstaw teorii prawdopodobieństwa (1654). Gdy Huygens przybył do Paryża, dowiedział się o tej korespondencji i próbował znaleźć własne rozwiązania.
Wynikiem było dzieło De ratiociniis in ludo aleae (1657), pierwsza rozprawa o teorii prawdopodobieństwa. Następne kroki uczynili de Witt i Halley, którzy ułożyli tablice rent rocznych (1671, 1693). Blaise Pascal był synem Etienne Pascala, korespondenta Mersenna, od którego pochodzi nazwa ślimak Pascala. Pod opieką ojca Blaise rozwijał się szybko i w wieku szesnastu lat odkrył twierdzenie Pascala o sześcioboku wpisanym w stożkową. Zostało ono opublikowane w roku 1640 na jednej stronicy i wykazywało wyraźny wpływ Desargues'a. Kilka lat później Pascal wynalazł maszynę do liczenia. W wieku dwudziestu pięciu lat postanowił prowadzić życie ascetyczne jako jansenista w Port Royal, nie przestając jednak poświęcać czasu nauce i literaturze. Jego traktat " O trójkącie arytmetycznym", utworzonym przez współczynniki dwumianowe i użytecznym w teorii prawdopodobieństwa, został ogłoszony po śmierci autora w roku 1664.
Już wspominaliśmy dzieło Pascala o całkowaniu i jego rozważania o nieskończonostkach, które wywarły wpływ na Leibniza. Girard Desargues był architektem z Lionu i autorem księgi o perspektywie (1636). Jego broszura pod interesującym tytułem Brouillon projet d'une atteinte aux événemens des rencontres d'un cone avec un plan{(1639), zawiera w osobliwym języku botanicznym pewne zasadnicze pomysły geometrii syntetycznej, takie jak punkty w nieskończoności, inwolucje, biegunowe. Twierdzenie Desargues'a o trójkątach perspektywicznych zostało ogłoszone w roku 1648. Płodność tych idei zrozumiano dopiero w wieku dziewiętnastym.
Ogólną metodę różniczkowania i całkowania, wyprowadzoną z pełnego zrozumienia faktu, że jedna operacja jest odwrotną drugiej, mogli odkryć dopiero uczeni znający zarówno metodę geometryczną Greków i Cavalieriego, jak i metodę algebraiczną Descartesa i Wallisa.
Mogli oni pojawić się dopiero po roku 1660 i rzeczywiście pojawili się w osobach Newtona i Leibniza. Wiele napisano na temat priorytetu odkrycia, ale obecnie stwierdzono, że obaj oni wynaleźli swoje metody niezależnie od siebie. Newton pierwszy odkrył rachunek różniczkowy i całkowy (Newton 1665-66; Leibniz 1673-76), lecz Leibniz pierwszy go ogłosił (Leibniz 1684-86, Newton 1704-1736); szkoła Leibniza była bez porównania świetniejszą od szkoły Newtona. Izaak Newton był synem właściciela ziemskiego w Lincolnshire w Anglii. Studiował w Cambridge pod kierunkiem Izaaka Barrowa, który w roku 1669 przekazał katedrę swemu uczniowi. Pozostał on w Cambridge aż do roku 1696, w którym przyjął stanowisko nadzorcy, a potem dyrektora mennicy. Swój ogromny autorytet zyskał przede wszystkim dzięki wielkiemu dziełu Philosophiae naturalis principia mathematica (1687), w którym znalazły się podstawy aksjomatyczne mechaniki i prawo grawitacji - prawo, które każe jabłku spadać na ziemię i porusza księżyc dookoła ziemi.
Newton przy pomocy ścisłej dedukcji matematycznej pokazał, jak ustalone doświadczalnie prawa ruchu planet Keplera znajdują uzasadnienie w prawie ciążenia proporcjonalnego do odwrotności kwadratów, podał dynamiczne wyjaśnienie wielu problemów ruchu ciał ciężkich i przypływu morza. Rozwiązał problem dwóch ciał dla kul oraz dał początki teorii księżyca. Zagadnienie przyciągania się dwóch kul doprowadziło go również do podstaw teorii potencjału. Jego aksjomatyczne podejście postulowało założenie absolutności przestrzeni i czasu.
Z postaci geometrycznej dowodów trudno wysnuć wniosek, że autor posiadał pełną znajomość rachunku różniczkowego i całkowego, który nazywał teorią fluksji. Newton odkrył swą ogólną metodę w ciągu lat 1665-66, w swej rodzinnej wsi, do której schronił się przed zarazą panującą w Cambridge.
Z tego okresu pochodzą także jego podstawowe idee powszechnego ciążenia oraz prawo rozszczepienia światła. Nie ma w historii nauki innych przykładów osiągnięć godnych porównania z osiągnięciami Newtona w okresie tych dwóch złotych lat" zauważył prof. More .
Odkrycie "fluksji" Newtona było ściśle związane z jego studiami nad szeregami nieskończonymi w dziele Arithmetica Wallisa. Nasunęło mu to myśl rozszerzenia twierdzenia o dwumianie na wykładniki ujemne i ułamkowe, a w ten sposób doprowadziło go do odkrycia szeregu dwumiennego. To z kolei bardzo mu ułatwiło opracowanie teorii fluksji dla "wszystkich" funkcji, algebraicznych i przestępnych. Fluksja" wyrażana przez kropkę umieszczoną nad literą (litery ukłute") była wielkością skończoną, prędkością; litery bez kropki przedstawiały fluenty".
Podajemy poniżej przykład sposobu, w jaki Newton wykładał swoją metodę (Method of Fluxions, 1736): Zmienne fluenty oznaczone są przez u,x,y,z,... a prędkości, z jakimi każda z fluent wzrasta w wyniku ruchu (które mogę nazywać fluksjami lub prościej prędkościami), będę przedstawiał przez te same litery kropkowane, tak więc 
. Nieskończonostki Newtona nazywa się momentami fluksji i przedstawia przez 
gdzie o jest wielkością nieskończenie małą". Tu Newton pisze dalej:
Tak więc mając dane równanie x3 - a2 + axy - y3 = 0, podstawmy 
zamiast x,
zamiast y, wówczas wyniknie
Ponieważ z założenia x3 - ax2 + axy - y2= 0, można to wyrażenie skreślić, a następnie dzieląc pozostałe wyrazy przez o otrzymuje się
Ale ponieważ o przyjmuje się za wielkość nieskończenie małą, tak by mogło przedstawiać momenty wielkości, wyrazy przez nie pomnożone będą niczym w porównaniu z pozostałymi. Odrzucam je więc i pozostaje 
.
Przykład ten wskazuje, że Newton myślał w pierwszym rzędzie o swoich pochodnych jako o prędkościach, lecz pokazuje także, że w tym sposobie wyrażania się tkwiły pewne niejasności. Czy symbole o" są zerami? Czy są one nieskończonostkami ? A może są liczbami skończonymi? Newton starał się wyjaśnić swoje stanowisko przy pomocy teorii stosunków początkowych i końcowych" podanej w jego Principia i zawierającej pomysł granicy, lecz w bardzo niezrozumiałej formie. Te końcowe stosunki wielkości znikających nie są naprawdę stosunkami tych końcowych wartości, lecz granicami, do których zawsze dążą stosunki wielkości nieograniczenie malejących i do których zbliżają się bardziej niż na jakąkolwiek daną odległość, lecz nigdy poza nie nie wychodzą, ani w efekcie ich nie osiągają, do chwili gdy wielkości te zmniejszą się nieskończenie". (Principia I, rozdział I, ostatnie objaśnienie).
"Wielkości i stosunek wielkości, które w dowolnym skończonym czasie dążą stale do równości i przed upływem tego czasu zbliżają się jedna do drugiej na odległość mniejszą od dowolnie danej różnicy, w końcu stają się równe". (1 B, I, I. Lemat I).
Nie było to bynajmniej jasne. Trudności wynikające z rozumienia teorii fluksji Newtona prowadziły do wielkiego pogmatwania i wywołały surową krytykę biskupa Berkeleya w roku 1734. Niejasności zostały usunięte dopiero po ustaleniu nowoczesnego pojęcia granicy. Newton pisał także o stożkowych i płaskich krzywych sześciennych. W Enumeratio linearum tertii ordinis (1704) podał klasyfikację płaskich krzywych sześciennych na 72 rodzaje, opierając się na swoim twierdzeniu, że każdą krzywą sześcienną można uzyskać z paraboli rozbieżnej" y2 = ax3 +bx2 + cx + d przez rzut środkowy jednej płaszczyzny na drugą. Był to pierwszy ważny nowy wynik uzyskany przez zastosowanie algebry do geometrii; poprzednie zastosowania polegały na tłumaczeniu wyników Apoloniusza na język algebry.
Innym wynikiem Newtona była jego metoda znajdowania pierwiastków równań liczbowych, która w przykładzie x3-2x-5=0 prowadzi do x = 2,09455147
Trudność w ocenie wpływu Newtona na jego współczesnych leży w fakcie, że ociągał się on z ogłaszaniem swych odkryć. Prawo grawitacji odkrył w roku 1665-6, lecz ogłosił je dopiero w roku 1686, gdy oddał do druku większą część rękopisu Principia. Jego Arithmetica universalis zawierjąca wykłady algebry wygłaszane w latach 1673-1683 została ogłoszona w roku 1707. Dzieło o szeregach datujące się z roku 1669 zostało zapowiedziane w liście do Oldenburga w roku 1676, a ukazało się w druku w roku 1711. Kwadratura krzywych z roku 1671 pozostawała nieogłoszona aż do roku 1704; wówczas po raz pierwszy metoda fluksji stała się znana światu. Samo dzieło Method
of Fluxions ukazało się dopiero po śmierci autora w roku 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz urodził się w Lipsku i spędził większą część swego życia na dworze w Hanowerze w służbie książąt, z których jeden został królem Anglii jako Jerzy I. Był on nawet bardziej uniwersalny w swych zainteresowaniach niż inni wielcy myśliciele jego stulecia; filozofia jego obejmowała historię, teologię, lingwistykę, biologię, geologię, matematykę, dyplomację i prace nad wynalazkami. Był jednym z pierwszych po Pascalu, który wynalazł maszynę do liczenia, projektował maszyny parowe, studiował chińską filozofię i działał na rzecz zjednoczenia Niemiec. Poszukiwanie ogólnej metody, przy pomocy której można by zdobywać wiedzę, robić wynalazki, zrozumieć istotę wszechświata stanowiło nić przewodnią jego życia. Scientia generalis", którą próbował zbudować, miała wiele aspektów, z których kilka doprowadziło Leibniza do jego odkryć matematycznych.
Poszukiwania characteristica generalis" prowadziły do kombinacji, permutacji i logiki symbolicznej ; poszukiwanie lingua universalis", w której wszystkie błędy myślenia miałyby się ujawniać jako błędy rachunkowe, prowadziło nie tylko do logiki symbolicznej, lecz również do wielu udoskonaleń w symbolice matematycznej. Leibniz był jednym z największych wynalazców symboli matematycznych - mało kto tak rozumiał jedność formy i treści. Jego rachunek różniczkowy należy rozważać na tle jego podstaw filozoficznych; był on wynikiem poszukiwań lingua universalis" dla badania zmian, a w szczególności ruchu. Leibniz wynalazł swój nowy rachunek w łatach 1673 -1676 pod osobistym wpływem Huygensa i w oparciu o dzieła Descartesa i Pascala. Pobudziła go świadomość tego, że Newton znał podobną metodę. Podczas gdy podejście Newtona było przede wszystkim kinematyczne, Leibniz oparł się na pojęciach geometrycznych, w rozumowaniach posługiwał się trójkątem charakterystycznym (dx, dy, ds),
który pojawił się już w kilku innych pismach, w szczególności u Pascala i w Geometrical Lectures Barrowa (1670). Pierwsza rozprawa Leibniza o rachunku różniczkowym i całkowym pojawiła się w roku 1684 jako czterostronicowy artykuł w Acta Eruditorum", czasopiśmie matematycznym założonym w roku 1682. Praca nosiła charakterystyczny tytuł Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus. Był to suchy i niejasny artykuł zawierający już jednak nasze oznaczenia dx i dy oraz reguły różniczkowania aż do d(uv) = udv + vdu włącznie oraz warunki dy = 0 dla wartości ekstremalnej i d2y = 0 dla punktu przegięcia. Po pracy tej nastąpiła w roku 1686 inna (napisana w formie recenzji) zawierająca prawa rachunku całkowego oraz symbol ∫. Wyrażała ona równanie cykloidy w postaci 
.
Wraz z ogłoszeniem tych prac rozpoczął się niezwykle płodny okres twórczości matematycznej. Za Leibnizem poszli bracia Bernoulli, którzy z zapałem przyswoili sobie jego metody. Przed rokiem 1700 stworzyli oni większą część obecnego elementarnego rachunku różniczkowego i całkowego wraz ze znaczną częścią różnych wyższych działów, łącznie z rozwiązaniem niektórych problemów rachunku wariacyjnego. W roku 1696 pojawił się pod tytułem Analyse des infiniment petits pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego napisany przez Markiza de L`Hospitala, ucznia Jana Bernoulliego; książka opierała się na wykładach Bernoulliego z rachunku różniczkowego. Zawiera, ona tzw. regułę de L`Hospitala dla wyznaczenia granicy ułamka, którego licznik i mianownik dążą do zera.
Nasze oznaczenia rachunku różniczkowego i całkowego pochodzą od Leibniza; jemu zawdzięczamy nawet nazwy calculus differentialis i calculus integralis. Pod jego wpływem weszły w użycie oznaczenia "=" na równość oraz kropka dla mnożenia. Terminy funkcja oraz współrzędne również pochodzą od Leibniza, jak i dowcipny termin osculatorius .Szeregi
π / 4 = 1 -1/3 + 1/5 1/7+.....
arc tg x = x - x3 / 3 + x5 / 5 -
noszą nazwisko Leibniza, jakkolwiek nie on pierwszy je odkrył (pochodzą one zapewne od Jamesa Gregory, bardzo obiecującego matematyka szkockiego, który próbował także udowodnić, że kwadratura koła przy pomocy cyrkla i liniału jest niemożliwa). Wykład Leibniza podstaw rachunku różniczkowego i całkowego, podobnie jak wykład Newtona, nie był wolny od pewnych niejasności.
ego dx, dy były już to wielkościami skończonymi, już to wielkościami mniejszymi od dowolnej wielkości danej, a równocześnie różnymi od zera. Bez ścisłych definicji podawał analogie nawiązujące do stosunku promienia ziemi do odległości od gwiazd stałych. W różny sposób podchodził do zagadnień dotyczących nieskończoności; w jednym ze swych listów (do Fouchera, 1693) zgadza się z istnieniem nieskończoności aktualnej jako środka dla pokonania trudności Zenona i chwali Grégoire de Saint Vincent, który obliczył miejsce, gdzie Achilles dogania żółwia. Podobnie jak niejasności u Newtona spotkały się z krytyką Berkeleya, nieścisłości Leibniza wywołały opozycję ze strony Bernarda Nieuwentijt, burmistrza miasta Purmerend w pobliżu Amsterdamu (1694). Krytyka ich obu była wprawdzie usprawiedliwiona, lecz nosiła charakter całkowicie negatywny. Nie potrafili oni uzupełnić rachunku różniczkowego i całkowego ścisłymi podstawami, lecz zainicjowali - zwłaszcza Berkeley swoimi docinkami - dalszą pracę twórczą. Powrót
Twórczość matematyczna wieku osiemnastego ześrodkowała się na rachunku różniczkowym i całkowym oraz jego zastosowaniach do mechaniki. Dla największych postaci można ułożyć coś w rodzaju rodowodu dla zaznaczenia ich pokrewieństwa intelektualnego:
Leibniz (1646-1716),
Bracia Bernoulli: Jakub (1654-1705), Jan (1667-1748).
Euler (1707-1783),
Lagrange (1736-1813),
Laplace (1749-1827).
Z dziełem tych ostatnich była ściśle związana grupa matematyków francuskich. W szczególności Clairaut, d`Alembert i Maupertuis, którzy byli z kolei powiązani z filozofami Oświecenia. Do nich należy dołączyć matematyków szwajcarskich Lamberta i Daniela Bernoulliego. Działalność naukowa zwykle koncentrowała się wokół Akademii, z których wyróżniały się Akademie w Paryżu, Berlinie i Petersburgu. Nauka uniwersytetów odgrywała mniejszą rolę lub nie odgrywała jej wcale. Był to okres, w którym niektóre z przodujących państw europejskich znajdowały się pod rządami despotów eufemicznie zwanych oświeconymi Fryderyka Wielkiego, Katarzyny Wielkiej, do których możemy dodać Ludwika XV i Ludwika XVI. Pretensja do sławy u tych despotów uzewnętrzniała się częściowo w ich upodobaniu do gromadzenia wokół siebie uczonych. Upodobanie to miało charakter intelektualnego snobizmu, złagodzonego pewnym zrozumieniem ważnej roli nauk ścisłych i matematyki stosowanej w ulepszaniu manufaktur i rozwoju techniki wojennej.
Na przykład francuska marynarka miała zawdzięczać swą doskonałość temu, że w konstrukcji fregat i okrętów liniowych francuscy mistrzowie budowniczowie okrętów opierali się częściowo na teorii matematycznej. Prace Eulera obfitują w zastosowania dotyczące zagadnień ważnych dla armii i marynarki. Astronomia w dalszym ciągu odgrywała wybitną rolę matki żywicielki badań matematycznych pod cesarską i królewską opieką.
Bazylea w Szwajcarii, wolne miasto cesarskie od roku 1263, przez długie lata była ośrodkiem nauki. Już w czasach Erazma tamtejszy uniwersytet był wielkim, ogniskiem życia naukowego. Nauka i sztuka, podobnie jak w miastach holenderskich, kwitły w Bazylei pod rządami patrycjatu kupieckiego. Do tego patrycjatu bazylejskiego należała kupiecka rodzina Bernoullich, która w poprzednich wiekach przybyła z Antwerpii po zajęciu tego miasta przez Hiszpanów.
Od końca wieku siedemnastego aż do dziś rodzina ta w każdym pokoleniu wydawała uczonych. Istotnie, w całej historii nauki trudno znaleźć rodzinę, która by wsławiła się takimi osiągnięciami w nauce.
Zaczynają się one od dwóch matematyków: Jakuba i Jana Bernoullich. Jakub studiował teologię, a Jan medycynę, lecz gdy ukazała się praca Leibniza w Acta Eruditorum" obaj postanowili zostać matematykami i stali się pierwszymi wybitnymi uczniami Leibniza. W roku 1687 Jakub przyjął katedrę matematyki na Uniwersytecie w Bazylei, gdzie wykładał aż do swej śmierci w roku 1705. W roku 1697 Jan został profesorem w Groningen, a po śmierci brata zastąpił go na jego katedrze w Bazylei, gdzie pozostał jeszcze przez czterdzieści trzy lata. Jakub rozpoczął korespondencję z Leibnizem w roku 1687. Od tego czasu, w stałej wymianie pomysłów z Leibnizem i między sobą, często w zawziętej wzajemnej rywalizacji, obaj bracia zaczęli odkrywać skarby zawarte w pionierskim dorobku Leibniza.
Spis uzyskanych przez nich wyników jest długi i zawiera nie tylko wiele materiałów należących obecnie do elementarnych podręczników rachunku różniczkowego i całkowego, ale również dotyczących całkowania wielu równań różniczkowych zwyczajnych. Do odkryć Jakuba należy używanie współrzędnych biegunowych, badanie krzywej łańcuchowej (rozważanej już przez Huygensa i innych), lemniskaty (1694) i spirali logarytmicznej. W roku 1690 znalazł on, jako rozwiązanie zagadnienia postawionego przez Leibniza w roku 1687, tzw. izochronę, tj. krzywą, wzdłuż której ciało spada z jednostajną prędkością; krzywa ta okazała się parabolą półkubiczną. Jakub zajmował się także figurami izoperymetrycznymi (1701), które prowadziły do problemu z rachunku wariacyjnego.
Spirala logarytmiczna posiadająca tę własność, że przekształca się sama w siebie przy różnych transformacjach (jej ewoluta jest spiralą logarytmiczną, a także krzywa spodkowa i kaustyka względem bieguna) do tego stopnia zajmowała Jakuba, że pragnął, by wyrzeźbiono ją na jego nagrobku z napisem eadem mutata resurgo"
Jakub Bernoulli był także jednym z pierwszych badaczy rachunku prawdopodobieństwa, o którym napisał dzieło Ars conjectandi, pośmiertnie ogłoszone w roku 1713. W pierwszej części tej książki
przedrukowany jest traktat Huygensa o grach losowych; inne części dotyczą, permutacji i kombinacji i głównym ich wynikiem jest twierdzenie Bernoulliego o rozkładzie dwumiennym. W dyskusji trójkąta Pascala występują w tej książce liczby Bernoulliego.Osiągnięcia Jana Bernoulliego są ściśle związane z dziełem jego starszego brata związek ten jest tak silny, że nie zawsze łatwo jest odróżnić ich wyniki. Jan uważany jest często za wynalazcę rachunku wariacyjnego, a to z uwagi na jego badania nad problemem brachistochrony. Jest to krzywa najszybszego spadku punktu ważkiego między dwoma punktami danymi w polu grawitacyjnym. Była ona badana przez Leibniza i Bernoullich w roku 1697 i następnych. W tym czasie znaleźli oni równanie linii geodezyjnych na powierzchni .
Rozwiązaniem problemu brachistochrony jest cykloida, która rozwiązuje również problem tautochrony, krzywej, na której punkt ważki w polu grawitacyjnym osiąga swoje najniższe położenie w czasie niezależnym od punktu początkowego. Tę własność cykloidy odkrył Huygens i wykorzystał w konstrukcji tautochronicznego zegara wahadłowego (1673), w którym okres wahań nie zależy od amplitudy.
Spośród innych Bernoullich, którzy wywarli wpływ na kierunek rozwoju matematyki wymienimy dwóch synów Jana Mikołaja, a przede wszystkim Daniela Mikołaj został zaproszony do Petersburga, założonego parę lat przedtem przez cara Piotra Wielkiego. Przebywając tam przez krótki okres postawił problem dotyczący rachunku prawdopodobieństwa zwany problemem (lub paradoksem") petersburskim. Ten syn Jana Bernoulliego zmarł młodo, lecz drugi Daniel dożył znacznego wieku i aż do roku 1777 był profesorem w Bazylei.
Twórcza działalność Daniela dotyczyła głównie astronomii, fizyki i hydrodynamiki. Jego Hydrodynamica ukazała się w roku 1738 i jedno z zawartych w niej twierdzeń o ciśnieniu hydraulicznym zostało nazwane jego imieniem. W tym samym roku stworzył kinetyczną teorię gazów i wraz z d'Alembertem i Eulerem badał teorię struny drgającej. Gdy jego ojciec i stryj rozwijali teorię równań różniczkowych zwyczajnych, Daniel był pionierem w teorii równań o pochodnych cząstkowych. Z Bazylei pochodził również Leonard Euler, najpłodniejszy matematyk osiemnastego wieku, jeśli nie wszystkich czasów. Jego ojciec studiował matematykę po kierunkiem Jakuba Bernoulliego, on sam pod kierunkiem Jana. Gdy w roku 1725 Mikołaj, syn Jana, udał się do Petersburga, młody Euler pojechał za nim i pozostał w tamtejszej Akademii do roku 1741.
