Teoria Reprezentacji

Biorąc pod uwagę ,że ponad trzy czwarte tego tekstu jest poświęcone teorii reprezenatcji grup Lie i algebry Lie, dlaczego w ogóle dyskusja na temat reprezentacji grup skończnych? Są z pewnością ważne powody z logicznego punktu widzenia : wiele pomysłow, koncepcji , konstrucji jakie tu będą wprowadzone , zostaną zastosowane do badania grup i algebry Lie. Teoria repoerezentacji jest bardzo XX wiecznym tematem.W XIX wieku,kiedy grupy były traktowane w ogólnym rozumieniu jako podzbiory permutacji zbioru , lub automorfizm GL(V) przestrzeni wektorowej ,zamknięte w złożniu lub inwersji. Dopiero w XX wieku powstała notacja danej abstrakcyjnej grupy,co pozwoliło na dokonanie rozróżnienia między właściwościammi abstrakacyjnej grupy i właściwościami konkretnej realizacji jako podgrupy permutacji grupy lub GL(V). Aby dać analogię .W XIX wieku rozmaitośćzawsz była podzbiorem Rⁿ,dopiero w XX wieku stało się powszechne oznaczenie abstrakcyjnej rozmaitości riemannowskiej.W obu przypadkach wprowadzienie obiektu abstrakcyjnego tworzyło fundamentalną różnicę w tym temacie. W geometrii różniczkowej , można dokonać istotnego rozróżnienia pomiędzy zewnetrzną a wewnętrzną geometrią rozmaitości: które właściwości zostały niezmiennikami metryki w rozmaitości,a które określone właściwości osadzone w Rⁿ. Pytanie o istnienie bądź nieistnienie może być podzielone na dwie części :czy abstrakcyjna rozmaitość istnieje i czy może być osadzona .Poddbnie to co w XIX w. nazywano po prostu "teorią grup", jest obecnie brane pod uwagę w dwóch częściach . Po pierwsze badanie struktury grup abstrakcyjnych(np. klasyfikacja grup prostych).Po drugie , jest kwestia towarzystwa : dla danej grupy G, jak możemy opisać wszystkie sposoby w jakie G może być włożona (lub odwzorowana do) grupy liniowej GL(V).To, oczywiście, jest tematem teorii reprezentacji. Biorąc pod uwagę ten punkt widzenia,ma sens ,kiedy po raz pierwszy wprowadzamy teorię reprezentacji, robić to w sytuacji,gdy charakter grupy G jest sam w sobie prosty i zrozumiały.W dużej mierze z tego powodu zaczynamy teorię reprezentacji od grup skońcoznych. Kiedy analizujemy, na przykład reprezentację symetrycznych i przemiennych grup na 3,4 lub 5 liter, można oczekiwać ,że czytelnik jest już zaznajomiony z grupami i może skupić się na podsatwowych koncepcjach wprowadzanych przez teorię repreznetacji.

W tej części podamy podstawowe definicje teorii reprezentacji, i udowodnimy dwa podstawowe wyniki,pokazujące ,że każda reprezentacja jest (jednoznaczną) prostą sumą reprezentacji nieprzywiedlnych.Będzimy pracować na przykładach grup abelowych,i najprostszych grupach nieabelowych, grupach symetrycznych 3 literowych. W tym ostatnim przypadku podamy analizę , która okazuje się nie być przydatna do badnia grup skończonych ,ale którejk główną ideą jest badanie reprezentacji grup Lie.

Reprezentacja skończonej grupy G w skończenie wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej V jest homomorfizmem ρ :G →GL(V)z G do grupy automorfizmów z V; mówimy, że takie odwzorowanie nadaje V strukturę G - modułu. Gdy jest mała dwuznaczność w odwzrowaniu ρ(i ,obawiamy się , czasem nawet gdy nie ma), czasami nazywamy samo V reprezentacją G; w tym duchu będziemy często usuwaćsymbol ρ i pisać g*v lub gv dla ρ. Wymiar V jest często nazywany stopniem &rho. Odwzorowanie φ między dwoma reprezentacjami V i W z G jest odwzorowaniem przestrzeni wektora φ:V → W , takim ,że

