CZĘŚĆ I : Twierdzenia geometryczne
Twierdzenie Podaire
Niech A′,B′,C′będą stopami wysokości trójkąta ostrokątnego ABC(A′∈BC,B′∈ AC , C′ ∈ AB).Niech a′ , b′ c′ oznaczają boki trójąta podaire A′B′C′. Twierdzenie Podaire Smarandache′a stanowi ,że
(1) Σa′b′ ≤ 1/4 Σa2
gdzie ,a,b,c s,bokami trójkąta ABC. Nazym celem jest poprawa (1) do następującej postaci:
(2) Σ a′b′ ≤ 1/3(Σ a′)2 ≤ 1/12(Σ a)2 ≤ 1/4 Σ a2
Najpierw potrzebujemy twierdzenia pomocniczego
Lemat. Niech p i p′ oznaczają półobwody trójkątów ABC i A′B′C′ , odpowiednio. Wtedy
p′ ≤ p/2
Dowód. Ponieważ AC′ = b cos A, AB′ = c cos A, uzyskamy
C′B′ = AB′2 + AC′2 - 2AB′ * AC′ * cos A = a2cos2A,
więc C′B′ = a cos A.
|