Od roku 1741 do 1766 przebywał w Berlinie na specjalne zaproszenie Fryderyka Wielkiego, po czym znowu wrócił do Petersburga (1766-1783), tym razem pod opiekę carowej Katarzyny. Ożenił się dwukrotnie i miał trzynaścioro dzieci. Życie tego osiemnastowiecznego akademika było niemal wyłącznie poświęcone pracy w różnych działach matematyki czystej i stosowanej. Chociaż w roku 1735 stracił jedno oko, a w roku 1766 drugie, nic nie mogło przerwać jego olbrzymiej aktywności. Wspomagany przez swą fenomenalną pamięć niewidomy Euler dyktował swe odkrycia. Za jego życia ukazało się 530 książek i prac, a po śmierci zostawił wiele rękopisów ogłoszonych przez Akademię w Petersburgu w ciągu następnych czterdziestu siedmiu lat. (Zwiększyło to ilość jego prac do 771, a poszukiwania Enestroma uzupełniły jeszcze tę listę do 886 pozycji). Euler dokonał poważnych odkryć we wszystkich działach matematyki, jakie istniały w jego czasach.
Ogłaszał swoje wyniki nie tylko w osobnych pracach rozmaitej objętości, lecz także w ogromnej ilości obszernych podręczników, w których spisywał i porządkował materiały zebrane w ciągu wielu lat. W kilku dziedzinach ujęcie Eulera okazało się niemal ostateczne. Dotyczy to np. naszej obecnej trygonometrii, z jej pojmowaniem funkcji trygonometrycznych jako stosunków między bokami trójkąta oraz przyjętymi dziś oznaczeniami, które datują się od książki Eulera Introductio in analysin infinitorum (1748). Wielki autorytet jego podręczników na zawsze ustalił wiele spornych kwestii w oznaczeniach algebry i analizy; Lagrange, Laplace i Gauss znali Eulera i, wzorowali się na nim we wszystkich swych pracach. Introductio z roku 1748 zawiera w swych dwóch tomach wielką rozmaitość przedmiotów. Autor podaje w niej wykład szeregów nieskończonych łącznie z szeregami dla
ex, sin x i cos x oraz podaje związek eix = cosx + i sin x (odkryty przez Jana Bernoulliego i innych w różnych postaciach). Krzywe i powierzchnie bada tak swobodnie przy pomocy ich równań, że możemy uważać Introductio za pierwszy podręcznik geometrii analitycznej. Znajdujemy tu również algebraiczną teorię eliminacji. Do najświetniejszych części tej książki
należy rozdział dotyczący funkcji dzeta i jej związków z teorią liczb pierwszych, a także rozdział o partitio numerorum" .Drugim dużym i bogatym w treść podręcznikiem Eulera były Institutiones calculi differentialis (1755), po których wydal dwa tomy Institutiones calculi integralis (1768-1774). Znajdujemy tu nie tylko elementarny rachunek różniczkowy i całkowy, lecz także teorię równań różniczkowych, twierdzenie Taylora z wieloma zastosowaniami, wzór sumacyjny" Eulera oraz całki Γ i B Eulera. Rozdział o równaniach różniczkowych z klasyfikacją równań liniowych", zupełnych" i jednorodnych" stanowi jeszcze wzór naszych elementarnych podręczników tego przedmiotu. Mechanica, sive motus scientia analytice expósita (1736) Eulera była pierwszym podręcznikiem, zawierającym dynamikę punktu materialnego Newtona rozwiniętą przy pomocy metod analitycznych.
Nastąpiła po niej Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765), w której Euler w podobny sposób przedstawił mechanikę ciał sztywnych. Podręcznik ten zawiera równania Eulera ruchu ciała obracającego się wokół punktu. Vollstaendige Anleitung zur Algebra (1770), książka napisana w języku niemieckim i dyktowana służącemu, stała się wzorem wielu późniejszych podręczników algebry. W książce tej autor dochodzi do teorii równań sześciennych i dwukwadratowych. W roku 1744 pojawiło się dzieło Eulera Adethodus invetiiendi, lineas curvas maximi minimwe proprietate gaudentes. Był to pierwszy wykład rachunku wariacyjnego, zawierający równania Eulera z licznymi zastosowaniami, m. in. z odkryciem, że katenoida i powierzchnia śrubowa są powierzchniami minimalnymi.
Wiele innych wyników Eulera można znaleźć w jego pomniejszych pracach, które zawierają wiele cennych faktów, nawet dziś mało znanych. Do bardziej znanych odkryć należy twierdzenie dotyczące ilości wierzchołków (V), krawędzi (E) i ścian (F) zamkniętego wielościanu (V+F-E = 2) ; linia Eulera w trójkącie, krzywe o stałej szerokości (Euler nazywa je curvae orbiformes); oraz stała Eulera
Kilka prac było poświęconych rozrywkom matematycznym (siedem mostów Królewca, skoki konia w szachach). Snme osiągnięcia Eulera w zakresie teorii liczb mogłyby mu zapewnić miejsce w gronie zasłużonych; do odkryć łych należy prawo wzajemności reszt kwadratowych. Poważną część swej działalności naukowej Euler poświęcił astronomii; uwagę jego przyciągała szczególnie teoria księżyca, ważny przypadek szczególny zagadnienia trzech ciał, mający znaczenie dla rozwiązania starodawnego problemu pomiaru długości geograficznej. Theoria motus planetarumet cometarum (1774) jest traktatem mechaniki niebieskiej, z tym działem związane były badania Eulera nad przyciąganiem elipsoid (1738). Euler pisał książki o hydraulice, budowie okrętów i artyIerii; w latach 176971 pojawiły się trzy tomy jego Dioptrica z teorią przechodzenia promieni przez układy soczewek. W roku 1739 ukazała się jego nowa teoria muzyki, o której powiedziano, że jest zbyt muzyczna dla matematyków i zbyt matematyczna dla muzyków.
Filozoficzny wykład najważniejszych problemów nauk przyrodniczych, które Euler zawarł w Listach do księżniczki niemieckiej (napisanych w 1760-61), pozostał wzorem popularyzacji.
Ogromna płodność Eulera była przedmiotem podziwu i uwielbienia dla każdego, kto próbował studiować jego dzieła zadanie niezbyt trudne, ponieważ łacina Eulera jest bardzo prosta, a jego oznaczenia są prawie nowoczesne, a raczej należałoby powiedzieć, że nasze oznaczenia są niemal oznaczeniami Eulera. Można by zestawić długą listę odkryć, w których Euler posiada pierwszeństwo, a drugą listę jego idei, które są jeszcze warte opracowania. Wielcy matematycy zawsze zdawali sobie sprawę z tego. co zawdzięczali Eulerowi, lisez Euler" mówił Laplace do młodych matematyków, lisez Euler, c'est notre maître a tous". Gauss natomiast wyrażał się dobitniej :
"Czytanie dzieł Eulera pozostanie najlepszą szkołą w różnych działach matematyki i nic innego nie może go zastąpić". Riemann znał dobrze dzieła Eulera i niektóre z jego najbardziej głębokich prac znajdują się pod wyraźnym wpływem Eulera. Byłoby pożądane, by wydawcy pomyśleli o wydaniu tłumaczeń niektórych dzieł Eulera z nowoczesnymi objaśnieniami.
Pouczające jest zwrócenie uwagi nie tylko na osiągnięcia Eulera na polu nauki, lecz także na pewne jego słabości. Działania nieskończone były uprawiane w osiemnastym wieku jeszcze bez skrupułów i wiele z dzieł przodujących matematyków tego okresu robi na nas wrażenie entuzjastycznego eksperymentowania. Eksperymentowano tam z szeregami i iloczynami nieskończonymi, całkowaniem i używaniem takich symboli, jak 0, ∞, √- 1.O ile możemy dziś przyjąć
wiele z wniosków Eulera, to do niektórych musimy się odnieść z pewną rezerwą. Zgadzamy się na przykład z twierdzeniem Eulera, że log n ma nieskończenie wiele wartości, które są liczbami zespolonymi, z wyjątkiem przypadku, gdy n jest dodatnie, wówczas jedna z wartości jest rzeczywista; Euler doszedł do tego wniosku w liście do d`Alemberta (1747), który twierdził, że log (=- 1) = 0. Natomiast nie zawsze możemy się zgodzić z Eulerem, gdy pisze on 1- 3 + 5-7+... = 0 lub gdy wnioskuje
n+n2+
= n /1-n
i
1+ 1/n+1/n2+ = n / n-1;
że
+1/n2 + 1/n + 1 + n + n2 +
= 0
Musimy jednak być ostrożni i nie krytykować Eulera zbyt pośpiesznie za jego posługiwanie się szeregami rozbieżnymi; po prostu nie zawsze posługiwał się on naszymi współczesnymi kryteriami zbieżności i rozbieżności dla sprawdzenia słuszności swych wzorów. Wiele z tych wyników, dotyczących szeregów i otrzymanych nieścisłymi sposobami, uzyskało ścisły sens dzięki nowoczesnym matematykom. Natomiast nie możemy pochwalać Eulera, gdy przyjmuje teorię zer różnych rzędów jako podstawę rachunku różniczkowego. Nieskończenie mała wielkość, pisał Euler w swym Rachunku różniczkowym z roku 1755, jest dokładnie zerem, a ± dx = a , dx ± (dx)n+1= dx i a √dx + C dx = a√dx.
Tak więc istnieje nieskończenie wiele rzędów wielkości nieskończenie małych, które, chociaż są wszystkie równe zeru, można rozróżnić pomiędzy sobą, gdy rozważamy ich wzajemny stosunek wyrażający się przez stosunek geometryczny".
Cały problem podstaw rachunku różniczkowego i całkowego, jak również wszystkie zagadnienia działań nieskończonych, pozostały w dalszym ciągu przedmiotem dyskusji. Okres mistyczny" podstaw rachunku różniczkowego i całkowego (używając terminu proponowanego przez Karola Marksa) sam wywołał mistycyzm, który niekiedy wychodził daleko poza problematykę jego założycieli. Guido Grandi, mnich i profesor z Pizy, znany ze swych prac nad rozetami r = sin n θ i innymi krzywymi przypominającymi kwiaty, uważał wzór
1 = 1-1+1-1+1- = (1-1)+(1-1)+(1-1)+
. = 0 + 0+ 0 + 0 +....
za symbol stworzenia z niczego. Wynik uzyskał rozpatrując przypadek ojca, który zapisał swym dwom synom klejnot, z tym, że każdy na przemian miał go posiadać przez rok. W ten sposób klejnot należał po połowie do każdego z nich. Podstawy rachunku różniczkowego i całkowego podane przez Eulera mogą mieć swoje słabe punkty, lecz wyrażał on swój punkt widzenia bez wieloznaczności. W niektórych artykułach w Encyclopédie d`Alembert próbował stworzyć te podstawy przy pomocy innych środków. Newton używał wyrażenia stosunek początkowy i końcowy" dla fluksji" jako początkowego względnie końcowego stosunku dwóch wielkości, które właśnie zaczynają powstawać. D`Alembert zastąpił to pojęcie pojęciem granicy. Uważał on jedną wielkość za granicę drugiej, jeśli ta druga zbliżała się do pierwszej na odległość mniejszą od dowolnie danej. Różniczkowanie równań polega po prostu na znajdowaniu granic stosunku przyrostów skończonych dwóch zmiennych zawartych w równaniu".
Był to taki sam krok naprzód jak pomysł d`Alemberta nieskończoności różnych rzędów. Współcześni niełatwo jednak dali się przekonać co do znaczenia nowego kroku i gdy d`Alembert mówił, że sieczna staje się styczną, skoro dwa punkty przecięcia stają się jednym, wydawało się, że nie pokonał on jeszcze trudności zawartych w paradoksach Zenona. Ostatecznie więc, czy wielkość zmienna osiąga swą granicę? A może nigdy jej nie osiąga?
Mówiliśmy już o krytyce fluksji Newtona ogłoszonej przez biskupa Berkeleya. George Berkeley, najpierw dziekan Derry, potem od roku 1734 biskup Cloyne w Irlandii, a od 1729 do 1731 rezydent w Newport jest znany przede wszystkim ze swojego krańcowego idealizmu (esse est percipi"). Brał on za złe nauce Newtona poparcie, jakie dawała ona materializmowi i atakował teorię fluksji w
dziele Analyst z roku 1734. Wyszydzał on nieskończnostki jako duchy wielkości, które odeszły" ; jeśli x doznaje przyrostu o, wówczas przyrost x" podzielony przez o jest
nxn-1 + (n(n-1)/1*2) xn-2
Wzór ten został uzyskany przy pomocy założenia, że o jest różne od zera. Fluksję xn, nxn-1 uzyskuje się przyjmując właśnie o równe zeru, tj. odrzucając nagle poprzednie założenie. Był to jawny sofizmat", którego Berkeley dopatrywał się w rachunku różniczkowym i całkowym; uważał, że jego poprawne wyniki zostały uzyskane przez kompensację błędów. Fluksje były logicznie nie do przyjęcia.
Lecz ten, kto może strawić drugą lub trzecią fluksję, drugą lub trzecią różnicę" zwracał się Berkeley do niewiernego matematyka" (tj. do Halleya), ten nie ma, jak sądzę, potrzeby wątpić w jakąkolwiek prawdę teologiczną". Nie był to jedyny przypadek, w którym krytyczne trudności, w jakich znalazła się nauka, próbowano wykorzystać na korzyść filozofii idealistycznej.
John Landen, angielski matematyk samouk, którego nazwisko przeszło do historii w teorii całek eliptycznych, próbował pokonać podstawowe trudności w rachunku różniczkowym i całkowym swoim własnym sposobem. W Residual Analysis (1764) próbował ominąć krytykę Berkeleya przez całkowite unikanie nieskończonostek. Dla przykładu pochodną x3 znajdował przez zamianę x na x1, po czym
x3n-1-x3 / x11-x = x21+xx1+x2
przechodziło w 3x2 gdy x1 = x . Ponieważ ten sposób postępowania przy funkcjach bardziej skomplikowanych prowadził do szeregów nieskończonych, metoda Landena miała pewne cechy wspólne z późniejszą algebraiczną" metodą Lagrange'a.
Jakkolwiek Euler był niezaprzeczenie czołowym matematykiem tego okresu, Francja dalej
tworzyła dzieła o wielkim znaczeniu. Bardziej niż w jakimkolwiek innym kraju matematyka była tu uważana za naukę, której celem było nadanie doskonałej postaci teorii Newtona. Teoria powszechnego ciążenia stanowiła przedmiot dużego zainteresowania dla filozofów Oświecenia, którzy używali jej jako oręża w walce przeciw pozostałościom feudalizmu. Kościół katolicki umieścił Descartesa na indeksie w roku 1664, lecz około roku 1700 jego teorie stały się modne nawet w sferach konserwatywnych. Sprawa newtonizmu przeciw kartezjanizmowi stała się przez jakiś czas przedmiotem dużego zainteresowania, nie tylko w kręgach uczonych, lecz także w salonach. Lettres sur les Anglais (1734) Voltaire'a uczyniły wiele dla zapoznania czytelnika francuskiego z postacią Newtona. Przyjaciółka Voltaire'a, Mme du Chatelet przetłumaczyła nawet Principia na francuski (1759). Szczególnym punktem niezgody między dwiema teoriami była sprawa kształtu Ziemi.
W kosmogonii uznawanej przez kartezjańczyków Ziemia była wydłużona na biegunach, podczas gdy teoria Newtona wymagała, by była spłaszczona. Astronomowie kartezjańscy Cassini, Jan Dominik ojciec i Jakub syn (ojciec znany jest w geometrii z owalu Cassiniego, 1680) zmierzyli w latach między 1700 i 1720 łuk południka we Francji i bronili wniosku Kartezjusza. Powstał spór, w którym brało udział wielu matematyków. W roku 1735 wysłano ekspedycję do Peru, a po niej w latach 1736-37 ekspedycję do Tornea w Laponii szwedzkiej pod kierunkiem Pierre de Maupertuis dla zmierzenia stopnia szerokości geograficznej. Wyniki obu ekspedycji stanowiły tryumf dla teorii Newtona i dla samego Maupertuis. Sławny teraz grand aplatisseur" (wielki spłaszczyciel") został prezesem Akademii w Berlinie i przez długie lata wygrzewał się w słońcu swej chwały na dworze Fryderyka Wielkiego.
Trwało to do roku 1750, gdy rozpoczął ostrą dyskusję z szwajcarskim matematykiem Samuelem Konigiem, dotyczącą zasady najmniejszego działania w mechanice, zauważonej już być może przez Leibniza. Maupertuis poszukiwał, podobnie jak Fermat przed nim a Einstein po nim, pewnej ogólnej zasady, w której można by połączyć prawa wszechświata. Sformułowanie Maupertuis było niejasne, lecz działanie" określał jako mvs (m masa, v prędkość, s droga) ; próbował on uzyskać z niego dowód
istnienia Boga. Nieporozumienie doszło do szczytu, gdy Voltaire wyszydził nieszczęsnego prezesa w Diatribe du docteur Akakia, Médecin du pape ( 1752). Ani poparcie króla, ani obrona Eulera nie mogły pomóc upadłemu na duchu Maupertuis i zgnębiny matematyk zmarł niedługo po tym w domu Bernoullich w Bazylei.
Euler przedstawił zasadę najmniejszego działania w postaci ∫ mv ds = minimum, co więcej nie uznawał metafizyki Maupertuis. Umieściło to zasadę na zdrowej podstawie, na jakiej używał jej Lagrange , a później Hamilton. Użycie hamiltonianu we współczesnej fizyce matematycznej ilustruje podstawowy charakter przyczynku Eulera do sporu Maupertuis i Königa.
Wśród matematyków, którzy brali udział wraz z Maupertuis w wyprawie do Laponii był Alexis Claude Clairaut. Clairaut mając osiemnaście lat ogłosił Recherches sur les courbes a double courbure, pierwszą próbę geometrii analitycznej i różniczkowej krzywych przestrzennych. Po powrocie z Laponii Clairaut ogłosił Théorie de la figure de la terre (1743), podstawowe dzieło dotyczące figur równowagi cieczy oraz przyciągania elipsoid obrotowych. Tylko w niewielu szczegółach mógł je ulepszyć Laplace. Wśród jego wielu wyników znajdujemy warunek na to, by wyra żenie M dx+N dy stanowiło różniczkę zupełną. Następnym dziełem była Théorie de la lune (1752), która uzupełniała teorię Eulera ruchu księżyca i problemu trzech ciał w ogólności. Clairaut rozwinął również teorie całek krzywoliniowych i równań różniczkowych; jeden z rozpatrywanych przez niego typów jest znany jako równanie Clairauta i stanowi jeden z pierwszych znanych przykładów z rozwiązaniami osobliwymi.
Opór intelektualny przeciw ancien régime" grupował się po roku 1750 wokół słynnej 28 tomowej Encyclopédie (1751-1772). Wydawcą był Denis Diderot, pod którego kierownictwem Encyklopedia przedstawiała szczegółowy wykład filozofii Oświecenia. Wiedza matematyczna Diderota nie była mała, lecz czołowym matematykiem Encyklopedii był Jean Le Rond d`Alembert, naturalny syn pewnej arystokratki, pozostawiony jako podrzutek koło kościoła St. Jean Le Rond w Paryżu. Jego wcześnie ujawnione wybitne zdolności ułatwiły mu karierę; w roku 1754 został secrétaire perpétuel" Akademii Francuskiej, a jako taki najbardziej wpływowym uczonym, we Francji. W roku 1743 ukazało się jego dzieło Traité de dynamique, zawierające metodę sprowadzenia dynamiki ciał sztywnych do ich statyki, znaną jako zasada d`Alemberta. Poza tym pisał on o wielu zastosowaniach, w szczególności o hydrodynamice, aerodynamice, problemie trzech ciał.
W roku 1747 ukazała się jego teoria struny drgającej, która czyni go wraz z Danielem Bernoullim twórcą teorii równań o pochodnych cząstkowych. Podczas gdy d'Alembert i Euler rozwiązali równanie
ztt= k2zxx
przy pomocy wyrażenia z = f(x+kt) + φ (x-kt), Bernoulli rozwiązał je przy pomocy szeregów trygonometrycznych. Natura tego rozwiązania budziła poważne wątpliwości; d`Alembert uważał, że początkowa postać struny może być podana jedynie przy pomocy jednego wyrażenia analitycznego, podczas gdy zdaniem Eulera mogła to być dowolna" krzywa ciągła. W przeciwieństwie do Eulera Bernoulli uważał, że jego rozwiązanie przy pomocy szeregów jest całkowicie ogólne. Na pełne wyjaśnienie problemu trzeba było czekać aż do roku 1824, gdy Fourier usunął wątpliwości dotyczące możliwości przedstawienia dowolnej funkcji za pomocą szeregu trygonometrycznego. D`Alembert z łatwością pisał o wielu dziedzinach, nawet
o podstawowych problemach matematyki. Wspominaliśmy o jego podejściu do pojęcia granicy. Podstawowe" twierdzenie algebry czasem bywa nazywane jego nazwiskiem, ponieważ próbował je udowodnić (1746), a paradoks" d`Alemberta w teorii prawdopodobieństwa pokazuje, że myślał on także o podstawach tej teorii, choć nie zawsze z powodzeniem. Teoria prawdopodobieństwa w tym okresie czyniła szybkie postępy, polegające głównie na dalszym opracowaniu idei Fermata, Pascala i Huygensa. Po Ars conjectandi powstało wiele innych dzieł, a wśród nich The Doctrine of Chances (1716) napisane przez Abrahama de Moivre, hugonota francuskiego, który po odwołaniu edyktu nantejskiego (1685) osiedlił się w Londynie i żył z prywatnych korepetycji. Nazwisko de Moivre'a związane jest ze wzorem trygonometrycznym, który w obecnej formie (cos φ + i sin φ)n = cos nφ +i sin φ pojawia się po raz pierwszy w Introductio Eulera.
W pracy ogłoszonej w roku 1733 wyprowadził on funkcję rozkładu normalnego prawdopodobieństwa jako przybliżenie prawa dwumiennego oraz podał wzór równoważny ze wzorem Stirlinga. James Stirling, matematyk angielski ze szkoły Newtona, podał swój szereg w
roku 1730. Wiele loterii i towarzystw ubezpieczeniowych zorganizowanych w tym okresie zainteresowało licznych matematyków, łącznie z Eulerem, teorią prawdopodobieństwa. Prowadziło to do prób zastosowania nauki o prawdopodobieństwie do wielu nowych dziedzin. Hrabia de Buffon, znany jako autor historii naturalnej w 36 zachwycających tomach oraz słynnej rozprawy o stylu (1753: le style est l'homme meme"), wprowadził w roku 1777 pierwszy przykład prawdopodobieństwa geometrycznego. Był to tzw. problem igły, który wywołał wiele zainteresowania, ponieważ pozwalał na doświadczalne" wyznaczenie liczby je przez rzucanie igły na płaszczyznę pokrytą prostymi równoległymi i jednakowo oddalonymi oraz przez liczenie, ile razy igła przetnie którąkolwiek z prostych.