komutuje dla każdego g ∈ G (Nazwiemy to odwzorowaniem G-liniowym, keidy chcemy odróżnić go od dowolnego odwzorowania liniowego między przestrzeniami wektorowymi V i W). Możemy potem zdefiniować Kerφ, Imφ i Coker φ, któree również są G-modułami. Podreprezentacja reprezentacji V jest podprzestrzenią wektora W z V, która jest niezmiennicza pod G. Reprezentacja V jest nazywana nieprzywiedlną jeśli nie ma właściwej niezerowej niezmienniczej podprzestrzeni W z V. Jeśli V i W są reprezentacjami, suma prosta V ⊕ W i iloczyn tensorowy V ⊗ W , są rówież reprezentacjami działającymi przez
g(v⊗w)=gv⊗gw
Dla reprezentacji V, n-ta potęga tensorowa V^⊕n jest reprezentacją G tej zasady , a zewnętrzna potęga ∧ⁿ(V) i symetryczna potęga Symⁿ(V) są jej podreprezentacjami. Dualne V^* = Hom(V,C) z V i jest również reprezentacją ,chociaż nie w oczywisty sposób: chcemy aby dwie reprezentacje z G szanowały naturalne parowanie (oznaczone<, >) między V^* i V , tak ,że jeśli ρ:G →GL(V) jest reprezentacją a ρ^* : G →GL(V^*) jest dualne , mamy

dla wsyzstkich g ∈G , v∈ V , i v^*∈ V^*. To z kolei zmusza nas do określenia dualnej reprezentacji przez
ρ^*(g)=^tρ(g^-1):V^*→ V^* , dla wszystkich g ∈ G.
Ćwiczenie 1.1Sprawdź czy przy tej definicji ρ^*spełniony jest powyższy związek.
Mając zdefiniowaną dualną repezentację i iloczyn tensorowy dwóch reprezentacji, jest również tak ,że jeśli V i W są reprezentacjami, wtedy Hom(V,W)jest również reprezentacją, przez identyfikacje Hom(V,W)=V^*⊕W. Odkrywamy to ,jeśli widzimy element z Hom(V,W) jako liniowe odwzorowanie φ z V do W , mamy
(gφ)(v)= gφ(g^-1v)
dla wszystkich v ∈ V. Innymi słowy,definicja jest taka ,że poniższy diagram komutuje

.Zauważ ,że dualna reprezentacja jest ,okazuje się ,specjalnym przypadkiem tego: kiedy W = C jest trywialną reprezentacją tj. gw = w dla wszystkich w ∈ C ,czyni V^* w G-moduł , z gφ(v) = φ(g^-1v),tj, gφ= ^t(g^-1)φ.
Ćwiczenie 1.2 Sprawdź ,czy ogólnie przestrzeń wektorowa G - liniowego przekształcenia dwóch reprezentacji jest tylko podprzestrzenią Hom(V,W)^G elementów Hom(V,W), ustaloną w ramach działania G. Ta subprzestrzeń jest często oznaczona przez hom_G(V,W). Mamy w efekcie podjętą identyfikację Hom(V,W) = V^*⊗W jako definicji reprezentacji Hom(V,W). Ogólnie rzecz biorąc,zwykle tożsamości dla przestrzeni wektorowych są również prawdziwe w odniesieniu do reprezentacji np.

i tak dalej...
Ćwiczenie 1.3. Niech ρ:G →GL(V)będzie reprezentacją skończonej grupy G w n-wymiarowej przestrzeni wektorewej V i przypuśćmy ,że dla dowolnego g ∈ G , wyznacznik ρ(g) to 1.Wykaż ,że przestrzenie ∧^kV i ∧^n-kV^* są izomorficzne jako reprezentacje G. Jeśli X jest dowolnym skończonym zbiorem a G działa na lewo od X, tj. G → Aut(X)jest homomorfizmem do grupy permutacji z X , jest powiązana reprezentacja permutacji : niech V będzie przestrzenią wektora o bazie {e_x: x ∈ X}, i niech G działa na V przez
g*∑a_xe_x = ∑a_xe_gx
Regularna reprezentacja, oznaczona przez R_G lub R ,odpowiada działaniu po lewej stronie G na sobie. Alternatywnie, R jest przestrzenią funkcji o wartościach zespolonychw G ,gdzie element g ∈ G działa na funkcji α przez (gα)(h) = α(g^-1h).
Ćwiczenie 1.4.(a) Sprawdź, że te dwa opisy R zgadzają się ,przez identyfikację elementu e_x funkcji charakterystycznej pobierający wartość 1 dla x , 0 dla innych elementów G.
(b) Przestrzeń funkcji w G może być również zmieniona na G-moduł przez regułę (gα)(h)= α(hg). Wykaż, że jest to reprezentacja izomorficzna.