Do tego okresu należy również dążenie do zastosowania teorii prawdopodobieństwa do sądownictwa, np. przez obliczenie prawdopodobieństwa, że sąd może dojść do prawidłowego wyroku, jeżeli każdemu spośród różnych świadków przysięgłych przypisze się liczbę wyrażającą prawdopodobieństwo, że będzie on mówił prawdę. To ciekawe probabilité des jugements" z jego szczególnym wydźwiękiem filozofii Oświecenia panowało wyraźnie w dziele markiza de Condorcet i ponownie pojawiło się u Laplace`a, a nawet u Poissona (1837). De Moivre, Stirling i Landen byli typowymi przedstawicielami matematyki angielskiej osiemnastego wieku. Musimy jeszcze wspomnieć o niektórych innych, z których jednak żaden nie osiągnął wielkości swych kolegów z kontynentu. Tradycja czcigodnego Newtona zaciążyła na nauce angielskiej, a jego niewygodne w porównaniu ze znakowaniem Leibniza oznaczenia utrudniały postęp. Istniały głębokie przyczyny społeczne, dla których angielscy matematycy nie chcieli uwolnić się od metody fluksji Newtona.
Anglia pozostawała w stałych wojnach handlowych z Francją i w związku z tym rozwijała poczucie swej wyższości intelektualnej, które spotęgowały nie tylko zwycięstwa w wojnie i handlu, lecz także i uznanie, z jakim filozofowie kontynentalni odnosili się do jej systemu politycznego. Anglia stała się ofiarą swej własnej wyimaginowanej doskonałości. Istniała pewna analogia między matematyką osiemnastego wieku w Anglii i matematyką późnej starożytności w Aleksandrii. W obu przypadkach rozwój był zahamowany przez nieadekwatne oznaczenia, lecz przyczyny samozadowolenia" matematyków miały głębsze przyczyny społeczne. Czołowym matematykiem angielskim, a raczej mówiącym po angielsku, był w tym okresie Colin Maclaurin, profesor Uniwersytetu w Edynburgu, uczeń i osobisty znajomy Newtona. Jego badania nad rozszerzeniem metody fluksji, krzywymi drugiego i wyższych stopni oraz nad przyciąganiem elipsoid przebiegały równolegle ze współczesnymi mu pracami Clairauta i Eulera.
Kilka twierdzeń Maclaurina znajdujemy w obecnej teorii krzywych płaskich i geometrii rzutowej. W jego Geometria organica (1720) znajdujemy uwagę znaną jako paradoks Cramera, polegający na tym, że krzywa n-tego stopnia jest nie zawsze określona przez swoich 1/2*n(n+3) punktów tak, że dziewięć punktów może nie jednoznacznie wyznaczać krzywą sześcienną, podczas gdy dziesięć punktów może już być dla tego celu ilością zbyt dużą. Znajdujemy tu również metodę kinematyczną opisu krzywych płaskich różnych stopni. Dzieło Maclaurina Treatise of Fluxions (2 tomy, 1742) napisane z zamiarem obrony teorii Newtona przeciw zarzutom Berkeleya jest trudne w czytaniu w powodu archaicznego języka geometrycznego, który stanowi silny kontrast z łatwością pisania Eulera. Maclaurin starał się zachować ścisłość Archimedesa. Książka Maclaurina zawiera jego badania nad przyciąganiem elipsoid obrotowych oraz twierdzenie, że dwie takie elipsoidy, jeśli są współogniskowe,
przyciągają cząsteczkę na osi lubn równiku z siłami proporcjonalnymi do ich objętości. W traktacie swym Maclaurin zajmuje się także słynnym szeregiem Maclaurina. Szereg ten nie był jednak nowym odkryciem, ponieważ pojawił się on w książce Methodus inerementorum (1715), której autorem był Brook Taylor, przez krótki czas sekretarz Towarzystwa Królewskiego. Maclaurin uznał w pełni swój dług w stosunku do Taylora. Szereg Taylora jest obecnie zawsze podawany w oznaczeniach Lagrange`a:
f(x + h) =f(x) + hf′(x) + h2/2! *f′′ + ... Taylor wyraźnie wspomina o tym szeregu dla x = 0, który w licznych podręcznikach jeszcze ciągle występuje pod nazwą szeregu Maclaurina.
Wyprowadzenie Taylora nie zawierało rozważań dotyczących zbieżności, którym początek dał Maclaurin - znał on nawet tak zwane całkowe kryterium badania zbieżności dla szeregów nieskończonych. Znaczenie szeregu Taylora doceniono dopiero wtedy, gdy Euler zastosował go w swym rachunku różniczkowym (1755); Lagrange uzupełnił go resztą i
stosował jako podstawę swej teorii funkcji. Sam Taylor posługiwał się swym szeregiem przy całkowaniu pewnych równań różniczkowych. Joseph Louis Lagrange urodził się w Turynie z. rodziców francusko-włoskich. Mając dziewiętnaście lat został profesorem matematyki w szkole artylerii w Turynie (1755). Gdy w roku 1766 Euler opuścił Berlin udając się do Petersburga, Fryderyk Wielki zaprosił Lagrange`a do Berlina załączając do swego zaproszenia skromne zdanie, że koniecznym jest, by największy z geometrów żył u boku największego z królów". Lagrange pozostał w Berlinie aż do śmierci Fryderyka (1786), po czym przeniósł się do Paryża. Podczas rewolucji brał udział w reformowaniu wag i miar, potem został profesorem najpierw w Ecole Normale (1795), a następnie w École Polytechnique (1797).
Do najwcześniejszych prac Lagrange`a należą badania nad rachunkiem wariacyjnym. Dzieło Eulera o tym przedmiocie ukazało się w roku 1755; Lagrange zauważył, że metoda Eulera nie posiadała w pełni prostoty, jaka pożądana jest w przedmiocie należącym do czystej analizy". Wynikiem był czysto analityczny rachunek wariacyjny Lagrange`a (1760-61), zawierający mnóstwo nie tylko nowych odkryć, lecz także porządnie ułożonego i opracowanego materiału historycznego - coś zupełnie typowego dla wszystkich dzieł Lagrange`a. Lagrange zastosował zaraz swą teorię do problemów dynamiki, w pełni wykorzystując sformułowanie Eulera zasady najmniejszego działania, która była wynikiem godnego ubolewania epizodu z pismem Akakia". Wiele zasadniczych idei Mécanique analytique datuje się więc z czasów, gdy Lagrange przebywał jeszcze
w Turynie. Prowadził on również badania nad jednym z podstawowych problemów tych czasów, teorią księżyca. Podał pierwsze rozwiązania szczególne problemu trzech ciał. Twierdzenie Lagrange`a orzeka, że możliwe jest nadanie ruchu trzem ciałom w ten sposób, by ich orbitami były podobne elipsy, zakreślane w tym samym czasie (1772). W roku 1767 ukazała się jego rozprawa Sur la résolution des équations numériques, w której przedstawione są metody oddzielania pierwiastków rzeczywistych równania algebraicznego oraz przybliżanie ich przy pomocy ułamków łańcuchowych. Po niej w roku 1770 pojawiły się Réflexions sur la résolution algébrique des équations, które zajmują się podstawową kwestią, dlaczego metody prowadzące do rozwiązania równań stopnia n &le 4 zawodzą dla n >4
Prowadziło to Lagrange`a do badania funkcji wymiernych pierwiastków oraz ich zachowania się przy permutacjach pierwiastków; postępowanie to wywarło wpływ nie tylko na badania Ruffiniego i Abela w przypadku n > 4, lecz także doprowadziło Galois do jego teorii grup. Lagrange przyczynił się również do postępu w teorii liczb: zajmował się resztami kwadratowymi i, między wielu innymi twierdzeniami, udowodnił, że każda liczba całkowita jest sumą najwyżej czterech kwadratów. Drugą część swego życia Lagrange poświęcił pisaniu wielkich dzieł Mécanique analytique (1788), Théorie des fonctions analytiques (1797) oraz jej dalszego ciągu Leçons sur le calcul des fonctions (1801). Obie księgi o funkcjach były próbą stworzenia solidnych podstaw dla rachunku różniczkowego i całkowego przez sprowadzenie go do algebry. Lagrange odrzucał teorię granic, tak jak ją podawał Newton, a
sformułował d`Alembert; nie mógł on zrozumieć, co się działo, gdy stosunek δy / δx osiągnął swoją granicę. Mówiąc słowami Lazare Carnota, organisateur de la victoire" w rewolucji francuskiej, którego również dręczyła metoda nieskończonostek Newtona:
Metoda ta posiada tę wielką niewygodę, że rozpatruje wielkości w stanie, w którym przestają, że tak powiem, być wielkościami; chociaż bowiem zawsze możemy bez trudu rozpatrywać stosunek dwóch wielkości tak długo, dopóki one skończonymi pozostają, to stosunek ten nasuwa wrażenie idei niejasnej i nieścisłej, gdy tylko oba te wyrazy, jeden i drugi, stają się równocześnie niczym.
Metoda Lagrange`a różniła się od metod jego poprzedników. Wychodził on z szeregu Taylora, który wyprowadzał wraz z resztą, pokazując w dość naiwny sposób, że każdą" funkcję f(x) można rozwinąć w taki szereg przy pomocy postępowania czysto algebraicznego. Wówczas pochodne
sformułował d`Alembert; nie mógł on zrozumieć, co się działo, gdy stosunek δy / δx osiągnął swoją granicę. Mówiąc słowami Lazare Carnota, organisateur de la victoire" w rewolucji francuskiej, którego również dręczyła metoda nieskończonostek Newtona:
Metoda ta posiada tę wielką niewygodę, że rozpatruje wielkości w stanie, w którym przestają, że tak powiem, być wielkościami; chociaż bowiem zawsze możemy bez trudu rozpatrywać stosunek dwóch wielkości tak długo, dopóki one skończonymi pozostają, to stosunek ten nasuwa wrażenie idei niejasnej i nieścisłej, gdy tylko oba te wyrazy, jeden i drugi, stają się równocześnie niczym.
Metoda Lagrange`a różniła się od metod jego poprzedników. Wychodził on z szeregu Taylora, który wyprowadzał wraz z resztą, pokazując w dość naiwny sposób, że każdą" funkcję f(x) można rozwinąć w taki szereg przy pomocy postępowania czysto algebraicznego. Wówczas pochodne
f′(x),f′′(x), itd. określa się jako współczynniki przy h, h2 , ... w rozwinięciu Taylora f(x+h) według potęg h. (Oznaczenia f′(x),f′′(x) pochodzą od Lagrange`a). Choć ta algebraiczna" metoda ugruntowania rachunku różniczkowego i całkowego jest niezadowalająca, a Lagrange zwracał niedostateczną uwagę na zbieżność szeregów, abstrakcyjne traktowanie funkcji stanowiło tu istotny krok naprzód. Pojawia się tu pierwsza teoria funkcji zmiennej rzeczywistej" z zastosowaniami do szerokiego zakresu problemów algebry i
geometrii. Mécanique analytique jest chyba najbardziej wartościowym dziełem Lagrange`a, które dziś jeszcze sowicie opłaca się dokładnie przestudiować. W dziele tym, które pojawiło się sto łat po Principia Newtona, cała potęga świeżo rozwiniętej analizy została zastosowana do mechaniki punktów i ciał sztywnych. Wyniki Eulera, d`Alemberta i innych matematyków osiemnastego wieku zostały tu przyswojone, a następnie rozwinięte w sposób konsekwentny. Pełne wykorzystanie rachunku wariacyjnego Lagrange`a umożliwiło mu właśnie to ujednolicenie różnych zasad statyki i dynamiki. W statyce uzyskał on tę jednolitość przez zastosowanie zasady przemieszczeń wirtualnych, w dynamice przez zastosowanie zasady d`Alemberta. Prowadziło to w sposób naturalny do współrzędnych uogólnionych oraz do równań ruchu w postaci Lagrange`a":
d/dt ∂T/∂qi - T/∂qi = Fi
Metoda geometryczna Newtona została obecnie całkowicie zarzucona; książka Lagrange`a stała się tryumfem analizy czystej. Autor posunął się aż do stwierdzenia we wstępie: on ne trouvera point de figures dans cet ouvrage, seulement des opérations algébriques" . Pierre Simon Laplace był ostatnim z czołowych matematyków wieku osiemnastego. Jako syn drobnego właściciela ziemskiego z Normandii uzyskał wykształcenie w Beaumont i Caen i dzięki pomocy d`Alemberta został profesorem matematyki w szkole wojskowej w Paryżu. Zajmował on kilka innych stanowisk w nauczaniu, i w administracji, a w czasie rewolucji brał udział w organizowaniu École Normale i Ëeole Polytechnique. Napoleon obdarzył go licznymi zaszczytami, lecz uczynił to też Ludwik XVIII. W przeciwieństwie do Monge'a i Carnota, Laplace łatwo zmieniał swoje przekonania polityczne, a przy tym wszystkim był trochę snobem; ta łatwość zmiany przekonań ułatwiła mu uprawianie czysto matematycznej działalności niezależnie od zmian politycznych we Francji.
Dwoma wielkimi dziełami Laplace`a, w których zebrane są nie tylko jego własne prace, lecz także cały poprzedni dorobek w odpowiednich dziedzinach, są Théorie analytique des probabilités (1812) i Mécanique céleste (5 tomów, 1799-1825). Oba podstawowe dzieła zostały poprzedzone obszernymi wstępami bez aparatu matematycznego: Essai philosophique sur les probabilités (1814) i Exposition du systeme du monde (1796). Exposition zawiera hipotezę mgławicową podaną niezależnie przez Kanta w roku 1755 (a nawet przed Kantem przez Swedenborga w roku 1734). Sama Mécanique céleste stanowiła zebranie wyników Newtona, Clairauta, d`Alemberta, Eulera, Lagrange`a oraz własnych prac Laplace`a o kształcie Ziemi, teorii księżyca, problemie trzech ciał, perturbacji planet, prowadzących do ważnego problemu stabilności układu słonecznego. Nazwa równanie Laplace`a
∂2 V/ ∂x2 + ∂2 V/ ∂y2 + ∂2 V/ ∂z2 = 0
przypomina nam, że teoria potencjału stanowi część Mécanique céleste (samo równanie zostało znalezione już przez Eulera w roku 1752, w toku wyprowadzania niektórych zasadniczych równań hydrodynamiki). Wokół tego pięciotomowego dzieła powstało wiele anegdot. Znane jest przypisywane Laplace'owi zdanie, gdy Napoleon próbował dokuczyć mu uwagą, że nie ma wzmianki o Bogu w jego książce. Sire, je n'avais pas besoin de cette hypothese" miał odpowiedzieć Laplace.
Nathaniel Bowditch z Bostonu, który przełożył cztery tomy dzieła Laplace`a na język angielski zauważył: Nigdy nie spotkałem u Laplace`a zdania więc w sposób jasny widać", by nie upewniło mnie to, że czekają mnie godziny ciężkiej pracy, zanim przebrnę przez lukę i pokażę jak to w sposób jasny widać". Kariera matematyczna Hamiltona zaczęła się od znalezienia błędu w Mécanique céleste Laplace`a; czytanie Laplace`a naprowadziło Greena na jego ideę matematycznej teorii elektryczności.
Essai philosophique sur les probabilités jest bardzo przystępnym wstępem do teorii prawdopodobieństwa; zawiera on negatywną" definicję prawdopodobieństwa Laplace`a
postulującą zdarzenia jednakowo prawdopodobne". Teoria prawdopodobieństwa polega na sprowadzeniu wszystkich zdarzeń tego samego rodzaju do pewnej ilości przypadków jednakowo prawdopodobnych; są to przypadki, co do zajścia których oraz co do ilości przypadków sprzyjających zajściu zdarzenia, o którego prawdopodobieństwo chodzi, w jednakowym stopniu nic nie wiemy".
Problemy dotyczące prawdopodobieństwa są według Laplace`a wynikiem zarówno naszej częściowej wiedzy, jak i częściowej niewiedzy. Prowadziło to Laplace`a do jego słynnego stwierdzenia, które jest kwintesencją osiemnastowiecznej interpretacji materializmu mechanicznego:
Inteligencja, która by w danym momencie znała wszystkie siły ożywiające naturę oraz wzajemne położenia bytów tworzących ją i przy tym byłaby dostatecznie wielka, by dane te poddać analizie, mogłaby w jednym wzorze objąć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów: nic nie byłoby dla niej niepewne i miałaby przed oczyma zarówno przyszłość, jak przeszłość. Umysł ludzki daje słabe pojęcie o tej inteligencji, której doskonałość można było osiągnąć tylko w astronomii".
Sam zasadniczy podręcznik zawiera tak obfity materiał, że można w nim znaleźć wiele późniejszych odkryć teorii prawdopodobieństwa Pokaźny tom zawiera obszerną dyskusję gier losowych i prawdopodobieństwa geometrycznego, twierdzenia Bernoulliego i jego związków z całką normalną, oraz teorii najmniejszych kwadratów stworzonej przez Legendre`a. Zasadniczą ideą jest posługiwanie się fonctions génératrices", których Laplace używa do rozwiązywania
równań różnicowych. Tu właśnie, pojawia się transformacja Laplace`a", która później stała się kluczem do rachunku operatorowego Heaviside'a. Również Laplace uratował od zapomnienia oraz poprawnie sformułował teorię naszkicowaną przez Tomasza Bayesa, nieznanego duchownego angielskiego, która została ogłoszona pośmiertnie w roku 1763-64. Teoria ta stała się znana pod nazwą teorii prawdopodobieństwa a posteriori. Jest rzeczą ciekawą, że pod koniec osiemnastego wieku czołowi matematycy uważali, że zakres matematyki jest już jakby wyczerpany. Prace Eulera, Lagrange`a, d`Alemberta i innych doprowadziły już do najważniejszych twierdzeń; wielkie podstawowe dzieła ustaliły już, lub miały wkrótce ustalić związki między nimi; dla nielicznych matematyków nowego pokolenia pozostały tylko drobne problemy do rozwiązania. Ne vous semble-t-il pas que la haute géométrie va un peu a décadence?" pisał w roku 1772 Lagrange do
d'Alemberta. Elle n'a d'autre soutien que vous et M. Euler" (.. Lagrange nawet przerwał na jakiś czas pracę nad matematyką. Nie lepsze nadzieje żywił także d`Alambert. Arago w swej Pochwale Laplace`a (1842) wyraził później pogląd, który pozwoli nam zrozumieć te przypuszczenia :
Pięciu geometrów Clairaut, Euler, d`Alembert, Lagrange i Laplace podzielili między siebie świat, którego istnienie odkrył Newton. Eksploatowali go we wszystkich kierunkach, przeszukiwali obszary uważane za niedostępne, wskazali w tych obszarach na rozliczne zjawiska, które dotąd nie zostały odkryte, a wreszcie - i tu właśnie leży ich nieprzemijająca zasługa - sprowadzili do jednej zasady, jednego prawa, wszystko co najbardziej subtelne i tajemnicze w ruchach ciał niebieskich. Geometria równań odważyła się decydować o przyszłości, a przemijające wieki skrupulatnie będą potwierdzać orzeczenia wiedzy".
Mowa Arago wskazuje na właściwe źródło tego pesymizmu fin de siecle", który polegał na tendencji do zbyt ścisłego identyfikowania postępów matematyki z postępami mechaniki i astronomii. Od starożytnego Babilonu aż do Eulera i Laplace`a astronomia była natchnieniem i drogowskazem najdoskonalszych odkryć matematyki; obecnie wydawało się, że rozwój ten osiągnął swój szczyt. Nowe pokolenie ożywione nowymi perspektywami otwartymi przez rewolucję francuską i rozkwit nauk przyrodniczych miało jednak pokazać, jak nieuzasadniony był ten pesymizm. Ten nowy wielki impuls tylko częściowo pochodził z Francji; miał on także swoje źródło, jak często bywało w historii cywilizacji, na peryferiach ośrodków ekonomicznych i politycznych, w tym przypadku u Gaussa w Getyndze Powrót
Rewolucja francuska i okres napoleoński stworzyły niezwykle pomyślne warunki dla rozwoju matematyki. Otwarta została droga do rewolucji przemysłowej na kontynencie europejskim, co wzmogło uprawianie nauk fizycznych; stworzyło to nowe klasy społeczne z nowym poglądem na życie, zainteresowanie w nauce i w wykształceniu technicznym. Idee demokratyczne wtargnęły na teren życia naukowego, wzmógł się krytycyzm przeciw przestarzałym formom myślenia, zaistniała konieczność zreformowania i odmłodzenia szkół i uniwersytetów. Nowa i burzliwa twórczość matematyczna nie miała już swego głównego źródła w problemach technicznych pojawiających się w nowym przemyśle. Anglia, ośrodek rewolucji przemysłowej, pod względem matematycznym pozostawała bezpłodna przez kilka dziesiątków lat. Najlepiej matematyka rozwijała się we Francji, a nieco później w Niemczech, krajach, gdzie ideologiczne zerwanie z przeszłością dało się mocniej
odczuć, gdzie radykalne zmiany zostały przeprowadzone, lub musiały być przeprowadzone, w celu przygotowania gruntu dla nowej kapitalistycznej struktury ekonomicznej i politycznej. Nowe badania matematyczne stopniowo uwalniały się od dawnego poglądu uważającego mechanikę i astronomię za ostateczny cel nauk ścisłych. Postęp nauki jako całości stał się nawet bardziej oderwany od wymagań stawianych przez życie gospodarcze lub sztukę wojenną. Pojawili się specjaliści zainteresowani w nauce samej dla siebie. Związek z praktyką nigdy nie został zerwany całkowicie, lecz często się zacierał. Podział na matematykę czystą" i stosowaną" towarzyszył wzrostowi specjalizacji .Matematycy dziewiętnastego wieku nie przebywali już na dworach królewskich ani w salonach arystokracji. Zasadniczym ich zajęciem przestało być członkostwo uczonej akademii, byli zwykle zatrudnieni na uniwersytetach lub- w szkołach technicznych
zarówno jako nauczyciele, jak i badacze. Bracia Bernoulli, Lagrange, Laplace wykładali raczej sporadycznie. Teraz odpowiedzialność za nauczanie wzrosła profesorowie matematyki stali się wykładowcami i egzaminatorami młodzieży. Internacjonalizm poprzednich wieków zaczął zanikać, wobec pogłębiania się; stosunków między naukowcami każdej z narodowości,,jakkolwiek pozostawała międzynarodowa wymiana zdań. Łacinę naukową stopniowo zastąpiły języki narodowe. Matematycy zaczęli pracować w wyspecjalizowanych działach i podczas gdy Leibniza, Eulera, d`Alemberta moglibyśmy uważać za matematyków (géometres" w osiemnastowiecznym znaczeniu tego słowa), myślimy o Cauchy'm jako o analityku, o Cayley'u jako o algebraiku, o Steinerze jako o geometrze (a nawet czystym" geometrze), o Catorze jako pionierze teorii mnogości (zbiorów punktowych). Dojrzał czas dla fizyków matematycznych", po nich na biegłych w statystyce matematycznej" i logice matematycznej". Ze specjalizacji wyłamywał się tylko
najwyższy poziom geniuszu; w dziełach Gaussa, Riemanna, Kleina, Poincarégo matematyka dziewiętnastego wieku uzyskała swój najpotężniejszy rozmach. Na granicy między matematyką osiemnastego i dziewiętnastego wieku pojawia się majestatyczna postać Karola Fryderyka Gaussa. Urodził się w niemieckim mieście Brunszwiku jako syn robotnika sezonowego. Szczęśliwie się stało, że książę Brunszwiku rozpoznał w młodym Gaussie dziecię przeznaczenia i zajął się jego wykształceniem. Młody geniusz w latach 1795-1798 studiował w Getyndze i w roku 1799 uzyskał stopień doktora w Helmstedt. Od roku 1807 aż do śmierci w roku 1855 spokojnie i bez przeszkód pracował jako dyrektor obserwatorium astronomicznego i profesor uniwersytetu swojej Alma Mater. Jego względne odosobnienie, opanowanie zarówno matematyki czystej", jak i stosowanej", praca nad astronomią i częste używanie łaciny miały pewne cechy
osiemnastowieczne, lecz jego dzieła tchną duchem nowego okresu. Wraz z współczesnymi: Kantem, Goethem, Beethovenem i Heglem stał poza granicami wielkiej walki politycznej szalejącej w innych krajach, lecz w swej własnej dziedzinie pracy wyrażał nowe idee swego wieku w najbardziej potężny sposób. Notatki Gaussa wskazują, że już mając siedemnaście lat zaczął dokonywać zdumiewających odkryć. Na przykład w roku 1795 odkrył on niezależnie od Eulera prawo wzajemności reszt kwadratowych w teorii liczb. Część jego wczesnych odkryć została ogłoszona w helmstedzkiej dysertacji w roku 1799 i we wspaniałych Disquisitiones arithmeticae z roku 1801. Rozprawa doktorska Gaussa zawierała pierwszy ścisły dowód tak zwanego
podstawowego twierdzenia algebry, które orzeka, że każde równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden pierwiastek, a zatem ma ich n. Samo twierdzenie pochodzi od Alberta Girarda, wydawcy dzieł Stevina (Invention nouvelle en algebre,
1629), d`Alembert próbował podać jego dowód w roku 1746. Gauss lubił to twierdzenie i później podał jeszcze dwa dowody, wracając w roku 1849 do pierwszego dowodu. Trzeci dowód (1816) opierał się na całkach zespolonych i dowodzi, że Gauss już wcześniej po mistrzowsku posługiwał się teorią liczb zespolonych. Disquisitiones arithmeticae zawierały syntezę wszystkich mistrzowskich prac poprzedników Gaussa w zakresie nowoczesnej teorii liczb i wzbogaciły je w takim stopniu, że za początek teorii liczb uważa się niekiedy datę ukazania się tego dzieła. Główną jego część stanowi teoria kongruencji, form i reszt kwadratowych; jego ukoronowaniem jest prawo reszt kwadratowych, theorema aureum, którego Gauss podał pierwszy pełny dowód. Gauss był tak samo urzeczony tym twierdzeniem, jak przedtem podstawowym twierdzeniem algebry, i ogłosił później pięć jego dowodów; jeszcze jeden został znaleziony po jego śmierci wśród notatek.
Disquisitiones zawierają także badania Gaussa nad podziałem okręgu, innymi słowy nad pierwiastkami równania xn = 1. Prowadziły one do pięknego twierdzenia, że bok 17-boku foremnego (a ogólniej n-boku, n = 2p+1, p = 2k, n liczba pierwsza, k - 0, 1, 2, 3, ...) można skonstruować przy pomocy wyłącznie cyrkla i liniału, co stanowiło zadziwiające rozszerzenie geometrii typu greckiego. Zainteresowanie astronomią u Gaussa obudziło się, gdy w pierwszym dniu nowego stulecia, 1 stycznia 1801 roku, Piazzi odkrył w Palermo pierwszą planetoidę, której nadano nazwę Ceres. Ponieważ można było dokonać tylko niewielu obserwacji nowej planetoidy, powstał problem obliczenia orbity planety z małej liczby obserwacji. Gauss rozwiązał ten problem całkowicie; prowadzi on do równania ósmego stopnia. Gdy w r. 1802 odkryto inną planetoidę Pallas, Gauss zaczął interesować się wiekowymi
perturbacjami planet. Doprowadziło go to do napisania dzieła Theoria motus corporum coelestium (1809), pracy o przyciąganiu ogólnych elipsoid (1813), dzieła o kwadraturze mechanicznej (1814) i studiów nad perturbacjami wiekowymi (1818). Do tego okresu należała także praca Gaussa o szeregu hipergeometrycznym (1812), który pozwala na badanie wielu funkcji z jednolitego punktu widzenia. Jest to pierwsze systematyczne badanie zbieżności szeregów.Po roku 1820 Gauss zaczął aktywnie interesować się geodezją. Z szeroko zakreślonymi pracami triangulacyjnymi połączył badania teoretyczne. Jednym z pierwszych wyników był jego wykład metody najmniejszych kwadratów (1821, 1823), która była już przedmiotem badań Legendre`a (1806) i Laplace`a. Najważniejszym wynikiem tego okresu życia Gaussa była chyba teoria powierzchni zawarta w Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827), dziele traktującym ten przedmiot w sposób zupełnie odmienny od Monge`a. Tu znowu rozważania praktyczne, tym razem z zakresu geodezji
wyższej, były blisko związane z subtelną analizą teoretyczną. W dziele tym pojawiła się tak zwana geometria wewnętrzna powierzchni, w której współrzędne krzywoliniowe posłużyły do wyrażenia elementu liniowego ds w postaci formy różniczkowej kwadratowej ds2 = E du2 + F du dv + G dv2. Tu również znajduje się osiągnięcie szczytowe, theorema egregium, które orzeka, że krzywizna całkowita powierzchni zależy tylko od E, F i G oraz ich pochodnych, a więc jest niezmiennikiem zginania. Gauss nie zaniedbał przy tym nigdy swej pierwszej miłości, królowej matematyki". Nawet w okresie wytężonej pracy nad problemami geodezji w latach 1825 i 1831 pojawia się jego dzieło o resztach dwukwadratowych. Był to dalszy ciąg jego teorii reszt kwadratowych zawartej w Disquisitiones arithmeticae, lecz dalszy ciąg z
użyciem nowych metod, teorii liczb zespolonych. Traktat z roku 1831 zawierał nie tylko algebrę liczb zespolonych, lecz także ich arytmetykę. Pojawiła się nowa teoria liczb pierwszych, w której 3 pozostaje liczbą pierwszą, lecz
5=(1 +2i)(1- 2i) już nią nie jest. Ta nowa teoria liczb zespolonych wyjaśniła wiele ciemnych punktów w arytmetyce tak, że prawo wzajemności reszt kwadratowych stało się prostsze niż przy użyciu liczb rzeczywistych. W pracy tej Gauss rozwiał ostatecznie tajemnicę, jaka jeszcze otaczała liczby zespolone; przedstawił je mianowicie jako punkty na płaszczyźnie. Pomnik w Getyndze przedstawia Gaussa i jego młodszego kolegę Webera w momencie wynalezienia telegrafu
elektrycznego. Miało to miejsce w roku 1833-34, gdy uwaga Gaussa zaczęła się zwracać ku fizyce. W okresie tym wykonał liczne prace doświadczalne nad magnetyzmem ziemskim. Znalazł przy tym czas na badania teoretyczne o pierwszorzędnym znaczeniu zawierają je Allgemeine Lehrsätze dotyczące teorii sił oddziałujących odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości (1839, 1840).
Był to początek teorii potencjału jako oddzielnej gałęzi matematyki (praca Greena z roku 1828 była wówczas praktycznie nieznana) prowadzący do pewnych zasad minimalnych dotyczących całek objętościowych, w których rozpoznajemy zasadę Dirichleta. Dla Gaussa istnienie minimum było oczywiste; stało się to później problemem szeroko dyskutowanym, ostatecznie rozstrzygniętym przez Hilberta. Gauss pozostał aktywny aż do śmierci w roku 1855; w swych późniejszych latach coraz bardziej pracował nad matematyką stosowaną. Publikacje Gaussa nie dają jednak pełnego obrazu jego wielkości. Ukazanie się jego dzienników i części listów ujawniło, że niektóre ze swych najdalej sięgających myśli zachowywał dla siebie. Wiemy obecnie, że już w roku 1800 Gauss odkrył funkcje eliptyczne, a około roku 1816 znał geometrię nieeuklidesową. Nigdy nie ogłosił niczego na ten temat, tylko w pamiętnikach i listach do przyjaciół wyjaśnił swe krytyczne stanowisko w stosunku do prób udowodnienia aksjomatu równoległych Euklidesa. Wydaje się, że
Gauss niechętnie wypowiadał się publicznie na jakikolwiek temat mogący budzić spory. W listach pisał o osach, które wówczas latałyby koło uszu i o krzyku Beotów", który podniósłby się, gdyby jego tajemnice nie zostały zachowane. W głębi duszy Gauss wątpił w słuszność przyjętej doktryny Kanta, że pojęcie przestrzeni jest a priori euklidesowe; z jego punktu widzenia realna geometria przestrzeni była faktem fizycznym, który winien być stwierdzony przy pomocy doświadczenia.
W swej historii matematyki dziewiętnastego wieku Feliks Klein zaproponował porównanie Gaussa ze starszym o dwadzieścia pięć lat matematykiem francuskim Adrien Marie Legendre. Może niezupełnie na miejscu jest porównywanie Gaussa z innymi matematykami, z wyjątkiem chyba największych, lecz to szczególne porównanie pokazuje, jak aktualne były idee Gaussa, skoro Legendre na własnej niezależnej drodze pracował nad większością zagadnień, którymi zajmował się Gauss. Od roku 1775 do roku 1780 Legendre nauczał w szkole wojskowej w Paryżu, a potem
zajmował różne stanowiska państwowe, jako profesor w École Normale, egzaminator w École Polytechnique i inspektor geodezyjny. Podobnie jak Gauss, dokonywał podstawowych odkryć w teorii liczb (Essai sur les nombres (1798), Théorie des nombres (1830)), gdzie podał sformułowanie prawa wzajemności reszt kwadratowych. Pracował wydajnie nad problemami geodezji i astronomii teoretycznej, a także pracowicie układał tablice podobnie jak Gauss, w roku 1806 sformułował metodę najmniejszych kwadratów i zajmował się przyciąganiem elipsoid nawet takich, które nie są powierzchniami obrotowymi. Tu wprowadził funkcje Legendre`a". Podobnie jak Gauss, zajmował się całkami eliptycznymi i całkami Eulera, jak też podstawami i metodami geometrii euklidesowej.
Choć Gauss głębiej wniknął w naturę tych różnych działów matematyki, Legendre tworzył dzieła o wybitnym znaczeniu. Jego obszerne podręczniki przez długi czas cieszyły się autorytetem, w szczególności jego Exercices de calcul intégral (3 tomy, 1811-1819) i Traité des fonctions
elliptiques et des intégrales eulériennes (1827-32), dziś jeszcze będący dziełem podstawowym. W swych Eléments de géométrie (1794) zerwał z platońskimi ideami Euklidesa i stworzył podręcznik geometrii elementarnej oparty na wymaganiach nowego nauczania. Książka ta miała wiele wydań i przełożono ją na kilka języków; wpływ jej był długotrwały.Za początek nowego okresu matematyki francuskiej można chyba uważać założenie szkół wojskowych i akademii w ostatnich dziesięcioleciach wieku osiemnastego. Szkoły te, z których niektóre powstały poza Francją (Turyn, Woolwich), przykładały duże znaczenie do nauczania matematyki, jako części wykształcenia inżynierów wojskowych. Lagrange rozpoczął swą karierę w szkole artylerii w Turynie; Legendre i Laplace nauczali w szkole wojskowej w Paryżu, Monge w Mézieres. Carnot był kapitanem korpusu inżynierów. Zainteresowanie się Napoleona matematyką sięga jego okresu studenckiego w akademiach wojskowych w Brienne i Paryżu. Podczas najazdu armii królewskich na Francję
pojawiła się potrzeba bardziej scentralizowanego nauczania inżynierii wojskowej. Doprowadziło to do założenia École Polytechnique w Paryżu (1794), szkoły, która wkrótce stała się czołową instytucją dla studiów nad inżynierią ogólną, a w końcu stała się wzorem wszystkich szkół inżynierskich i wojskowych na początku wieku dziewiętnastego, łącznie z West Point w Stanach Zjednoczonych. Podstawową częścią programu było nauczanie matematyki teoretycznej i stosowanej. Kładziono równy nacisk na badania naukowe i wykłady. Najlepsi uczeni Francji zostali zaproszeni do grona nauczycieli tej szkoły; wielu wielkich matematyków francuskich było studentami, profesorami łub egzaminatorami w École Polytechnique .Nauczanie w tej instytucji,
podobnie jak w innych szkołach technicznych, wymagało nowego typu podręczników. Traktaty naukowe dla wtajemniczonych, tak typowe dla okresu Eulera musiały być uzupełnione przez podręczniki dla szkół wyższych. Część najlepszych podręczników z początków dziewiętnastego wieku powstała w związku z nauczaniem w École Polytechnique lub w instytucjach podobnych. Ich wpływ można znaleźć w naszych podręcznikach współczesnych. Dobrym przykładem takiej książki jest Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2 tomy, 1797), napisany przez Sylwestra François Lacroix, z którego całe pokolenia uczyły się rachunku różniczkowego i całkowego. Wspomnieliśmy już o książkach Legendre`a. Dalszym przykładem jest podręcznik geometrii wykreślnej Monge`a, na którym jeszcze wzorują się liczne obecne książki o tym przedmiocie. Gaspard Monge, dyrektor École Polytechnique był naukowym kierownikiem grupy matematyków
związanych z tą szkołą. Karierę swą rozpoczął jako instruktor akademii wojskowej w Mézieres (1768-1789), gdzie jego wykłady o fortyfikacji dały mu okazję do stworzenia geometrii wykreślnej jako specjalnego działu geometrii. Wykłady swe ogłosił w Géométrie descriptive (1795-1799). Również w Mézieres zaczął stosować rachunek różniczkowy i całkowy do badania krzywych przestrzennych i powierzchni, a jego prace na ten temat zostały później ogłoszone w Application de l'analyse a la géométrie (1809), pierwszym podręczniku geometrii różniczkowej, choć jeszcze nie w formie obecnie przyjętej. Monge był jednym z pierwszych nowoczesnych matematyków, którego możemy uznać za specjalistę geometrę; nawet jego prace o równaniach cząstkowych mają charakter wyraźnie geometryczny. Pod wpływem Monge`a geometria zaczęła kwitnąć w École Polytechnique. W geometrii wykreślnej Monge`a tkwiło już jądro geometrii rzutowej, a jego
biegłość w stosowaniu metod algebraicznych i analitycznych do krzywych i powierzchni przyczyniła się znacznie do postępu w geometrii analitycznej i różniczkowej. Jean Hachette i Jean Baptiste Biot rozwinęli geometrię analityczną stożkowych i kwadryk; w książce Essai de géométrie analytique (1802) Biota zaczynamy wreszcie dostrzegać podobieństwo do naszych współczesnych podręczników geometrii analitycznej. Uczeń Monge`a Charles Dupin, jako młody inżynier okrętowy w czasach Napoleona, stosował metody swego nauczyciela do teorii powierzchni, w której odkrył linie asymptotyczne i sprzężone. Dupin został profesorem, geometrii w Paryżu i w ciągu swego długiego życia zdobył znaczną pozycję jako polityk i opiekun przemysłu. Indykatrysa Dupina" i cyklidy Dupina" przypominają nam jego wczesne badania. Jego Développements de géométrie (1813) i Applications de géométrie (1825) zawierają mnóstwo interesujących idei.
Najbardziej oryginalnym uczniem Monge`a był Victor Poncelet. Miał on możność zastanawiać się nad metodami swego mistrza w roku 1813, gdy przebywał w odosobnieniu w Rosji jako jeniec wojenny po klęsce grande armée" Napoleona. Poncelet zainteresował się czysto syntetyczną stroną geometrii Monge`a i w ten sposób doszedł do pomysłu sugerowanego już dwa wieki przedtem przez Desargues'a. Poncelet został twórcą geometrii rzutowej. W roku 1822 pojawiło się jego dzieło Traité des propriétés projectives des figures. Ten pojemny tom zawiera wszystkie zasadnicze pojęcia stanowiące podstawy nowej geometrii, takie jak dwustosunek, perspektywiczność, rzutowość, inwolucja, a nawet punkty kołowe w nieskończoności. Poncelet wiedział, że ogniska stożkowej mogą być traktowane jako przecięcia stycznych do stożkowej przechodzących przez te punkty kołowe. Traité zawiera także teorię wieloboków wpisanych w jedną stożkową, a opisanych
na drugiej (tak zwany problem zamknięcia Ponceleta). Choć książka ta była pierwszym pełnym traktatem geometrii rzutowej, to już w następnych dziesięcioleciach geometria ta osiągnęła taki stopień doskonałości, że stała się klasycznym przykładem skończonej struktury matematycznej.
Monge, choć był człowiekiem o przekonaniach ściśle demokratycznych, stał lojalnie przy Napoleonie, widząc w nim wykonawcę idei Rewolucji. W roku 1815, po powrocie Burbonów, Monge utracił swe stanowisko i wkrótce po tym umarł; mimo to École Polytechnique nadal kwitła w jego duchu. Istota nauczania utrudniała oddzielenie matematyki czystej od stosowanej. Dużą uwagę zwracano na mechanikę, a fizyka matematyczna zaczęła wreszcie wyzwalać się ze starożytnej katoptryki" i dioptryki". Etienne Malus odkrył polaryzację światła (1810), a Augustin
Fresnel przywrócił do życia falową teorię światła Huygensa (1821). André Marie Ampere, autor znakomitych prac o równaniach o pochodnych cząstkowych, po roku 1820 został wielkim pionierem elektromagnetyzmu. Badacze ci przynieśli wiele bezpośrednich i pośrednich korzyści
matematyce; jednym z przykładów jest udoskonalenie przez Dupina geometrii promieni świetlnych Malusa, które pozwoliło zmodernizować optykę geometryczną, a także przyczyniło się do rozwoju geometrii kongruencji prostych. Mécanique analytique Lagrange`a starannie studiowano, ajej metody poddawano próbom i stosowano. Statyka interesowała Monge`a i jego uczniów z uwagi na jej możliwości geometryczne, z czasem ukazało się kilka podręczników statyki, wśród nich jeden napisany przez samego Monge`a (1788, wiele wydań). Element geometryczny w statyce został wyraźnie zaznaczony przez Louis Poinsota, przez długie lata członka najwyższej rady francuskiego nauczania publicznego. Jego Eléments de statique (1804) i Théorie nouvelle de la rotation des corps (1834) dołączyły do pojęcia siły pojęcie pary sił (couple"), teorię momentów bezwładności Eulera przedstawiły przy pomocy elipsoidy bezwładności i analizowały ruch tej elipsoidy, gdy ciało
sztywne porusza się w przestrzeni lub obraca się wokół stałego punktu. Poncelet i Coriolis nadali postać geometryczną mechanice analitycznej Lagrange`a; obaj, jak Poinsot, kładli nacisk na zastosowanie mechaniki do teorii maszyn prostych. Przyspieszenie Coriolisa", które pojawia się przy badaniu ruchu ciała, poruszającego się w układzie przyspieszonym, jest właśnie przykładem takiej geometrycznej interpretacji wyników Lagrange`a (1835). Najznakomitszymi matematykami początkowych lat École Polytechnique obok Lagrange`a i Monge`a byli Siméon Poisson, Joseph Fourier i Augustin Cauchy. Wszyscy trzej byli głęboko zainteresowani stosowaniem matematyki w mechanice i fizyce i to zainteresowanie prowadziło ich do odkryć w matematyce czystej". Aktywność Poissona jest widoczna w częstości występowania jego nazwiska w naszych podręcznikach : nawiasy Poissona w równaniach różniczkowych, stała Poissona w teorii
sprężystości, całka Poissona i równanie Poissona w teorii potencjału. To równanie Poissona" &DeltaV= 4πρ o było wynikiem odkrycia Poissona (1812), że równanie Laplace'a &DeltaV = 0 zachodzi jedynie na zewnątrz mas ; dokładny dowód dla mas o zmiennej gęstości został podany dopiero przez Gaussa w jego Allgemeine Lehrsätze (1839-40). Traité de mécanique Poissona (1811) był napisany w duchu Lagrange`a, lecz zawierał wiele nowych idei, jak wyraźne używanie współrzędnych pędu pi = ∂T/∂qi które natchnęło później dzieła Hamiltona i Jacobiego. Jego książka z roku 1837 zawiera prawo Poissona" w teorii prawdopodobieństwa .Fourier znany jest przede wszystkim jako autor dzieła Théorie analytique de la chaleur (1822). Była to teoria matematyczna przewodnictwa cieplnego, a w związku z tym
istotną rolę grało w niej badanie równania &DeltaU = k∂u / ∂t. Z uwagi na zawarte w niej ogólne metody książka ta stała się źródłem wszystkich nowych metod w fizyce matematycznej związanych z całkowaniem równań o pochodnych cząstkowych przy danych warunkach brzegowych. Metoda ta polegała na użyciu szeregów trygonometrycznych, które było kiedyś przedmiotem dyskusji między Eulerem, d`Alembertem i Danielem Bernoullim. Fourier całkowicie wyjaśnił sytuację, ustalając fakt, że dowolną" funkcję (funkcję dającą się przedstawić jako łuk krzywej ciągłej lub jako ciąg takich łuków) można przedstawić przy pomocy szeregu trygonometrycznego postaci
Mimo spostrzeżeń Eulera i Bernoulliego idea ta była tak nowa i zaskakująca w czasach badań Fouriera, że gdy przedstawił on ją po raz pierwszy w roku 1807, napotkał na żywy opór właśnie ze strony samego Lagrange`a. Szeregi Fouriera stały się teraz powszednim narzędziem w teorii równań cząstkowych z danymi warunkami brzegowymi. Zasługiwały one także na uwagę dla samych siebie. Posługiwanie się nimi przez Fouriera wyraźnie nasunęło pytanie, co należy rozumieć przez funkcję". Był to jeden z powodów, dlaczego matematycy XIX wieku uważali za niezbędne bliższe wejrzenie w sprawę ścisłości dowodu matematycznego oraz ugruntowanie pojęć matematycznych w ogóle. Praca ta w stosunku do szeregów Fouriera została podjęta przez Dirichleta i Riemanna. Liczne wyniki Cauchy`ego w zakresie teorii światła i mechaniki zostały
przyćmione przez sukcesy jego działalności w zakresie analizy; nie wolno nam jednak zapominać, że wraz z Navierem należy on do twórców matematycznej teorii sprężystości. Jego głównym tytułem do sławy są osiągnięcia w teorii funkcji zmiennej zespolonej i dążenie do wprowadzenia ścisłości w analizie. Funkcje zmiennej zespolonej konstruowano już przedtem, w szczególności czynił to d`Alembert, który w swej pracy o oporze cieczy w roku 1752 uzyskał nawet to, co
nazywamy obecnie równaniami Cauchy-Riemanna. W ręku Cauchy`ego teoria funkcji zmiennej zespolonej z narzędzia użytecznego w hydrodynamice i aerodynamice stała się nowym i niezależnym działem badań matematycznych. Prace Cauchy`ego dotyczące tego przedmiotu pojawiały się nieprzerwanie po roku 1814. Jedną z najważniejszych jego prac jest Memoire sur les integrates definies, prises entre des limites imaginaires (1825) W pracy tej pojawiło się twierdzenie całkowe Cauchy`ego o residuach. Twierdzenie, że każdą funkcję regularną f(z) można rozwinąć wokół każdego punktu z = z0 szereg zbieżny wewnątrz okręgu przechodzącego przez najbliższy punkt osobliwy, zostało ogłoszone równocześnie z arytmetyczną teorią liczb zespolonych Gaussa w roku 1831. Uogólnienie Laurenta twierdzenia Cauchy`ego o szeregach zostało ogłoszone w roku 1843, gdy znał je już także Weierstrass. Fakty te pokazują, że teoria Cauchy`ego nie musiała pokonywać oporów w kołach uczonych została w pełni przyjęta od samego początku. Cauchy
wraz ze swymi współczesnymi: Gaussem, Abelem i Bolzano należy do pionierów nowych kryteriów ścisłości w matematyce. Wiek osiemnasty był właściwie okresem doświadczeń, dostarczających wielkiej obfitości wyników. Matematycy tego okresu nie troszczyli się zbytnio o podstawy swych prac allez en avant et la foi vous viendra" miał powiedzieć d`Alembert. Gdy starali się oni o ścisłość, jak to czynili Euler i Lagrange, argumenty ich nie zawsze były przekonywające. Nadeszła pora na uważniejsze zastanowienie się nad znaczeniem uzyskanych wyników. Czym była funkcja" zmiennej rzeczywistej, która tak odmiennie zachowywała się w przypadku szeregów Fouriera i szeregów potęgowych? Jaki był jej stosunek do zupełnie odmiennej funkcji" zmiennej zespolonej ? Pytania te wysunęły znów na pierwszy plan badań matematycznych wszystkie nierozwiązane problemy dotyczące podstaw rachunku różniczkowego i całkowego oraz istnienia nieskończoności aktualnej i potencjalnej . Tego, co uczynił Eudoksos w
okresie po upadku demokracji ateńskiej, Cauchy i współcześni mu skrupulatni badacze próbowali
dokonać w okresie rozwoju uprzemysłowienia. Odmienne stosunki społeczne wytworzyły odmienne rezultaty i o ile sukces Eudoksosa miał tendencję do przytłumiania twórczości, to sukces nowych reformatorów podniósł tę twórczość matematyczną na wysoki poziom. Po Cauchy'm i Gaussie przyszli Weierstrass i Cantor. Cauchy podał podstawy rachunku różniczkowego i całkowego w tej postaci, którą obecnie wszyscy przyjmujemy w podręcznikach. Można je znaleźć w jego Cours d'analyse (1821) i Résumé des leçons données a l'École Royale Polytechnique I (1823). Cauchy posługiwał się pojęciem granicy d`Alemberta w celu określenia pochodnej funkcji i oparcia jej na mocniejszej podstawie, niż to uczynili jego poprzednicy. Wychodząc z definicji granicy Cauchy podał jej przykłady takie jak granica sin &alpha/&alpha dla &alpha = 0. Wreszcie
określał nieskończenie małą jako liczbę zmienną, której granicą jest zero, i zakładał, że Δy i Δx są wielkościami nieskończenie maływmi .Następnie pisał
i granicę tego stosunku przy i -> 0 nazwał funkcją pochodną y′ lub f'′(x). Zastępując i przez αh, gdzie α było nieskończenie małą, a h było wielkością skończoną, pisał
i h nazywał różniczką funkcji y =f(x), pisząc dy = df(x) = = hf′(x) ; dx = h.