Jak w każdym badaniu,zanim zaczniemy próbę klasyfikacji reprezentacji grupy skończonej G, poważnie powinniśmy sobie uprościć nieco życie, ograniczając nieco wyszukiwania. W szczególności widzieliśmy ,że reprezentacje G mogą być zbudowane z innych reprezentacji przez liniowe operacje algebraiczne, najprościej w drodze sumy prostej. Wtedy, powinniśmy się skupić na reprezentacjach,które są "atomowe" w odniesieniu do tej operacji, tj. które nie mogą być wyrażone jako suma prosta pozostałych;zwykle określeniem takiej reprezentacji jest nierozkładalna. Szczęśliwie, jest tak miła jak to możliwe: reprezentacja jest atomowa w tym sensie, wtedy i tylko wtedy,gdy jest nieredukowalna. (tj .nie zawiera właściwej subreprezentacji), a każda reprezentacja jest prostą sumą nieredukowalnych, we właściwym sensie, jednoznacznie tak. Kluczem do wszystkiego jest
Twierdzenie 1.5Jeśli W jest subreprezentacją reprezentacji V grupy skończonej G wtedy jest uzupełniająca niezmiennicza subprzestrzeń W′z V tak ,że V = W ⊕ W′.
Dowód:Są dwa sposoby zrobienia tego. Jeden może wprowadzić (dodatnio wyznacznu) hermitowski iloczyn skalarny H w V, który jest zachowany przez każde g ∈ G (tj. tak, że H(gv,gw) = H(v,w)dla wszystkich v, w ∈ V i g ∈ G). Rzeczywiście , jeśli H₀ jest dowolnym iloczynem hermitowskim w V, dostajemy takie H przez uśrednienie nad G:

Wtedy prostopadła subprzestrzeń W^⊥ jest komplementarna do W w V. Alternatywnie, (ale podobnie), możemy po prostu wybrać arbitralną subprzestrzeń Ukomplementarną do W,niech π₀:V → W będzie projekcją daną przez sumę prostą dekompozycji V = W &poplus; U, i średnie przekształcenie π₀ nad G:

Wtedy będzie G-liniowe przekształcenie z V na W , które jest mnożeniem przez |G| na W;dlatego jego jądrem będzie subprzestrzeń V niezmienniczą nad G i komplementarną do W.
Następstwo 1.6 Dowolna reprezentacja jest sumą prostą nieredukowalnych reprezentacji.
Taka właściwość jest nazywana zupełnie przywiedlną lub półprostą. Zobaczymy ,że dla ciągłych reprezentacji, okrąg S¹, lub dowolna grupa zwarta, ma tą włąściwość ;integracja w grupie (w odniesieniu do niemzienniczej miary w grupie) odgrywa rolę uśrednienia w powyższym dowodzie. Addytywna grupa R nie ma tej właściwości: reprezentacja