Cauchy stosował zarówno oznaczenia Lagrange`a, jak i wiele wyników jego teorii funkcji rzeczywistych, nie robiąc jednak użytku z jego algebraicznej" metody. Twierdzenie o wartości średniej oraz resztę szeregu Taylora przyjmował tak, jak wyprowadził je Lagrange, lecz szereg badał już z punktu widzenia jego zbieżności. Kilka dowodów zbieżności w teorii szeregów nieskończonych wiąże się z nazwiskiem Cauchy'ego. W jego książce znajdujemy zdecydowane próby arytmetyzacji" analizy, która później stała się głównym tematem badań Weierstrassa. Cauchy podał także dowód istnienia rozwiązania równania różniczkowego oraz układu takich równań (1836). W ten sposób Cauchy dał wreszcie pierwszą odpowiedź na szereg zagadnień i paradoksów, które nękały matematykę od czasu Zenona, uczynił to, nie przecząc im lub ignorując
je, lecz tworząc technikę matematyczną, przy pomocy której można było im sprostać. Cauchy, który podobnie jak współczesny mu Balzac, odznaczał się olbrzymią pracowitością, był legitymistą i rojalistą. Obaj posiadali jednak tak głębokie zrozumienie wartości, że mimo ich reakcyjnych idei wiele z ich dorobku zachowało swe podstawowe znaczenie. Cauchy opuścił katedrę w École
Polytechnique po rewolucji 1830 roku i spędził parę lat w Turynie i Pradze; powrócił do Paryża w roku 1838. Po roku 1848 zezwolono mu na pozostanie i wykładanie bez składania przysięgi wierności nowemu rządowi. Twórczość Cauchy`ego była tak obfita, że Akademia Paryska musiała ograniczyć objętość wszystkich prac przesyłanych do Comptes Rendus", by móc sobie dać radę z samymi jego pracami. Podobno tak bardzo zaniepokoił on Laplace`a przedstawiając w Akademii Paryskiej swą pierwszą pracę o zbieżności szeregów, że ten wielki człowiek pośpieszył do domu, by zbadać szeregi w swej Mécanique Céleste. Jak się zdaje, nie znalazł w niej większych błędów.
Ośrodek paryski ze swą intensywną twórczością matematyczną wydał około roku 1830 geniusza pierwszej klasy, który podobnie jak kometa równie szybko zniknął, jak się pojawił. Ewaryst Galois, syn burmistrza małego miasteczka w pobliżu Paryża, dwukrotnie nie został przyjęty do Ecole Polytechnique i dostał się w końcu do École Normale, z której wkrótce został usunięty. Próbował
utrzymać się udzielając korepetycji matematyki, wahając się przy tym między swą gorącą miłością do nauki i ideami demokratycznymi. Jako republikanin uczestniczył w rewolucji roku 1830, spędził parę miesięcy w więzieniu i niedługo potem, mając dwadzieścia jeden lat został zabity w pojedynku. Dwie z jego prac wysłane do druku zaginęły w biurku wydawcy, niektóre inne ukazały się długo po śmierci autora. W przeddzień swego pojedynku napisał dla jednego z przyjaciół streszczenie swych odkryć z teorii równań. Ten patetyczny dokument, w którym prosi przyjaciela o przedłożenie swych odkryć czołowym matematykom, kończy się słowami :
Zapytaj publicznie Jacobiego lub Gaussa o ich opinię nie co do słuszności, lecz co do znaczenia tych twierdzeń. Potem znajdzie się, mam nadzieję, ktoś, kto uważać będzie za pożyteczne odcyfrować cały ten zamęt".
Ten zamęt (ce gâchis} zawierał ni mniej ni więcej tylko teorię grup, klucz do nowoczesnej algebry i geometrii. Idee te były już w pewnym stopniu antycypowane przez Lagrange`a i Włocha Ruffiniego, lecz Galois wpadł na pomysł pełnej teorii grup. Podał podstawowe własności grupy transformacji należącej do pierwiastków równania algebraicznego i wykazał, że obszar wymierności tych pierwiastków jest wyznaczony przez tę grupę. Galois zwrócił uwagę na podstawowe znaczenie, jakie mają w teorii podgrupy niezmiennicze. Takie starożytne problemy, jak
trysekcja kąta, podwojenie sześcianu, rozwiązanie równania sześciennego i dwukwadratowego, a również rozwiązywanie równań algebraicznych dowolnego stopnia zajmuje swe naturalne miejsce w teorii Galois. O ile wiemy list Galois nigdy nie został przedłożony ani Gaussowi ani Jacobiemu. Nie został ogłoszony aż do czasu, gdy Liouville zamieścił większość prac Galois w swym Journal de mathématiques (1846), gdy Cauchy zaczął już pisać o teorii grup (1844-46). Dopiero wówczas
niektórzy matematycy zaczęli interesować się teorią Galois. Pełne zrozumienie znalazły odkrycia Galois dopiero w pracy Camille Jordana Traité des substitutions (1870) i w pracach Kleina i Liego. Obecnie unifikującą zasadę Galois uważa się za jedno z największych osiągnięć matematyki dziewiętnastego wieku Galois miał również pewne idee dotyczące całek funkcji algebraicznych jednej zmiennej, które obecnie zwiemy całkami abelowymi. To zbliża jego sposób myślenia do umysłowości Riemanna. Możemy snuć przypuszczenia, że gdyby Galois był żył, matematyka nowoczesna byłaby może otrzymała swe najgłębsze natchnienie nie z Getyngi i ze szkoły Gaussa, lecz z Paryża i ze szkoły Lagrange`a.
Drugi młody geniusz pojawił się w latach dwudziestych, był nim Niels Henrik Abel, syn norweskiego pastora. Krótkie życie Abela było niemal tak tragiczne jak życie Galois. Jako student w Christianii przez pewien czas sądził, że udało mu się rozwiązać równanie stopnia piątego, lecz poprawił swój błąd w publikacji z roku 1824. Była to słynna praca, w której Abel wykazał niemożliwość rozwiązania ogólnego równania stopnia piątego przy pomocy pierwiastników problem, który intrygował matematyków od czasu Bombellego i Viete'a (dowód z roku 1799 pochodzący od Ruffiniego był uważany przez Poissona i innych matematyków za zbyt niejasny). Abel otrzymał wówczas stypendium, które umożliwiło mu podróż do Berlina, Włoch i Francji.
Dręczony przez ubóstwo i suchoty, nieśmiały i osamotniony, młody matematyk nawiązał niewiele kontaktów osobistych i wkrótce po swym powrocie do ojczyzny zmarł w roku 1829.
W okresie podróży Abel napisał szereg prac zawierających jego wyniki dotyczące zbieżności szeregów, całek abelowych" i funkcji eliptycznych. Twierdzenia Abela w teorii szeregów
nieskończonych pokazują, że potrafił on oprzeć tę teorię na niewzruszonej podstawie. Czy możesz sobie wyobrazić coś okropniejszego niż twierdzenie, że 0= 1n - 2n + 3n - 4n + itd., przy czym n jest liczbą całkowitą dodatnią?" pisze do jednego z przyjaciół i dalej: W matematyce z trudem znajdzie się szereg nieskończony, którego suma byłaby określona w sposób ścisły" (list do Holmboe, 1826). Badania Abela nad funkcjami eliptycznymi były prowadzone w krótkiej, lecz pasjonującej rywalizacji z Jacobim. Już Gauss w swych notatkach stwierdził, że odwrócenie całek eliptycznych prowadzi do jednowartościowych funkcji podwójnie periodycznych, lecz nigdy nie ogłosił swych wyników. Legendre, który tyle wysiłków poświęcił całkom eliptycznym, zupełnie nie dostrzegł tej idei i był głęboko wstrząśnięty, gdy jako starzec dowiedział się o odkryciach młodego Abela. Abel miał szczęście w wyborze
pisma, w którym ogłaszał swe prace. Pierwszy tom wydawanego przez Crelle'a Journal für die reine und angewandte Mathematik zawierał aż pięć prac Abela. W drugim tomie (1827) pojawiła się część pierwsza jego Recherches sur les fonctions elliptiques, która stanowiła początek teorii funkcji podwójnie periodycznych. Mówimy o równaniu całkowym Abela, o twierdzeniu Abela o sumie całek funkcji algebraicznych, które prowadzi do funkcji abelowych. Grupy przemienne nazywa się grupami abelowymi wskazuje to, jak blisko były związane idee Galois i Abela.
Abel zmarł w roku 1829. W tym samym roku Carl Gustav Jacob Jacobi ogłosił swoje Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Autor był młodym profesorem Uniwersytetu w Królewcu.
Był synem berlińskiego bankiera i członkiem znanej rodziny; jego brat Moritz w Petersburgu był jednym z pierwszych uczonych rosyjskich, który doświadczalnie pracował w zakresie elektryczności. Po studiach w Berlinie Jacobi w latach 1826-1843 wykładał w Królewcu, potem przez pewien czas przebywał we Włoszech dla poratowania zdrowia i skończył swą karierę jako profesor w Berlinie; zmarł w roku 1851 mając lat czterdzieści sześć. Był bystrym i. liberalnym myślicielem, a przy tym pełnym zapału nauczycielem i uczonym, którego ogromna energia i jasność myślenia pozostawiły ślady we wszystkich niemal gałęziach matematyki.
Jacobi oparł swą teorię funkcji eliptycznych na czterech funkcjach określonych przy pomocy szeregów nieskończonych i zwanych funkcjami theta. Funkcje podwójnie periodyczne sn u, cn u i dn u są ilorazami funkcji theta; spełniają one pewne tożsamości i twierdzenia o dodawaniu bardzo
podobne do twierdzeń zwyczajnej trygonometrii. Twierdzenie o dodawaniu dla funkcji eliptycznych można również uważać za szczególne zastosowanie twierdzenia Abela o sumie całek funkcji algebraicznych. Powstało wtedy pytanie, czy można odwrócić całki hipereliptyczne w taki sposób, jak odwrócono całki eliptyczne uzyskując funkcje eliptyczne. Rozwiązanie podał Jacobi w roku 1832 ogłaszając wynik, że można dokonać tego odwrócenia przy pomocy funkcji więcej niż jednej zmiennej. W ten sposób narodziła się teoria funkcji abelowych p zmiennych, która stała się ważną gałęzią matematyki dziewiętnastego wieku.
Sylvester nazwał jakobianem wyznacznik funkcyjny, dla uczczenia prac Jacobiego o algebrze i teorii eliminacji. Najbardziej znaną pracą Jacobiego na ten temat jest De formatione et proprietatibus determinantiwn (1841), dzięki której teoria wyznaczników stała się wspólnym
dobrem matematyków. Idea wyznacznika jest znacznie starsza sięga właściwie do Leibniza (1693), matematyka szwajcarskiego Gabriela Cramera (1750) i Lagrange'a (1773); nazwa pochodzi od Cauchy'ego (1812). Y. Mikami zauważył, że matematyk japoński Seki Köwa znał ideę wyznacznika jeszcze przed rokiem 1683 . Przypomina to metody macierzowe" rozwinięte przez matematyków chińskich z dynastii Sung.
Najlepiej chyba poznać można Jacobiego dzięki jego pięknym wykładom o dynamice (Vorlesungen über Dynamik) ogłoszonym w roku 1866 z notatek do wykładów z lat 1842-43. Są one napisane w duchu francuskiej szkoły Lagrange`a i Poissona lecz zawierają mnóstwo nowych iclei. Znajdujemy tu badania Jacobiego nad równaniami cząstkowymi pierwszego rzędu i ich zastosowaniami do równań różniczkowych dynamiki. Interesującym rozdziałem w Vorlesungen über Dynamik jest
wyznaczenie linii geodezyjnych na elipsoidzie; problem ten prowadzi do związku między dwiema całkami abelowymi. Wykłady Jacobiego o dynamice prowadzą nas do matematyka Williama Rowana Hamiltona, którego często wymienia się wraz z Jacobim (nie należy go mylić ze współczesnym mu Williamem Hamiltonem, filozofem z Edynburga). Całe swoje życie spędził w
Dublinie, gdzie urodził się w rodzinie irlandzkiej. Wstąpił do Trinity College, mając dwadzieścia jeden lat został w roku 1827 Astronomem Królewskim Irlandii i na tym stanowisku pozostał aż do śmierci w roku 1865. Jako chłopiec uczył się, z dzieł wydanych na kontynencie, matematyki stanowiącej jeszcze nowość w Zjednoczonym Królestwie; studiował Clairaut`a i Laplace`a i w swym niezwykle oryginalnym dziele o optyce i dynamice wykazał mistrzowskie opanowanie nowych metod. Jego teoria promieni optycznych (1824) była nie tylko geometrią różniczkową kongruencji prostych; była to także teoria instrumentów optycznych pozwoliła ona Hamiltonowi przewidzieć załamanie stożkowe w kryształach dwuosiowych. W tejże pracy pojawiła, się jego funkcja charakterystyczna", która stała się zasadniczą ideą dzieła General Method in Dynamics ogłoszonego w 1834-35 r. Ideą Hamiltona było wyprowadzenie zarówno optyki, jak i dynamiki z
jednej ogólnej zasady. Euler już w swym wystąpieniu w obronie Maupertuis pokazał, jak stacjonarna wartość całki działania może być użyta do tego celu. Zgodnie z tą sugestią Hamilton przedstawił optykę i dynamikę jako dwa przykłady zastosowania rachunku wariacyjnego. Szukał wartości stacjonarnej pewnej całki, którą rozpatrywał jako funkcję granic całkowania. Była to funkcja charakterystyczna" lub podstawowa", która spełniała dwa równania różniczkowe. Jedno z tych równań, które zapisuje się zwykle w postaci
∂S / ∂t + H(∂S / ∂q,q) = 0
zostało specjalnie wybrane przez Jacobiego w jego wykładach dynamiki i stąd jest znane jako
równanie Hamiltona-Jacobiego. Zmniejszyło to znaczenie funkcji charakterystycznej Hamiltona, która zajmowała główne miejsce w jego teorii, jako środek jednoczący mechanikę i fizykę matematyczną. W roku 1895 została ona powtórnie odkryta jako eikonal" przez Brunsa, który wskazał jej zastosowanie do teorii instrumentów optycznych. Częścią dzieła Hamiltona, która weszła do stałego dorobku matematyki, jest postać kanoniczna", w której piszemy równania dynamiki q = ∂H / &partp , p = -∂H / &partq. Postać kanoniczna równania różniczkowego Hamiltona-Jacobiego umożliwiła Liemu ustalenie związku między dynamiką i przekształceniami stycznościowymi. Inną równie przyjętą ideą Hamiltona jest wyprowadzenie praw fizyki i mechaniki z wariacji pewnej całki. Współczesna teoria względności, a także i mechanika kwantowa, opierają się w sposób zasadniczy na funkcjach Hamiltona. Rok 1843 stanowił punkt zwrotny w życiu Hamiltona. W roku tym odkrył on kwaterniony, których badaniu poświęcił resztę
swego życia. Odkrycie to omówimy dalej. Peter Lejeune Dirichlet był ściśle związany tak z Gaussem i Jacobim, jak i z matematykami francuskimi. Lata 1822-27 spędził jako prywatny nauczyciel i wówczas spotkał Fouriera, którego książkę studiował; zapoznał się również z Disguisitiones arithmeticae Gaussa. Później nauczał na Uniwersytecie we Wrocławiu i w roku 1855 został następcą Gaussa w Getyndze. Fakt, że Dirichlet znał dobrze zarówno francuską, jak i niemiecką matematykę, i osobiście zetknął się z ich przedstawicielami, sprawił, że był on najbardziej właściwym człowiekiem, jeśli chodziło o interpretowanie Gaussa i poddanie szeregów Fouriera wnikliwej analizie. Piękne Vorlesungen über Zahlentheorie Dirichleta (ogłoszone w roku 1863) jeszcze dziś stanowią jeden z najlepszych wstępów do badań Gaussa w zakresie teorii liczb;
zawierają one przy tym wiele nowych wyników. W pracy z roku 1840 Dirichlet pokazał, jak całą potęgę teorii funkcji analitycznych można stosować do problemów teorii liczb; w tych właśnie badaniach wprowadził szeregi Dirichleta". Rozszerzył on również pojęcie niewymierności kwadratowych do pojęcia ogólnych algebraicznych obszarów wymierności.
Dirichlet podał pierwszy ścisły dowód zbieżności szeregów Fouriera i w ten sposób przyczynił się do poprawnego rozumienia natury funkcji. Wprowadził również do rachunku wariacyjnego tak zwaną zasadę Dirichleta, która postulowała istnienie funkcji v, realizującej minimum całki
∫ (v2x przy danych warunkach brzegowych. Była to modyfikacja zasady wprowadzonej w teorii potencjału przez Gaussa w latach 1839-40; posłużyła ona później
Riemannowi jako potężne narzędzie w rozwiązywaniu problemów teorii potencjału. Już wspomnieliśmy, że ścisły dowód słuszności zasady Dirichleta podał dopiero Hilbert. Bernhard Riemann, następca Dirichleta w Getyndze, był uczonym, który bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do nadania współczesnej matematyce jej kierunku. Riemann był synem wiejskiego pastora; studiował na Uniwersytecie w Getyndze, gdzie w roku 1851 uzyskał stopień doktorski, w
roku 1854 został docentem prywatnym, a w roku 1859 profesorem. Był chorowity podobnie jak Abel i ostatnie swe dni spędził we Włoszech, gdzie zmarł w roku 1866 mając czterdzieści lat. W swym krótkim życiu ogłosił stosunkowo niewielką ilość prac, lecz każda z nich była i pozostała ważną; kilka z nich zapoczątkowało nowe i bogate obszary badań. W roku 1851 ukazała się teza doktorska Riemanna poświęcona teorii funkcji zespolonych u+iv = f(x+iy). Riemann, podobnie jak d`Alembert i Cauchy, znajdował się pod wpływem rozważań hydrodynamicznych. Odwzorowywał konforemnie płaszczyznę xy na płaszczyznę uv i wykazał istnienie funkcji przekształcającej dowolny jednospójny obszar jednej płaszczyzny na dowolny jednospójny obszar na drugiej płaszczyźnie. Prowadziło to do pojęcia powierzchni Riemanna, co z kolei wprowadziło do analizy
rozważania topologiczne. W tym czasie topologia była jeszcze dziedziną niemal nietkniętą, o której w roku 1847 J. B. Listing ogłosił pracę w Gottinger Studien. Riemann wykazał podstawowe jej znaczenie dla teorii funkcji zespolonych. Rozprawa wyjaśniła również definicję Riemanna funkcji zespolonej; jej części rzeczywista i zespolona winny spełniać w danym obszarze równania Cauchy-Riemanna" ux = vz , uy = - vx i ponadto pewne warunki zarówno na brzegu, jak i odnośnie do osobliwości. Riemann zastosował nową ideę do funkcji hipergeometrycznych i funkcji abelowych (1857), swobodnie posługując się zasadą Dirichleta nazwa ta pochodzi od niego. Zawdzięczamy mu odkrycie rodzaju powierzchni riemannowskiej, jako niezmiennika topologicznego i środka klasyfikującego funkcje abelowe. Praca ogłoszona pośmiertnie stosuje te idee do powierzchni minimalnych (1867). Do tej dziedziny
działalności Riemanna należą jego badania nad funkcjami modułowymi eliptycznymi, szeregami θ o p zmiennych niezależnych oraz nad równaniami różniczkowymi liniowymi o współczynnikach algebraicznych.
Riemann został docentem prywatnym w roku 1854 po przedstawieniu aż dwóch podstawowych prac jednej o szeregach trygonometrycznych i podstawach analizy, drugiej o podstawach geometrii. Pierwsza z tych prac poświęcona była badaniu warunków Dirichleta rozwijalności funkcji na szereg Fouriera. Jeden z tych warunków wymagał, by funkcja była całkowalna"; ale co to znaczyło? Cauchy i Dirichlet dali już na to pytanie pewne odpowiedzi; Riemann zastąpił ją swoją własną, bardziej ogólną. Podał definicję, którą znamy teraz jako definicję całki Riemanna; dopiero w wieku dwudziestym zastąpiła ją definicja Lebesgue`a. Riemann pokazał, jak funkcje
określone przy pomocy szeregów Fouriera mogą wykazywać takie własności, jak posiadanie nieskończenie wielu maksimów lub minimów, których dawni matematycy nie byliby przyjęli w swej definicji funkcji. Pojęcie funkcji zaczęło poważnie wyzwalać się z reguły curva quaecunque libero manus duetu descripta" Eulera. W swych wykładach Riemann podał przykład funkcji ciągłej bez pochodnej; przykład takiej funkcji podany przez Weierstrassa został ogłoszony w roku 1875. Matematycy nie traktowali takich funkcji bardzo poważnie i nazywali je funkcjami patologicznymi"; współczesna analiza pokazała, jak naturalne były te funkcje i jak głęboko Riemann wszedł tu znowu w dziedzinę podstaw matematyki. W drugiej pracy z roku 1854 zajmuje się hipotezami, na których opiera się geometria. Riemann wprowadził tu przestrzeń jako rozmaitość topologiczną w dowolnej liczbie wymiarów, metryka w takiej rozmaitości była określona przy
pomocy formy kwadratowej różniczkowej. Podobnie jak w swej analizie Riemann określał funkcję zespoloną przez jej zachowanie się lokalne, tak samo w tej pracy zdefiniował charakter przestrzeni przy pomocy jej własności lokalnych. Unifikująca zasada Riemanna umożliwiła mu nie tylko sklasyfikowanie wszystkich istniejących rodzajów geometrii, łącznie z bardzo jeszcze niejasnymi geometriami nieeuklidesowymi, lecz pozwoliła także na tworzenie dowolnej ilości nowych przestrzeni, z których wiele znalazło zastosowanie w geometrii i fizyce matematycznej. Riemann ogłosił swą pracę bez aparatu analitycznego, co utrudnia śledzenie jego idei. Niektóre ze wzorów pojawiły się w pracy konkursowej o rozkładzie ciepła w bryle, pracy przedłożonej przez Riemanna Akademii Paryskiej (1861). Znajdujemy tu szkic teorii transformacji form, kwadratowych.
Ostatnią pracę Riemanna, o której musimy wspomnieć, jest jego badanie ilości π(x) liczb pierwszych mniejszych od danej liczby x (1859). Było to zastosowanie teorii liczb zespolonych do rozkładu liczb pierwszych wraz z analizą przypuszczenia Gaussa, że π(x) można przybliżać
przy pomocy logarytmu całkowego (mg src=258.png. /> Ta słynna praca zawiera tak zwaną
hipotezę Riemanna, że wszystkie nierzeczywiste pierwiastki funkcji dzeta Eulera ζ(s) - oznaczenie pochodzi od Riemanna rozważanej dla s = x+iy zespolonego, leżą na prostej x = 1/2 Słuszności tej hipotezy dotychczas nie udowodniono , ani jej nie obalono. Pojęcie funkcji zmiennej zespolonej według Riemanna często porównywano z ideami Weierstrassa. Karl Weierstrass przez wiele lat był nauczycielem w pruskich gimnazjach i w roku 1856 został profesorem matematyki Uniwersytetu w Berlinie, gdzie wykładał przez trzydzieści lat. Jego wykłady zawsze najstaranniej przygotowane cieszyły się coraz większą sławą; głównie dzięki tym wykładom idee Weierstrassa stały się wspólnym dobrem matematyków. W swym okresie gimnazjalnym Weierstrass napisał kilka prac o całkach hipereliptycznych, funkcjach abelowych, równaniach różniczkowych algebraicznych. Jego najbardziej znanym osiągnięciem jest oparcie teorii funkcji zespolonych na
szeregach potęgowych. Był to w pewnym sensie powrót do Lagrange`a, z tą różnicą, że Weierstrass operował płaszczyzną zespoloną i dbał o bezwzględną ścisłość. Wartości szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności przedstawiają element funkcji", który jeśli to możliwe określa się poza tym kołem przy pomocy tak zwanego przedłużenia analitycznego. Weierstrass badał w szczególności funkcje całkowite i funkcje określone przez iloczyny nieskończone; jego funkcja ℘(u) zajęła takie miejsce w matematyce jak dawniejsze funkcje sn u, cn u, dn u Jacobiego. Sławę swą Weierstrass zawdzięczał niezwykle starannemu rozumowaniu, weierstrassowskiej ścisłości", która jest widoczna nie tylko w jego teorii funkcji, lecz także w rachunku wariacyjnym. Wyjaśnił on pojęcia minimum, funkcji i pochodnej i w ten sposób usunął istniejące jeszcze niejasności w podstawowych pojęciach rachunku różniczkowego i całkowego.
Był matematycznym sumieniem par excellence, pod względem zarówno metodologicznym, jak i logicznym. Innym przykładem jego skrupulatnego rozumowania jest głębokie rozumienie roli pojęcia jednostajnej zbieżności (wprowadzonej poprzednio przez Stokesa). Wraz z Weierstrassem rozpoczyna się sprowadzenie zasad analizy do najprostszych pojęć arytmetyki, które nazywamy arytmetyzacją matematyki. Istotną zasługą działalności naukowej Weierstrassa jest to, że istnieje teraz w analizie całkowita zgodność i pewność dotycząca prowadzenia rozumowań opierających się na pojęciu liczby niewymiernej i granicy w ogóle. Jemu zawdzięczamy, że istnieje powszechna zgoda co do wszystkich wyników w najbardziej skomplikowanych problemach dotyczących teorii równań różniczkowych i całkowych, mimo najbardziej śmiałych i różnorakich kombinacji przy stosowaniu superpozycji, zestawienia i transpozycji granic. Arytmetyzacja ta była typowa dla tak zwanej Szkoły Berlińskiej, a szczególnie dla Leopolda Kroneckera. Do szkoły tej należeli tacy
wybitni matematycy pracujący w zakresie algebry i teorii liczb algebraicznych, jak Kronecker, Kummer i Frobenius. Możemy do nich dodać Dedekinda i Cantora. Ernst Kummer został powołany do Berlina w roku 1855 jako następca Dirichleta. Wykładał tam do roku 1883, gdy dobrowolnie przestał zajmować się matematyką, ponieważ czuł zbliżający się upadek swej twórczości. Kummer dalej rozwijał geometrię różniczkową kongruencji naszkicowaną przez Hamiltona i w toku swych badań odkrył powierzchnię czwartego rzędu o szesnastu punktach węzłowych, którą nazywa się jego imieniem. Jego sława jest przede wszystkim związana z wprowadzeniem liczb idealnych" w teorii algebraicznych obszarów wymierności (1846). Teoria ta została zapoczątkowana częściowo przez próby Kummera czynione w celu udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata, częściowo przez teorię Gaussa reszt dwukwadratowych, w której zostało wprowadzone pojęcie czynnika pierwszego w dziedzinie liczb zespolonych. Idealne" czynniki Kummera pozwoliły na
jednoznaczny rozkład liczb na czynniki pierwsze w ogólnych obszarach wymierności. Odkrycie to umożliwiło wielkie postępy w arytmetyce liczb algebraicznych, które zostały później w sposób mistrzowski zebrane przez Hilberta w jego sprawozdaniu dla Niemieckiego Towarzystwa Matematycznego w roku 1897. Teoria Dedekinda i Webera, która ustaliła związki między teorią funkcji algebraicznych i teorią liczb algebraicznych w pewnym obszarze wymierności (1882), była przykładem wpływu teorii Kummera na proces arytmetyzacji matematyki. Niezależny materialnie Kronecker przebywał od roku 1855 w Berlinie, gdzie przez wiele lat wykładał na uniwersytecie nie mając formalnie katedry; objął ją dopiero po ustąpieniu Kummera w roku 1883. Główne wyniki Kroneckera należą do teorii funkcji eliptycznych, teorii ideałów i arytmetyki form kwadratowych; jego ogłoszone drukiem wykłady teorii liczb zawierają dokładny obraz odkryć własnych i
poprzedników, i pokazują jasno przekonanie autora o konieczności arytmetyzacji matematyki. Przekonanie to było oparte na jego poszukiwaniu ścisłości; matematyka, jak sądził, winna być oparta na liczbach naturalnych. Na przykład zamiast wyprowadzać liczbę π w zwykły sposób geometryczny, należy oprzeć się na szeregu
1-1/3+1/5-1/7+....
a w ten sposób na liczbach naturalnych; temu celowi mogą służyć także pewne ułamki łańcuchowe dla liczby π. Usiłowanie Kroneckera wtłoczenia wszystkiego co matematyczne w formy teorioliczbowe ilustruje jego dobrze znana wypowiedź na zebraniu w Berlinie w roku 1886: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott ge- macht, alles andere ist Menschenwerk" . Przyjmował on definicję tworu matematycznego tylko w przypadku, gdy można ją było sprawdzić przy pomocy skończonej liczby kroków. Walczył więc z trudnościami nieskończoności aktualnej, nie zgadzając się na jej przyjęcie. Powiedzenie Platona, że
Bóg zawsze uprawia geometrię" zostało zastąpione w szkole Kroneckera przez powiedzenie, że Bóg zawsze uprawia arytmetykę". Nauka Kroneckera o nieskończoności aktualnej była w jaskrawej sprzeczności z teorią Dedekinda, a szczególnie Cantora. Richard Dedekind, przez trzydzieści jeden lat profesor Politechniki w Brunszwiku, stworzył ścisłą teorię liczb niewymiernych. W dwóch małych książkach Stetigkeit und Irrationalzahlen (1872) i Was sind und was sollen die Rahlen (1882) dokonał w matematyce nowoczesnej tego, co w matematyce greckiej zrobił Eudoksos. Istnieje duże podobieństwo między przekrojami Dedekinda", przy pomocy których matematyka nowoczesna (z wyjątkiem szkoły Kroneckera) określa liczby niewymierne i teorią Eudoksosa taką, jak jest ona przedstawiona w piątej księdze Elementów Euklidesa. Cantor i Weierstrass podali definicje arytmetyczne liczb niewymiernych różniące się nieco od teorii
Dedekinda, lecz oparte na podobnych rozważaniach. Największym z punktu widzenia Kroneckera heretykiem był Georg Cantor. Cantor, który wykładał w latach 1869-1905 w Halle, znany jest nie tylko ze swej teorii liczb niewymiernych, lecz także z teorii mnogości (Mengenlehre). Wraz z tą teorią Cantor stworzył zupełnie nową dziedzinę badań matematycznych czyniącą zadość najbardziej subtelnym wymaganiom ścisłości, jeśli tylko jej przesłanki zostały przyjęte. Publikacje Cantora rozpoczęły się w roku 1870 i trwały przez wiele lat; w roku 1883 ogłosił swoje Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. W pracach tych Cantor rozwinął teorię liczb pozaskończonych (liczb kardynalnych) opartą na systematycznym matematycznym badaniu nieskończoności aktualnej. Najmniejszą liczbę kardynalną pozaskończoną x przypisał zbiorom przeliczalnym, wiążąc z continuum większą liczbę kardynalną; w ten sposób stało się możliwe stworzenie
arytmetyki liczb pozaskończonych analogicznej do arytmetyki zwykłej. Cantor określił także pozaskończohe liczby porządkowe, wyrażające sposób uporządkowania zbiorów nieskończonych.
Te odkrycia Cantora stanowiły dalszy ciąg dawnych spekulacji scholastycznych nad naturą nieskończoności, z czego Cantor dobrze zdawał sobie sprawę. Bronił on stanowiska św. Augustyna, gdy ten przyjmował bez zastrzeżeń istnienie nieskończoności aktualnej, lecz musiał także sam się bronić przed oporem wielu matematyków, którzy zgadzali się tylko przyjąć nieskończoność, jako proces wyrażany symbolem ∞. Głównym przeciwnikiem Cantora był Kronecker, który reprezentował stanowisko całkowicie przeciwne w tym samym procesie arytmetyzacji matema tyki. Myśl Cantora spotkała się w końcu z pełnym uznaniem, gdy coraz bardziej oczywiste stało się ogromne znaczenie jego teorii dla podstaw teorii funkcji rzeczywistych i topologii, szczególnie gdy
w roku 1901 Lebesgue wzbogacił teorię zbiorów o teorię miary. W teorii liczb pozaskończonych pozostały trudności logiczne i pojawiły się paradoksy, np. Burali Fortiego i Russella. Doprowadziło to z kolei do różnych szkół myślenia w dziedzinie podstaw matematyki. Dwudziestowieczne spory między formalistami i intuicjonistami stanowiły na nowym poziomie dalszy ciąg sprzeczności między Cantorem i Kroneckerem. Równocześnie z tym znacznym rozwojem algebry i analizy nastąpił równie znaczny rozkwit geometrii. Można go śledzić od nauczania Monge`a, u którego możemy znaleźć początek zarówno syntetycznej", jak i algebraicznej" metody w geometrii. W pracach uczniów Monge`a obie metody uległy rozdzieleniu, metoda syntetyczna" rozwinęła się w geometrię rzutową, metoda algebraiczna" w naszą obecną geometrię analityczną i algebraiczną.
Geometria rzutowa stała się oddzielną nauką z chwilą ukazania się w roku 1822 książki Ponceleta. Jak to często bywa w przypadkach dotyczących podstawowych odkryć, pojawiły się trudności z ustaleniem priorytetu, ponieważ Poncelet miał rywala w osobie Josepha Gergonne, profesora w
Montpellier. Gergonne ogłosił kilka ważnych prac o geometrii rzutowej, w których równocześnie z Ponceletem zrozumiał znaczenie dwoistości w geometrii. Prace te ukazały się w Annales de mathématiques", pierwszym czysto matematycznym periodyku, którego wydawcą był sam Gergonne; ukazywał się on od roku 1810 do 1832. Typową dla sposobu rozumowania Ponceleta była inna zasada, a mianowicie zasada ciągłości, która pozwalała mu wyprowadzić własności jednej figury z własności innej. Wyrażał tę zasadę w sposób następujący:
Jeśli figurę" jakąś otrzymuje się z innej przez zmianę ciągłą i jeśli jest ona tak samo ogólną jak pierwsza, wówczas własność udowodnioną dla figury pierwszej można przenieść na figurę drugą bez dalszych rozważań''.Była to zasada, którą posługiwać się należało z dużą ostrożnością,
ponieważ jej sformułowanie nie było bynajmniej ścisłe. Dopiero algebra współczesna mogła dokładniej określić jej zakres ważności. W ręku Ponceleta i jego szkoły prowadziła ona do interesujących, nowych i poprawnych wyników, szczególnie gdy stosowano ją do przejścia od dziedziny rzeczywistej do urojonej. Pozwoliła ona Ponceletowi stwierdzić, że wszystkie okręgi na płaszczyźnie mają idealnie dwa punkty wspólne w nieskończoności", co doprowadziło go także do tak zwanej prostej w nieskończoności". Jak G. H. Hardy zauważył, oznaczało to, że geometria rzutowa przyjęła bez skrupułów nieskończoność aktualną . Poglądy analityków co do tego przedmiotu były w dalszym ciągu podzielone. Idee Ponceleta zostały rozwinięte przez geometrów
niemieckich. W roku 1826 pojawiły się pierwsze publikacje Steinera, w roku 1827 Barycentrischer Calcül Möbiusa, w roku 1828 pierwszy tom Pluckera Analytisch-geometrische Entwicklungen. W roku 1831 ukazał się tom drugi, po którym w roku 1832 pojawiło się dzieło Systematische Entwicklung Steinera. Ostatnim z wielkich niemieckich pionierskich dzieł o geometrii tego typu była publikacja von Staudta - aksjomatyczna Geometrie der Lage.
Wśród tych geometrów niemieckich reprezentowana była zarówno syntetyczna, jak i algebraiczna metoda w geometrii. Typowym przedstawicielem syntetycznej (lub czystej") szkoły był samouk Jacob Steiner, syn szwajcarskiego rolnika, Hirtenknabe", który rozkochał się w geometrii po zapoznaniu się z ideami Pestalozziego. Postanowił studiować w Heidelbergu, a później wykładał w
Berlinie, gdzie od roku 1834 aż do śmierci w roku 1863 miał katedrę na uniwersytecie. Steiner był z gruntu geometrą, nienawidził posługiwania się algebrą i analizą do tego stopnia, że nawet nie lubił rysunków. Geometrię, jego zdaniem, można najlepiej studiować przy pomocy skupionej myśli. Liczenie, mówił, zastępuje myślenie, podczas gdy geometria je pobudza. Stwierdzenie to było na pewno słuszne odnośnie do samego Steinera, którego metody wzbogaciły geometrię o wiele pięknych i często skomplikowanych twierdzeń. Zawdzięczamy mu odkrycie powierzchni Steinera (zwanej również powierzchnią rzymską) z dwiema rodzinami nieskończonymi stożkowych na niej. Często opuszczał dowody swych twierdzeń, dzięki czemu jego zebrane dzieła stały się skarbem dla geometrów poszukujących problemów do rozwiązywania.Steiner konstruował swą geometrię rzutową w sposób ściśle systematyczny, przechodząc od perspektywiczności do rzutowości, a stąd do przecięć stożkowych. Rozwiązał on także szereg zagadnień izoperymetrycznych własną typowo
geometryczną metodą. Jego dowód (1836) tego, że koło jest figurą o największym polu wśród wszystkich figur ograniczonych krzywymi zamkniętymi o danym obwodzie wykorzystuje pewną metodę, przy pomocy której każdą figurę o danym obwodzie, nie będącą kołem, można zamienić na figurę o polu większym i tym samym obwodzie. Wysnuty stąd wniosek Steinera, że koło stanowi szukane maksimum zawierał lukę; nie dowiódł on mianowicie aktualnego istnienia tego maksimum. Dirichlet próbował zwrócić na to uwagę Steinerowi; ścisły dowód został podany później przez Weierstrassa. Steinerowi potrzebna była jeszcze metryka do określenia dwustosunku czterech punktów czy prostych. Brak ten został usunięty przez Christiana von Staudta, przez wiele lat profesora Uniwersytetu w Erlangen. Von Staudt w swej Geometrie der Lage określił Wurf"
czterech punktów na linii prostej w sposób czysto rzutowy, a następnie wykazał jego identyczność z dwustosunkiem. Wykorzystał on w tym celu tak zwaną konstrukcję siatkową Mobiusa, która prowadzi do rozważań aksjomatycznych, ściśle związanych z dziełem Dedekinda, jeśli się wprowadzi niewymierne wartości współrzędnych rzutowych. W roku 1857 Staudt pokazał jak można w ścisły sposób wprowadzić do geometrii elementy urojone, jako elementy podwójne inwolucji eliptycznych. W ciągu następnych dziesięcioleci geometria syntetyczna bardzo
zwiększyła swą treść w oparciu o zasady położone przez Ponceleta, Steinera i von Staudta. Stała się ona przedmiotem szeregu podstawowych podręczników; jeden z najlepszych przykładów stanowi Geometrie der Lage Reye'go (1868, 3 wydanie 1886-1892). Przedstawicielami geometrii algebraicznej byli Mobius i Plücker w Niemczech, Chasles we Francji i Cayley w Anglii. August Ferdinand Möbius, przez ponad pięćdziesiąt lat obserwator, a potem dyrektor Obserwatorium Astronomicznego w Lipsku, był wszechstronnym uczonym. W swej książce Der barycentrische Calcul po raz pierwszy wprowadził współrzędne jednorodne. Gdy w wierzchołkach ustalonego trójkąta umieszczone były masy m1, m2, m3, Möbius przypisywał ich środkowi ciężkości (barycentrum) współrzędne m1: m2: m3 i pokazał, jak wygodne są te współrzędne w opisie własności rzutowych i afinicznych płaszczyzny. Współrzędne jednorodne stały się odtąd ogólnie przyjętym narzędziem
algebraicznej metody w geometrii rzutowej. Pracując w zupełnym odosobnieniu, podobnie jak współczesny mu von Staudt, Möbius uzyskał wiele interesujących wyników. Przykładem jest układ zerowy w teorii kongruencji liniowych, którą wprowadził w swym podręczniku statyki (1837). Wstęga Möbiusa, pierwszy przykład powierzchni nieorientowalnej, przypomina nam, że Möbius jest także jednym z twórców naszej nowoczesnej nauki topologii. Julius Plücker, przez wiele lat wykładowca w Bonn, był zarówno fizykiem doświadczalnym, jak geometrą. Dokonał szeregu odkryć w zakresie magnetyzmu kryształów, przewodnictwa elektrycznego w gazach i spektroskopii. W szeregu prac i książek, szczególnie w swej Neue Geometrie des Raumes (1868-69) przebudował geometrię analityczną przez zastosowanie wielu nowych idei. Plücker pokazał skuteczność skróconego zapisu, w którym na przykład C1 + λC2 = 0 przedstawia pęk stożkowych. W książce tej wprowadził współrzędne jednorodne znane teraz jako
współrzędne rzutowe odniesione do ośmiościanu podstawowego, a także podstawową zasadę, że geometria nie musi opierać się wyłącznie na punktach jako elemencie podstawowym. Proste, płaszczyzny, koła i kule mogą być wszystkie wykorzystane jako elementy (Raumelemente"), na których można oprzeć geometrię. Ten płodny pomysł rzucił nowe światło zarówno na syntetyczną, jak i algebraiczną geometrię i stworzył nowe formy dwoistości. Liczba wymiarów pewnych szczególnych form geometrii mogła być teraz dowolną liczbą naturalną, zależną od liczby parametrów niezbędnych do określenia elementu". Plücker ogłosił także ogólną teorię krzywych algebraicznych na płaszczyźnie, w której wyprowadził związki Pluckera dla liczby osobliwości (1834, 1839). Michel Chasles, przez wiele lat czołowy przedstawiciel geometrii we Francji, był uczniem École Polytechnique w późnych latach działalności Monge`a i w roku 1841 został jej profesorem. W roku 1846 objął katedrę geometrii wyższej specjalnie stworzoną dla niego w
Sorbonie, gdzie wykładał przez wiele lat. Dzieła Chaslesa miały wiele wspólnego z pracami Plückera, w szczególności w tym, że umiał uzyskać maksimum informacji o tworach geometrycznych z ich równań. Umożliwiło mu to zręczne operowanie liniami izotropowymi i punktami kołowymi w nieskończoności. Chasles idąc za Ponceletem posługiwał się metodami liczącymi", które w jego ręku przekształciły się w nową gałąź geometrii, tak zwaną geometrię liczącą". Dział ten został później w pełni opracowany przez Hermanna Schuberta w jego Kalkül der abzählenden Geometrie (1879) i przez H. G. Zeuthena w Abzählende Methoden (1914). Obie książki przejawiają zarówno mocne strony, jak słabości tego typu algebry w języku geometrycznym. Jego początkowe sukcesy wywołały reakcję pod przewodem E. Studyego, który stwierdził, że ścisłość w sprawach geometrii nie może wiecznie być traktowana jako przypadkowa". Chasles był dobrym znawcą historii matematyki, szczególnie geometrii. Jego dobrze
znany Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837) stanowi początek nowoczesnej historii matematyki. Jest to bardzo dobrze napisane dzieło o geometrii greckiej i nowoczesnej, a zarazem dobry przykład historii matematyki napisanej przez twórczego uczonego. Chasles zyskał sławę także jako ofiara fałszerza dokumentów, który w latach 1861-1870 sprzedał mu tysiące podrabianych dokumentów, od listów pisanych przez Pascala począwszy, a kończąc na listach pisanych przez Platona i Judasza Iskariotę. . W ciągu tych lat niemal gorączkowej twórczości w zakresie nowej geometrii rzutowej i algebraicznej nie znany dotąd, a nawet bardziej rewolucyjny typ geometrii pozostawał ukryty w kilku nieznanych
publikacjach, niedocenionych przez czołowych matematyków. Pytanie, czy postulat równoległych Euklidesa jest aksjomatem niezależnym, czy też można go wyprowadzić z innych aksjomatów, intrygowało matematyków przez dwa tysiące lat. W starożytności próbował na nie odpowiedzieć Ptolemeusz, próbował to uczynić Nasir-ad-Din w wiekach średnich, a Lambert i Legendre w wieku osiemnastym. Wszyscy ci uczeni próbowali udowodnić ten aksjomat i mylili się, nawet gdy w trakcie rozumowań uzyskiwali bardzo interesujące wyniki. Gauss był pierwszym, który wierzył, że aksjomat równoległych jest niezależny, skąd wynikało, że inne geometrie oparte na innym wyborze aksjomatów, były logicznie możliwe. Gauss nigdy nie ogłosił swych myśli na ten temat. Pierwszymi, którzy odważnie rzucili wyzwanie autorytetowi dwóch tysiącleci i stworzyli geometrię nieeuklidesową, byli Rosjanin Mikołaj Iwanowicz Łobaczewski i Węgier Janos Bolyai. Pierwszym,
który ogłosił swe idee, był Łobaczewski; był on profesorem w Kazaniu, gdzie wykładał o pewniku Euklidesa w roku 1826. Jego pierwsza książka ogłoszona w 1829-30 r. była napisana po rosyjsku i pozostała prawie niezauważona. Nawet późniejsze wydanie po niemiecku pt. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien nie zwróciło większej uwagi mimo zainteresowania, które wzbudziło u Gaussa. W tym czasie Bolyai zaczął już ogłaszać swe idee o tym przedmiocie.