pozostawia stałą oś x, ale nie ma uzupełeniających podprzestrzeni. Zobaczmy inne grupy Lie takie jak SL_n(C), które są półproste w tym sensie. Odnotujmy również ,że ten argument nie powiedzie się jeśli przestrzeń wektorowa V była nad polem skończonych charakterystych,ponieważ może być wtedy przypadkiem,że π(v) = 0 dla v ∈W. Niepowodzenie zupełnej redukowalności jest jedną z rzeczy, która czyni temat modularnej reprezentacji lub reprezentacji na przestrzeni wektorowej nad polami skończonymi, tak trudnym. Stopień rozkładu dowolnej reprezentacji na sumę sumę prostą nieredukowalnych reprezentacji jest unikalnyu i jest konsekwencją następujących czynności:
Lemat Schura 1.7Jeśli V i W są nieredukowalnymi reprezentacjami z G a φ:V → W jest homomorfizmem G-modułu,wtedy
(1) Albo φ jest isomorfizmem, albo φ = 0
(2) Jeśli V = W ,wtedy φ = λ * I dla pewnego λ ∈ C, I tożsamość.
Dowód Pierwsze zastrzeżenie wynika z faktu ,że Ker φ i Im φsą podprzestrzeniami niezmienniczymi. Po drugie, ponieważ C jest algebraicznie zamknięte , φ musi mieć wartość własną λtj. dla pewnego λ ∈ C, φ -λI ,ma niezerowe jądro. Z (1), wtedy ,musi mieć φ -λI = 0, więc φ = λI
Twierdzenie 1.8Dla dowolnej reprezentacji V z grupy skończonej G ,mamy rozkład
V = V₁^⊕a₁⊕ ... ⊕V_k^⊕a_k
gdzie V_k są różnymi nieredukowalnymi reprezentacjami. Ten rozkład V na sumę prostą k czynników jest unikalny ,ponieważ są V_k ktróe występują i ich krotności a_k.
Dowód: Wynika z lematu Schura ,że jeśli W jest inną reprezentacją G ,z rozkładem W = ⊕W_j^⊕b_j i φ:V → W jest przekształceniem reprezentacji, wtedy φ musi przekształcić czynnik V_i^⊕a_i na taki czynnik W_j^⊕b_j dla którego W_j ≅ V_i; kiedy stosujemy to do przekształcenia tożsamościowego V na V,wystąpi stan jednoznaczności.
Później podamy formułę dla projekcji V na V_i^⊕a_i .Rozkład i-tego składnika sumy na sumę prostą a_i kopii z V_i nie jest unikalny jeśli a_i > 1. Okazjonalnie , rozkład jst zapisany
V = a₁V₁⊕...⊕a_kV_k = a₁V₁ + ... + a_kV_k
szczególnie gdy chodzi tylko o klasę izomorfizmu i wielokrotności V_i. Jeszcze jeden fakt, którym będziemy się zajmować ,jest taki ,że skończona grupa G dopuszcz tylko skończenie wiele nieredukowalnych reprezentacji V_i do izomorfizmu. Zatem jest rama klasyfikacji wszystkich reprezentacji G : powyżej , kiedy opisaliśmy nieredukowalną reprezentację G, będzimy mogli opisać arbitralną reprezentację jako liniową kombinację. Naszymi pierwszymi celami,w analizowaniu reprezentacji dowolnej grupy , będą:
(i) Opisujemy wszystkie nieredukowalne reprezentacje G.
Kiedy to zrobimy , pozostaje problem realizacji w praktyce opis danej reprezentacji w tych kategoriach. Zatem drugim naszym celem będzie
(ii) Znajdowanie technik dających bezpośredni rozkład sumy , w szczególności określenia wielokrotności dowlonej reprezentacji V.
Wreszcie prawdą jest ,że reprezentacje jakimi będziemy najczęściej zainteresowani są te, które są prostsze, w rodzaju liniowych, lub wieloliniowych - operacji algebraicznych opisanych powyżej. Chcielibyśmy móc opisać, w powyższych kategoriach ,reprezentacje, które uzyskujemy kiedy wykonujemy te operacje na znanej rerpezentacji. generalnei jest to znane jako
(iii) Pletyzm :Opis rozkładu , z wielokrotnościami, reprezentacji pochodnych z danej reprezentacji V, takich jak V ⊗ V ,V^*, ∧^k(V), Sym^k(V) i ∧^k(&and^lV).Zwróć uwagę ,że jeśli V rozkłada się na sumę dwóch reprezentacji, reprezentacje te rozkładają się zgodnie; np. jeśli V = U ⊕ W ,wtedy

więc wystarczy do pracy z tym pletyzmem dla nieredukowalnych reprezentacji. Podobnie jeśli V i W są dwoam nieredukowalnymi reprezentacjami, chcemy rozłożyć V ⊗ W ; jest to zazwyczaj znane jako problem Clebsha- Gordona.