Janos (Jan) Bolyai był synem nauczyciela matematyki w prowincjonalnym mieście na Węgrzech. Nauczyciel ten, Farkas (Wolfgang) Bolyai, studiował w Getyndze, gdy Gauss był tam także studentem. Obaj wymieniali od czasu do czasu listy. Farkas stracił wiele czasu próbując udowodnić piąty postulat Euklidesa , lecz nie mógł dojść do określonych wniosków. Jego syn odziedziczył tę pasję i również zaczął pracować nad dowodem nie bacząc na rady swego ojca, by wziął się do
czegoś innego: Powinieneś obrzydzić to sobie tak, jak rozpustny stosunek, może to pozbawić cię wolnego czasu, zdrowia, wypoczynku i całego szczęścia twego życia. Ta przepastna ciemność może chyba pochłonąć tysiąc wzniosłych Newtonów, nigdy nie będzie światła na Ziemi..." (List z roku 1820). Janos Bolyai wstąpił do wojska i zyskał sobie dobrą opinię jako dzielny oficer. Zaczął uważać postulat Euklidesa za aksjomat niezależny i odkrył, że możliwe było zbudowanie geometrii opartej na innym aksjomacie, który orzeka, że przez punkt na płaszczyźnie można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych nie przecinających prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Ta sama idea przyszła już na myśl Gaussowi i Łobaczewskiemu. Bolyai spisał swe rozważania i ogłosił je w roku 1832 jako dodatek do książki swego ojca, noszący tytuł Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. Zaniepokojony ojciec napisał do Gaussa o radę w sprawie nieortodoksyjnych poglądów
swego syna. Odpowiedź z Getyngi zawierała entuzjastyczne poparcie dla młodego Bolyaia. Do niej dołączona była uwaga, że Gauss nie mógł chwalić Bolyaia, ponieważ byłoby to samochwalstwem idee Appendixu były bowiem od wielu lat jego własnymi. Młody Janos był głęboko rozczarowany tym listem, który wynosił go wprawdzie do stopnia wielkiego uczonego, lecz odmawiał mu priorytetu. Rozczarowanie jego wzrosło, gdy w dalszym ciągu nie znalazł większego uznania. Jeszcze bardziej zgnębiło go ukazanie się książki Łobaczewskiego po niemiecku (1840); już nigdy nie publikował niczego więcej o matematyce.Idee Łobaczewskiego i Bolyaia były w zasadzie podobne, choć ich prace bardzo się różniły. Godne uwagi jest to, że idee te powstały
niezależnie i niemal i równocześnie w Getyndze, Budapeszcie i Kazaniu po dwutysięcznym okresie inkubacyjnym. Ciekawe jest również to, jak dojrzały one poza geograficznymi peryferiami świata badań matematycznych. Niekiedy nowe idee nie rodzą się w żadnych szkołach, lecz poza nimi.
Geometria nieeuklidesowa (nazwa pochodzi od Gaussa) przez kilka dziesięcioleci pozostała ciemnym działem wiedzy. Większość matematyków nie znała jej, przeważająca wówczas filozofia kantowska nie brała jej poważnie. Pierwszym czołowym uczonym, który w pełni zrozumiał znaczenie geometrii nieeuklidesowej był Riemann, którego ogólna teoria rozmaitości (1854) udzieliła prawa obywatelstwa nie tylko istniejącym typom geometrii nieeuklidesowej, lecz także wielu innym tak zwanym geometriom riemannowskim. Całkowite przyjęcie tych teorii nastąpiło
jednak dopiero wtedy, gdy pokolenie żyjące po Riemannie zaczęło rozumieć znaczenie jego teorii (rok 1870 i później). Jeszcze inne uogólnienie geometrii klasycznej powstało już przed Riemannem, lecz znalazło pełne uznanie dopiero po jego śmierci. Była to geometria więcej niż trójwymiarowa. Została ona rozwinięta w dziele Grassmanna Aus- dehnungslehre (Teoria rozciągłości) z roku 1844. Hermann Grassmann był nauczycielem gimnazjalnym w Szczecinie i człowiekiem niezwykle
wszechstronnym. Pisał o tak różnych przedmiotach, jak prądy elektryczne, barwy i akustyka, językoznawstwo, botanika i folklor. Jeszcze aktualny jest jego słownik sanskrytu do Rigwedy. Ausdehnungslehre, której przejrzane i bardziej przystępne wydanie ukazało się w roku 1861, była napisana w formie ściśle euklidesowej. Rozbudowała ona geometrię w przestrzeni n-wymiarowej najpierw afinicznej, a następnie metrycznej. Grassmann posługiwał się oznaczeniami niezmienniczymi, w których rozpoznajemy obecne oznaczenia wektorowe i tensorowe (jego iloczyny zewnętrzne są tensorami), wskutek czego jego praca była niemal nieczytelna dla współczesnych. Dopiero późniejsze pokolenie podjęło pomysły Grassmanna i rozbudowało analizę wektorową dla przestrzeni afinicznych i metrycznych. Pomimo, że w roku 1843 Cayley wprowadził tę samą koncepcję przestrzeni n-wymiarowej w formie o wiele mniej odstręczającej, geometria o więcej niż trzech wymiarach została przyjęta z niedowierzaniem i nieufnością. Znowu pełne
przyjęcie tej geometrii zostało ułatwione przez pracę habilitacyjną Riemanna. Pomysły Riemanna znalazły uzupełnienie w ideach Pluckera, który zauważył, że elementy przestrzeni nie muszą być punktami (1865) tak, że geometrię prostych w przestrzeni trójwymiarowej można traktować jako geometrię czterowymiarową, lub jak podkreślił Klein, jako geometrię czterowymiarowej kwadryki w przestrzeni pięciowymiarowej. Całkowite przyjęcie geometrii więcej niż trójwymiarowych nastąpiło dopiero pod koniec wieku dziewiętnastego, głównie z powodu ich zastosowania w interpretowaniu teorii form algebraicznych i różniczkowych więcej niż trzech zmiennych.
Nazwiska Hamiltona i Cayleya dowodzą, że około roku 1840 matematycy mówiący po angielsku zaczęli wreszcie dorównywać swym kolegom na kontynencie. Aż do dziewiętnastego wieku Cambridge i Oxford traktowały każdą próbę poprawy teorii fluksji za bezbożny bunt przeciw
świętej pamięci Newtona. Wskutek tego szkoła Newtona w Anglii i szkoła Leibniza na kontynencie tak daleko odeszły od siebie, że Euler w swym rachunku całkowym (1768) uważał połączenie obu sposobów wyrażania się za niecelowe. Dylemat został przełamany w roku 1812 przez grupę młodych matematyków z Cambridge, którzy pod wpływem starszego Roberta Woodhouse'a stworzyli towarzystwo analityczne", dla propagowania znakowania różniczkowego. Czołowymi postaciami wśród nich byli George Peacock, Charles Babbage i John Herschel. Próbowali oni, wedle słów Babbage'a, bronić zasad czystego d-izmu przeciw znakowaniu kropkami stosowanemu na uniwersytecie". Ruch ten napotykał początkowo na dużą krytykę, którą pokonały takie akcje, jak ogłoszenie angielskiego tłumaczenia książki Lacroix Elementarny traktat rachunku różniczkowego i całkowego (1816). Nowe pokolenie w Anglii zaczęło odtąd uprawiać nowoczesną matematykę.
Pierwsze ważne odkrycie pochodziło nie od tej grupy Cambridge, lecz od kilku matematyków, którzy zajmowali się niezależnie matematyką europejską. Najważniejszymi spośród nich byli Hamilton i George Green. Warto zauważyć, że ci dwaj oraz Nathaniel Bowditch zajęli się czystym (d-izmem" pod wpływem studiowania Mécanique céleste Laplace`a. Samouk Green, syn młynarza z dużym zainteresowaniem śledził nowe odkrycia w zakresie nauki o elektryczności. W tych czasach (1825) jeszcze prawie nie było matematycznej teorii zjawisk elektrycznych; Poisson w roku 1812 dał tylko jej początek. Green czytał Laplace`a i mówiąc jego własnymi słowami:
Rozważając jak pożądanym byłoby, aby siła o tak uniwersalnym działaniu, jak elektryczność, dała się ująć, w miarę możności, w ramy rachunku i rozmyślając nad korzyściami, które w rozwiązywaniu wielu trudnych problemów płyną z tego, że nie bada się zupełnie poszczególnych sił działających na różne ciała jakiegoś układu, ograniczając się do rozważania tej szczególnej funkcji,
od różniczek której wszystkie one zależą, zostałem naprowadzony na próby, czy byłoby możliwe odkryć jakieś ogólne związki pomiędzy tą funkcją a ilościami elektryczności w ciałach wytwarzających ją".
Tak powstało dzieło Greena Essay on the Application of Mathematical Analysis to Theories of Electricity and Magnetism (1828), pierwsza próba teorii matematycznej elektromagnetyzmu. Dzieło to stanowiło początek nowoczesnej fizyki matematycznej w Anglii; wraz z pracą Gaussa z roku 1839 stworzyło ono teorię potencjału jako niezależną gałąź matematyki. Gauss nie znał pracy Greena, która stała się szerzej znana dopiero wtedy, gdy William Thomson (późniejszy Lord Kelvin) przedrukował ją w Crelle's Journal w roku 1846. Jednakże pokrewieństwo idei Gaussa i Greena było tak bliskie, że tam gdzie Green wybrał termin funkcja potencjalna", Gauss niemal
takim samym terminem potencjał" określał rozwiązanie równania Laplace`a. Dwa blisko związane wzory dotyczące całek krzywoliniowych i powierzchniowych są znane jako wzór Greena i wzór Gaussa. Nazwa funkcja Greena" w teorii równań różniczkowych również czci pamięć syna młynarza, który studiował Laplace`a w wolnym czasie.
Nie mając na to miejsca, nie będziemy tu kreślić dalszego rozwoju fizyki matematycznej w Anglii i Niemczech. Z rozwojem tym związane są nazwiska Stokesa, Rayleigha, Kelvina, Maxwella, Kirchhoffa, Helmholtza, Gibbsa i wielu innych. Przyczynili się oni tak znacznie do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, że fizyka matematyczna i teoria równań liniowych drugiego rzędu o pochodnych cząstkowych wydają się czasem jedną dziedziną. Fizyka matematyczna wniosła jednak płodne idee do innych działów matematyki, zarówno do rachunku prawdopodobieństwa i teorii funkcji zespolonych, jak i do geometrii. Szczególne znaczenie miało dzieło Jamesa Clerka Maxwella Treatise on Electricity and Magnetism (1873,
2 tomy), które zawierało systematyczny wykład matematycznej teorii elektromagnetyzmu opartej na doświadczeniach Faradaya. Teoria Maxwella w końcu opanowała matematyczną teorię elektryczności, a później zainicjowała powstanie teorii elektronu Lorentza i teorii względności Einsteina. W wieku dziewiętnastym czysta matematyka była reprezentowana w Anglii przede wszystkim przez algebrę z zastosowaniem głównie do geometrii, której trzema czołowymi przedstawicielami byli Cayley, Sylvester i Salmon. Arthur Cayley w młodych latach studiował i praktykował prawo, lecz w roku 1863 objął nową Sadleriańską katedrę ( matematyki w Cambridge, gdzie wykładał przez lat trzydzieści. W latach czterdziestych, gdy Cayley praktykował prawo w Londynie, spotkał tam Sylvestera, który był wtedy aktuariuszem, i od tego czasu datują się ich wspólne zainteresowania algebrą form lub kwantyk, jak je nazywał Sylvester. Ich współpraca stała się początkiem teorii niezmienników algebraicznych.
Teoria ta wisiała w powietrzu" przez długie lata, szczególnie w okresie, gdy wyznaczniki stały się przedmiotem badań. Pierwsze prace Cayleya i Sylvestera wyszły poza granice teorii wyznaczników; była to świadoma próba podania systematycznej teorii niezmienników form algebraicznych z własną symboliką i regułami działań. Była to teoria, która została później udoskonalona przez Aronholda i Clebscha w Niemczech i stworzyła algebraiczny odpowiednik geometrii rzutowej Ponceleta. Obszerna książka Cayleya obejmuje szeroki zakres przedmiotów, jak grupy skończone, wyznaczniki i niezmienniki form algebraicznych oraz krzywe algebraiczne. Do jego najbardziej znanych dzieł należy dziewięć Memoirs on Quantics (1854-1878). Szósta praca z tej serii zawiera rzutową definicję metryki względem stożkowej. Odkrycie to doprowadziło Cayleya
do rzutowej definicji metryki euklidesowej, a w ten sposób umożliwiło mu ustalenie miejsca geometrii metrycznej w ramach geometrii rzutowej. Stosunek tej metryki rzutowej do geometrii nieeuklidesowej uszedł uwadze Cayleya, odkrył go później Felix Klein.
James Joseph Sylvester był nie tylko matematykiem, lecz także poetą, humorystą i wraz z Leibnizem największym twórcą nowych terminów w całej historii matematyki. Od roku 1855 do 1869 wykładał w Wojskowej Akademii w Woolwich. Był dwukrotnie w Ameryce, po raz pierwszy jako profesor Uniwersytetu stanu Virginia (1841 -42), po raz drugi jako profesor Uniwersytetu Johns Hopkinsa w Baltimore (1877-1883). Podczas swego drugiego pobytu w Ameryce był jednym z pierwszych organizatorów nauczania w zakresie matematyki na uniwersytetach amerykańskich. Od wykładów Sylvestera rozpoczął się rozkwit matematyki w Stanach Zjednoczonych.
Spośród wielu wyników Sylvestera w zakresie algebry dwa przeszły do historii jako klasyczne: jego teoria dzielników elementarnych (1851) (ponownie odkrył ją Weierstrass w roku 1868) oraz prawo bezwładności form kwadratowych (1852) (było ono już znane Jacobiemu i Riemannowi, lecz nie zostało opublikowane). Sylvesterowi zawdzięczamy także wiele obecnie ogólnie przyjętych
terminów, jak inwariant, kowariant, kontrawariantny, kogredientny i syzygium. Przypisują mu wiele anegdot, wśród nich kilka o profesorskim roztargnieniu. Trzecim algebraikiem-geometrą angielskim był George Salmon, który przez całe swe długie życie był związany z Trinity College w Dublinie, Alma Mater Hamiltona, gdzie wykładał zarówno matematykę, jak i teologię. Zasadnicza jego zasługa leży w wydaniu znanych podręczników celujących jasnością i elegancją. Podręczniki te otwarły kilku pokoleniom studiujących w wielu krajach drogę do geometrii analitycznej i teorii
niezmienników; nawet teraz trudno znaleźć lepsze. Były to Conic Sections (1848), Higher Plane Curves (1852), Modern Higher Algebra (1859) oraz Analytic Geometry of Three Dimensions (1862). Czytanie tych książek można jeszcze dziś gorąco zalecać wszystkim studiującym geometrię. Dwa wytwory algebry Zjednoczonego Królestwa zasługują na naszą specjalną uwagę: kwaterniony Hamiltona i bikwaterniony Clifforda. Hamilton - Astronom Królewski Irlandii wykończywszy swe dzieło o mechanice i optyce zwrócił się w roku 1835 do algebry. W swej Theory of Algebraic Couples (1835) określił algebrę jako naukę o czystym czasie i skonstruował ścisłą algebrę liczb zespolonych, opartą na pojęciu liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych. Było to odkrycie prawdopodobnie niezależne od Gaussa, który w swej teorii reszt dwukwadratowych (1831) również skonstruował ścisłą algebrę liczb zespolonych, opartą jednak na
geometrii płaszczyzny zespolonej. Oba pomysły są teraz przyjęte w jednakowym stopniu. Następnie Hamilton próbował wniknąć w algebrę trójek liczbowych, czwórek itd. Doznał on, jak chętnie mówią jego wielbiciele, olśnienia, gdy przechodząc pewnego dnia październikowego roku 1843 pod mostem w Dublinie odkrył kwaterniony. Swoje badania o kwaternionach zawarł w dwu ogromnych książkach Lectures on Quaternions (1853) i pośmiertnym Elements of Quaternions (1866). Najbardziej znaną częścią tego rachunku kwaternionów stała się teoria wektorów (nazwa pochodzi od Hamiltona), która stanowiła także część teorii rozciągłości Grassmanna. Głównie dlatego algebraiczne dzieła Hamiltona i Grassmanna są obecnie często cytowane. Jednakże w czasach Hamiltona, i jeszcze przez długi czas później, same kwaterniony były przedmiotem przesadnego podziwu. Niektórzy matematycy brytyjscy widzieli w nich rodzaj arithmetica univer salis" Leibniza, co oczywiście wywoływało reakcję (Heaviside przeciw Taitowi), na skutek której
kwaterniony straciły wiele ze swego znaczenia. Teoria liczb hiperzespolonych opracowana przez Peirce'a, Studyego, Frobeniusa i Cartana przywróciła kwaternionom należne im miejsce, jako najprostszemu łącznemu układowi liczb o więcej niż dwóch jednościach. Kult kwaternionów w ich dobrych" dniach doprowadził nawet do stworzenia Międzynarodowego stowarzyszenia dla popierania badań kwaternionów i pokrewnych działów matematyki", które przestało istnieć jako ofiara pierwszej wojny światowej. Innym aspektem sporów na tle kwaternionów była walka między zwolennikami Hamiltona i Grassmanna, gdy na skutek prac Gibbsa w Ameryce i Heaviside'a w Anglii analiza wektorowa zaczęła wyrastać jako samodzielna gałąź matematyki. Spór ten szalał między rokiem 1890 a pierwszą wojną światową i został wreszcie rozwiązany przez zastosowanie teorii grup, która ustaliła zalety każdej z metod w ich własnym zakresie działania.
William Kingdon Clifford, zmarły w roku 1879 w wieku trzydziestu trzech lat, wykładał w Trinity College w Cambridge i w University College w Londynie. Był on jednym z pierwszych Anglików, którzy zrozumieli Riemanna i jak on żywo interesował się pochodzeniem naszych pojęć przestrzennych. Clifford rozwinął geometrię ruchu, dla badania której uogólnił teorię kwaternionów Hamiltona wprowadzając tzw. bikwaterniony (1873-1876). Były to kwaerniony o współczynnikach będących liczbami zespolonymi a+bε, gdzieε2 może mieć wartości +1,-1 lub 0, i którymi można się również posługiwać przy badaniu ruchu w przestrzeniach nieeuklidesowych. Common Sense in the Exact Sciences Clifforda jest jeszcze dziś dziełem interesującym; wykazuje ono bliskie pokrewieństwo myślowe z Feliksem Kleinem. Znalazło ono wyraz w terminie przestrzenie Cliforda-Kleina dla pewnych zamkniętych rozmaitości
euklidesowych w geometrii nieeuklidesowej. Gdyby Clifford żył dłużej, idee Riemanna byłyby o jedno pokolenie wcześniej wywarły wpływ na matematyków angielskich. Przez wiele dziesięcioleci w krajach mówiących po angielsku w matematyce czystej główny nacisk kładziono na algebrę formalną. Wywarło to wpływ na dzieło Beniamina Peirce z Uniwersytetu Harvard, ucznia Nataniela Bowditcha, który pracował z powodzeniem nad mechaniką niebieską i w roku 1872 ogłosił Linear Associative Algebras, jedno z pierwszych systematycznych studiów nad liczbami hiperzespolonymi. Formalistyczny kierunek w matematyce angielskiej mógł także mieć wpływ na ukazanie się dzieła pod tytułem The Laws ofThought (1854), napisanego przez George Boole'a z
Queen's College w Dublinie. Pokazuje ono, w jaki sposób prawa logiki formalnej, które zostały skodyfikowane przez Arystotelesa i były od wieków przedmiotem nauczania na uniwersytetach, mogą same stanowić przedmiot rachunku. Ustaliło to podstawy harmonii z ideą Leibniza
characteristica generalis". Ta algebra logiki" stworzyła szkołę myślenia, która usiłowała zjednoczyć logikę i matematykę. Uzyskała ona dalszy rozmach w książce Gottloba Fregego Die Grundlagen der Arithmetik (1884), która próbowała wyprowadzić pojęcia arytmetyczne z logiki. Badania te osiągnęły swój szczyt w dwudziestym wieku z ukazaniem się książki Principia Mathematica Bertranda Russella i Alfreda N. maroonheada (1910-1913); wywarły one także wpływ na późniejsze dzieło Hilberta o podstawach arytmetyki i na usunięcie paradoksów nieskończoności Prace o teorii niezmienników Cayleya i Sylvestera spotkały się z dużym zainteresowaniem w Niemczech, gdzie liczni matematycy rozwinęli tę teorię w jednolitą naukę opartą na zupełnym algorytmie. Głównymi postaciami byli Hesse, Aronhold, Clebsch i Gordan. Hesse, profesor w Królewcu, a później w Heidelbergu i Monachium wykazał, podobnie jak Plucker, skuteczność
skróconych metod w geometrii analitycznej. Lubił rozumować przy pomocy współrzędnych jednorodnych i wyznaczników. Aronhold, który wykładał na politechnice w Berlinie napisał w roku 1858 pracę, w której rozwinął konsekwentny symbolizm teorii niezmienników, oparty na tak zwanych czynnikach idealnych" (nie mających żadnego związku z ideałami Kummera). Symbolika ta została później rozwinięta przez Glebscha, w rękach którego symbolika Clebscha-Aronholda" stała się niemal powszechnie przyjętą metodą w systematycznym badaniu niezmienników algebraicznych. W tej symbolice rozpoznajemy teraz, tak samo jak w wektorach Hamiltona, iloczynach Grassmanna, diadach Gibbsa, szczególne postacie algebry tensorowej. Ta teoria niezmienników została później wzbogacona przez Paul Gordana, z Uniwersytetu w Erlangen,
który udowodnił (1868-69), że każdej formie dwójkowej odpowiada skończony układ niezmienników i współzmienników wymiernych, w którym wszystkie inne wymierne współzmienniki i niezmienniki wyrażają się w postaci wymiernej. To twierdzenie Gordana (Endlichkeitssatz") zostało w roku 1890 uogólnione przez Hilberta na formy algebraiczne n zmiennych.
Alfred Clebsch był kolejno profesorem w Karlsruhe, Giessen i Getyndze i zmarł mając trzydzieści dziewięć łat. W ciągu krótkiego swego życia dokonał szeregu ważnych odkryć. Pod wpływem prac prowadzonych we Francji pod kierunkiem Lamego i Saint Venanta ogłosił książkę o teorii sprężystości (1862); swą teorię niezmienników zastosował do geometrii rzutowej. Był jednym z pierwszych, którzy zrozumieli Riemanna i stworzył podstawy tej gałęzi, geometrii algebraicznej, w której teoria funkcji powierzchni wielospójnych Riemanna została zastosowana do krzywych algebraicznych rzeczywistych. Theorie der Abelschen Funktionen Głebscha i Gordana (1866) podaje szeroki zarys tych idei. Clebsch założył także Mathematische Annalen", które w ciągu sześćdziesięciu lat z górą były czołowym czasopismem matematycznym. Jego wykłady geometrii
ogłoszone przez F. Lindemanna stanowią jeszcze podstawowy podręcznik geometrii rzutowej.
Około roku 1870 matematyka rozrosła się w ogromny i ciężki system podzielony na dużą liczbę działów, których metody znali tylko specjaliści. Nawet wielcy matematycy, jak Hermite, Weierstrass, Cayley, Beltrami mogli być autorytetami tylko w paru z tych wielu działów. Specjalizacja ta stale wzrastała, aż dzisiaj osiągnęła rozmiary alarmujące. Opór przeciwko niej nigdy nie ustał i niektóre z najważniejszych odkryć ostatnich stu lat były wynikiem syntezy różnych działów matematyki.
Takiej syntezy w mechanice dokonały dzieła Lagrange`a i Laplace`a. Pozostały one podstawą wielu wielkich prac o różnorakim charakterze. Wiek dziewiętnasty dodał nowe zasady jednoczące, mianowicie teorię grup i pomysły Riemanna dotyczące funkcji i przestrzeni. Znaczenie ich najlepiej
zrozumieć można w twórczości Kleina, Liego i Poincarégo.Felix Klein był pod koniec lat sześćdziesiątych asystentem Plückera w Bonn, gdzie poświęcił się studiom nad geometrią. Mając dwadzieścia dwa lata odwiedził Paryż w roku 1870. Spotkał tu Sophusa Liego, Norwega starszego od siebie o sześć lat, który dopiero niedawno zainteresował się matematyką. Młodzi ludzie spotykali się z matematykami francuskimi (wśród nich był Camille Jordan z École Polytechnique) i studiowali ich dzieła. Camille Jordan napisał właśnie w roku 1870 swój Traité des substitutions, książkę o grupach podstawień i teorii równań Galois. Klein i Lie zaczęli rozumieć centralne znaczenie teorii grup i odtąd podzielili zakres matematyki mniej więcej na dwie części. Klein zajął się zasadniczo grupami nieciągłymi Lie grupami ciągłymi.
W roku 1872 Klein został profesorem w Erlangen. W swym wykładzie inauguracyjnym przedstawił znaczenie pojęcia grupy dla klasyfikacji różnych działów matematyki. Wykład ten, który jest znany jako Program erlangeński" zdefiniował każdą geometrię jako teorię niezmienników pewnej szczególnej grupy przekształceń. Rozszerzenie lub zwężenie tej grupy pozwala przechodzić od jednego typu geometrii do drugiego. Geometria euklidesowa bada niezmienniki grupy metrycznej, geometria rzutowa niezmienniki grupy rzutowej. Klasyfikacja grup przekształceń daje nam klasyfikację geometrii; badanie algebraicznych i różniczkowych niezmienników każdej grupy daje nam analityczną strukturę danej geometrii. Rzutowa definicja metryki Cayleya pozwala nam na traktowanie geometrii metrycznej w ramach geometrii rzutowej. Dołączenie" niezmienniczej
stożkowej do geometrii rzutowej na płaszczyźnie daje nam geometrie nieeuklidesowe. Nawet stosunkowo mało znana topologia uzyskała swe własne miejsce jako teoria niezmienników ciągłych przekształceń punktowych. W roku poprzednim Klein podał ważny przykład tego sposobu myślenia pokazując, jak geometrie nieeuklidesowe można traktować jako geometrie rzutowe z metryką Cayleya. Przyczyniło się to wreszcie do pełnego uznania zaniedbanych idei Bolyaia i Łobaczewskiego. Stwierdzono wtedy ich logiczną niesprzeczność. Gdyby istniały błędy logiczne w geometrii nieeuklidesowej, musiałyby one ujawnić się w geometrii rzutowej. Istniało jednak tylko niewielu matematyków, którzy by zgodzili się na taką herezję. Później ta idea obrazu" jednego działu matematyki w drugim była często stosowana i odegrała ważną rolę w aksjomatyce geometrii Hilberta.
Teoria grup umożliwiła syntezę dorobku geometrycznego i algebraicznego Monge`a, Ponceleta, Gaussa, Cayleya, Glebscha, Grassmanna i Riemanna. Teoria przestrzeni Riemanna, która nasunęła tak wiele myśli zrealizowanych w programie ertangeńskim, pobudziła nie tylko Kleina lecz także Helmholtza i Liego. Helmholtz w latach 1868 do 1884 studiował teorię przestrzeni Riemanna, częściowo w poszukiwaniu wyrazu geometrycznego swej teorii barw, częściowo próbując się wgłębić w pochodzenie naszej intuicji wzrokowej. Doprowadziło go to do badania natury aksjomatów geometrycznych, a szczególnie miary kwadratowej Riemanna będącej podstawą wszelkiej miary. Lie udoskonalił rozważania Helmholtza, dotyczące miary Riemanna, analizując naturę grup przekształceń, na których ta miara się opiera (1890). Ten problem przestrzeni Liego-Helmholtza" posiadał znaczenie nie tylko dla teorii względności i teorii grup, lecz także dla
fizjologii. Klein podał wykład funkcji zespolonych według koncepcji Riemanna w książeczce Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen (1882), w której pokazał, jak rozważania fizyczne mogą wywrzeć wpływ na nawet najbardziej subtelny typ rozumowania matematycznego. W swych Vorlesungen über das Ikosaeder (1884) pokazał, że algebra nowoczesna może nauczyć wielu ciekawych i zdumiewających rzeczy o starożytnych bryłach platońskich. Dzieło to zawierało studium grup obrotu wielościanów foremnych oraz ich roli jako grup Galois równań algebraicznych. W gruntownych studiach przeprowadzonych przez siebie i swych licznych uczniów, Klein stosował pojęcie grupy do równań różniczkowych liniowych funkcji modułowych eliptycznych, funkcji abelowych i nowych funkcji automorficznych", w zakresie których w sposób
przyjacielski i interesujący współzawodniczył z Poincarem. Pod wpływowym kierownictwem Kleina Getynga ze swymi tradycjami Gaussa, Dirichleta i Riemanna stała się światowym ośrodkiem badań matematycznych, do którego młodzi ludzie wielu narodowości zjeżdżali się dla studiowania swych specjalności jako zasadniczej części całej matematyki. Klein prowadził pobudzające do myślenia wykłady, z których notatki krążyły w formie skryptów i umożliwiły całym pokoleniom matematyków zdobycie nie tylko wyspecjalizowanych wiadomości, lecz przede wszystkim zrozumienia jedności ich wiedzy. Po śmierci Kleina w roku 1925 niektóre z tych notatek ogłoszono pod postacią książek.
W czasie pobytu w Paryżu Sophus Lie odkrył przekształcenia stycznościowe, a wraz z nimi klucz do całej dynamiki Hamiltona, jako części teorii grup. Po swym powrocie do Norwegii został profesorem w Christianii, później od roku 1886 do 1898 wykładał w Lipsku. Poświęcił całe swe życie systematycznemu badaniu ciągłych grup przekształceń i ich niezmienników, wykazując ich zasadnicze znaczenie jako podstawy klasyfikacji w geometrii, mechanice, równaniach różniczkowych, zwyczajnych i cząstkowych. Wyniki tych prac zostały zebrane w pewnej liczbie
klasycznych dzieł wydanych przy pomocy uczniów Liego Scheffersa i Engela (Transformationsgrup pen (1888-1893), Differential- gleichungen (1891); Kontinuierliche Gruppen (1893); Beriih- rungstransformationen (1896)). Prace Liego zostały później wzbogacone przez francuskiego matematyka Elie Gartana. W obliczu ogromnego wzrostu matematyki niemieckiej Francja w dalszym ciągu wydawała wielu znakomitych matematyków we wszystkich dziedzinach. Interesujące jest porównanie matematyków niemieckich z francuskimi, Hermite'a z Weierstrassem, Darboux z Kleinem, Hadamarda z Hilbertem, Paul Tannery'ego z Moritzem Cantorem. Od lat czterdziestych do sześćdziesiątych czołowym matematykiem był Joseph Liouville, profesor College de France w Paryżu, dobry nauczyciel i organizator, przez wiele lat wydawca Journal de mathématiques pures et appliquées". Badał on systematycznie teorię arytmetyczną form
kwadratowych dwóch lub więcej zmiennych, a twierdzenie Liouville'a" w mechanice statystycznej dowodzi, że twórczo pracował także w zupełnie odmiennej dziedzinie. Wykazał istnienie liczb przestępnych i w roku 1844 dowiódł, że ani e, ani e2 nie mogą być pierwiastkami równania kwadratowego o współczynnikach wymiernych. Był to jeden z kroków w łańcuchu rozumowań, który prowadził od dowodu Lamberta z roku 1761, że π jest liczbą niewymierną, do dowodu Hermite'a, że e jest liczbą przestępną (1873), i wreszcie dowodu Lindemanna (ucznia Weierstrassa), że π jest liczbą przestępną (1882). Liouville wraz z licznymi związanymi z nim matematykami rozwijał geometrię różniczkową krzywych i powierzchni; wzory Freneta-Serreta (1847) pochodzą z kręgu Liouville'a. Charles Hermite, profesor Sorbony i École Polytechnique, został czołowym przedstawicielem analizy we Francji po śmierci Cauchy'ego w roku 1857. Prace
Hermite'a, podobnie jak Liouville'a, były utrzymane w tradycjach Gaussa i Jacobiego; wykazują one także pokrewieństwo z pracami Riemanna i Weierstrassa. Funkcje eliptyczne, funkcje modułowe, funkcje theta, teoria liczb i teoria niezmienników przyciągały jego uwagę, na co wskazują nazwy liczby Hermite'a, formy Hermite'a. Jego przyjaźń z matematykiem holenderskim Stieltjesem, który dzięki Hermite'owi uzyskał katedrę w Tuluzie, była wielką zachętą dla odkrywcy całki Stieltjesa i zastosowania ułamków łańcuchowych do teorii momentów. Obaj wysoko cenili się wzajemnie: Vous avez toujours raison et j'ai toujours tort" pisał raz Hermite do swego przyjaciela. Czterotomowa Correspondance (1905) między Hermitem i Stieltjesem zawiera bogaty materiał, głównie z zakresu funkcji zmiennej zespolonej. Francuską tradycję geometryczną godnie reprezentowały książki i prace Gastona Darboux. Darboux był geometrą w sensie Monge`a, traktującym problemy geometryczne z pełną znajomością grup i równań różniczkowych, i
pracującym nad problemami mechaniki z żywą intuicją przestrzenną. Darboux był profesorem College de France, przez pół wieku czynnym w nauczaniu. Najbardziej wpływowym jego dziełem były podstawowe Leçons sur la théorie générale des surfaces (4 tomy, 1887-1896), które zawierają wyniki całego stulecia badań w zakresie geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni. W rękach Darboux ta geometria różniczkowa została w najbardziej różnoraki sposób powiązana z równaniami różniczkowymi zwyczajnymi i cząstkowymi, a także z mechaniką. Darboux ze swymi zdolnościami administracyjnymi i pedagogicznymi, swoją subtelną intuicją geometryczną, mistrzostwem techniki analitycznej i zrozumieniem Riemanna był we Francji postacią podobną do Kleina w Niemczech.
Ta druga część wieku dziewiętnastego była okresem, w którym powstało wiele obszernych podręczników analizy i jej zastosowań, które często ukazywały się pod tytułem Cours d'analyse" i
były pisane przez czołowych matematyków. Najsłynniejszymi są Cours d'analyse Camille Jordana (3 tomy, 1882-87) i Traité d'analyse Emila Picarda (3 tomy, 1891-96), i późniejszy Cours d'analyse mathématique Edouarda Goursata (3 tomy, 1902-1905). Największym matematykiem francuskim drugiej połowy dziewiętnastego wieku był Henri Poincare; od roku 1881 aż do swojej śmierci był profesorem Sorbony w Paryżu. Żaden z innych matematyków tego okresu nie opanował tak wielu dyscyplin i nie był zdolny do wzbogacenia ich wszystkich. Co roku wykładał różne działy; wykłady te były wydawane przez studentów i objęły ogromny zakres: teorię potencjału, światło, elektryczność, przewodnictwo cieplne, kapilarność, elektromagnetyzm, hydrodynamikę, mechanikę niebieską, termodynamikę, teorię prawdopodobieństwa. Każdy z tych wykładów był świetny w swoim rodzaju i w sumie przyniosły one idee, które wydały owoce w dziełach innych, a wiele z nich oczekuje jeszcze na dalsze opracowanie. Ponadto Poincare napisał pewną ilość popularnych
dzieł, które przyczyniły się do ogólnego zrozumienia problemów matematyki nowoczesnej ; wśród nich były La valeur de la science ( 1905) i La science et l'hypothese (1906). Obok tych wykładów Poincare ogłosił wiele prac o tak zwanych funkcjach automorficznych i funkcjach klasy Fuchsa, o równaniach różniczkowych, topologii i podstawach matematyki, wykazujących wielkie mistrzostwo techniki i pełne opanowanie wszystkich właściwych działów matematyki czystej i stosowanej. Żaden z matematyków dziewiętnastego wieku, z wyjątkiem być może Riemanna, nie miał tyle do powiedzenia obecnemu pokoleniu. Klucz do zrozumienia dzieł Poincaré'go tkwi chyba w jego rozważaniach nad mechaniką niebieską, a w szczególności nad problemem trzech ciał (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 tomy, 1892-1899). Ujawnił tu bezpośrednie pokrewieństwo z ideami Laplace`a i udowodnił, że nawet pod koniec dziewiętnastego wieku dawne
problemy mechaniczne dotyczące wszechświata nie straciły nic ze swego znaczenia dla twórczego matematyka. Właśnie w związku z tymi problemami Poincare badał szeregi rozbieżne i rozwinął swą teorię rozwinięć asymptotycznych, pracował nad niezmiennikami całkowymi, stabilnością orbit i postacią ciał niebieskich. Jego podstawowe odkrycia dotyczące lokalnego zachowania się krzywych całkowych równań różniczkowych w pobliżu osobliwości oraz ich zachowania się integralnego, były także związane z jego dziełem o mechanice niebieskiej. Dotyczy to również jego badań nad naturą prawdopodobieństwa, drugim działem, w którym szedł w ślady Laplace`a. Poincare był podobny do Eulera i Gaussa; z którejkolwiek strony zbliżymy się do niego, odkrywamy cechę oryginalności. Nasze nowe teorie dotyczące względności, kosmogonii, prawdopodobieństwa i topologii pozostają wszystkie pod żywym wpływem twórczości Poincaré'go.
Risorgimento narodowe odrodzenie Włoch, oznaczało również odrodzenie matematyki włoskiej.
Wielu z twórców nowoczesnej matematyki włoskiej uczestniczyło w walkach, które wyzwoliły ich kraj spod władzy austriackiej i zjednoczyły go. Obok katedr profesorskich zajmowali później także stanowiska polityczne. Silny był we Włoszech wpływ Riemanna; przez Kleina, Glebscha i Cayleya matematycy włoscy zapoznali się z geometrią i teorią niezmienników. Zaczęli także interesować się teorią sprężystości z jej wyraźnymi cechami geometrycznymi.
Wśród twórców nowej włoskiej szkoły matematyków byli Brioschi, Gremona i Betti. W roku 1852 Francesco Brioschi został profesorem w Pawii, a w roku 1862 zorganizował instytut techniczny w Mediolanie, gdzie wykładał aż do swej śmierci w roku 1897. Był założycielem Annali di ma- tematica pura ed applicata" (1858), które jak wskazuje ich tytuł miały współzawodniczyć z czasopismami Crelle'a i Liouville'a. W roku 1858 w towarzystwie Bettiego i Casoratiego odwiedził
czołowych matematyków Francji i Niemiec. Volterra twierdził później, że naukowe istnienie Włoch jako narodu" datuje się właśnie od tej podróży . Brioschi był włoskim przedstawicielem badań typu Cayleya-Clebscha w zakresie niezmienników algebraicznych. Luigi Cremona był po roku 1873 dyrektorem Szkoły Inżynierskiej w Rzymie; imię jego noszą biracjonalne prze kształcenia płaszczyzny i przestrzeni, tak zwane przekształcenia Cremony" (1863-65). Był również jednym z twórców statyki graficznej. Eugenio Beltrami był uczniem Brioschiego i zajmował katedry w Bolonii, Pizie, Pawii i Rzymie. Jego główne dzieło o geometrii powstało w latach 1860-1870, gdy przy pomocy swych parametrów różniczkowych wprowadził rachunek niezmienników różniczkowych do teorii powierzchni. Innym osiągnięciem z tego okresu były jego badania nad tak zwanymi powierzchniami pseudo- sferycznymi - powierzchniami, których krzywizna Gaussa jest stałą ujemną. Na takiej pseudosferze możemy zrealizować dwuwymiarową
geometrię nieeuklidesową Bolyaia. Była to, obok interpretacji rzutowej Kleina, metoda pozwalająca wykazać, że w geometrii nieeuklidesowej nie ma sprzeczności wewnętrznych, ponieważ te sprzeczności musiałyby także ujawnić się w zwykłej teorii powierzchni. Około roku 1870 idee Riemanna stały się coraz bardziej wspólnym dobrem młodszego pokolenia matematyków. Jego teoria kwadratowych form różniczkowych stała się przedmiotem dwóch prac matematyków niemieckich E. B. Christoffela i R. Lipschitza (1870). W pierwszej z nich zostały wprowadzone symbole Christoffela". Badania te wraz z teorią parametrów różniczkowych Beltramiego doprowadziły Gregoria Ricci-Curbastro z Padwy do tak zwanego absolutnego rachunku różniczkowego (1884). Była to nowa symbolika niezmiennicza, pierwotnie stworzona dla posługiwania się teorią przekształceń równań różniczkowych cząstkowych, lecz stanowiąca
równocześnie symbolikę stosowną dla teorii przekształceń kwadratowych form różniczkowych.
W rękach Ricciego i niektórych jego uczniów, szczególnie Tullia Levi-Civita, z absolutnego rachunku różniczkowego rozwinęła się obecna tak zwana teoria tensorów. Tensory pozwoliły wprowadzić jednolitość wielu symbolik niezmienniczych, a równocześnie okazały się potężnym środkiem w ogólnej teorii sprężystości, hydrodynamice i teorii względności. Słowo tensor pochodzi właśnie z teorii sprężystości (W. Voigt, 1900). Najwybitniejszym reprezentantem geometrii różniczkowej we Włoszech był Luigi Bianchi. Jego Lezioni di geometria differenziale (2 wydanie, 3 tomy, 1902-1909) stoją na równi z Théorie générale des surfaces Darboux jako klasyczny wykład dziewiętnastowiecznej geometrii różniczkowej . Dawid Hilbert, profesor w Getyndze, przedstawił w roku 1900 na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu listę dwudziestu trzech problemów. Hilbert był już wówczas znany ze swego dzieła o formach algebraicznych; przygotował
już wtedy swą słynną dzisiaj książkę o podstawach geometrii (Grundlagen der Geometrie, 1900). Dzieło to pod wieloma względami zawdzięcza swe powstanie pionierskim pracom Moritza Pascha z Giessen, a specjalnie jego książce Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), w której Pasch rozciągnął na podstawy geometrii aksjomatyczny sposób myślenia, rozwijany w tym samym czasie przez Fregego w jego pracach nad podstawami arytmetyki. Hilbert w swej książce podał analizę aksjomatów, na których opiera się geometrią euklidesowa i wyjaśnił, o ile nowe badania aksjomatyczne pozwoliły ulepszyć zdobycze Greków. W swym wykładzie z roku 1900 Hilbert próbował ująć główne prądy badań matematycznych ostatnich dziesięcioleci i nakreślić zarys przyszłej pracy twórczej .Streszczenie jego projektów pozwoli nam lepiej zrozumieć sens matematyki dziewiętnastego wieku. Przede wszystkim Hilbert proponował zarytmetyzowanie
pojęcia continuum, tak jak było ono przedstawione w dziełach Cauchy'ego, Bolzana i Cantora. Gzy istnieje liczba kardynalna między liczbami kardynalnymi zbioru przeliczalnego i continuum i czy można uważać continuum za zbiór dobrze uporządkowany? Dalej, co można powiedzieć o niesprzeczności aksjomatów arytmetycznych? Następne projekty dotyczyły podstaw geometrii, pojęcia ciągłych grup przekształceń Liego - czy różniczkowalność jest niezbędna? oraz matematycznego sformułowania aksjomatów fizyki. Następnie Hilbert przedstawił pewne problemy specjalne, przede wszystkim dotyczące arytmetyki i algebry. Kwestią otwartą była jeszcze ciągle niewymierność lub przestępność pewnych liczb (np. aβ gdy a jest liczbą algebraiczną, a β niewymierną). Tak samo nieznany był dowód hipotezy Riemanna dotyczącej pierwiastków funkcji dzeta oraz sformułowanie ogólnego prawa wzajemności w teorii liczb. Innym projektem w tym zakresie był dowód skończoności pewnych zupełnych układów funkcji występujących w teorii
niezmienników. Piętnasty problem dotyczył ścisłego sformułowania rachunku liczącego" Schuberta, szesnasty badania topologii krzywych i powierzchni algebraicznych. Inny problem odnosił się do podziału przestrzeni na wielościany przystające. Pozostałe problemy dotyczyły równań różniczkowych i rachunku wariacyjnego. Czy rozwiązania regularnych problemów w rachunku wariacyjnym są zawsze analityczne? Czy każdy regularny problem wariacyjny z danymi warunkami brzegowymi ma rozwiązanie ? Jak można zuniformizować zależności analityczne przy pomocy funkcji automorficznych ? Hilbert zakończył swój przegląd wezwaniem do dalszych prac nad rozwojem rachunku wariacyjnego. Program Hilberta wykazał żywotność matematyki pod
koniec wieku dziewiętnastego i silnie kontrastował z pesymistycznym poglądem z końca wieku osiemnastego. Obecnie część problemów Hilberta rozwiązano, inne jeszcze oczekują na rozwiązanie. Rozwój matematyki po roku 1900 nie zawiódł nadziei, które żywiono pod koniec wieku dziewiętnastego. Nawet geniusz Hilberta nie mógł jednak przewidzieć pewnych zadziwiających odkryć, które miały i mają miejsce po dziś dzień. Matematyka dwudziestego wieku znalazła własną, nową drogę do chwały. Powrót
