Teoria Fouriera

CZĘŚĆ I : Wprowadzenie

Teoria Fouriera jest gałęzią matematyki wymyśloną, aby rozwiązać pewne problemy w równań różniczkowych cząstkowych. Najbardziej znanym z tych równań są:
* Równanie Laplace′a : ∂²u/∂x² + ∂²u/∂² = 0 , dla u(x,y) funkcji dwóch zmiennych
* Równanie fali : ∂²u/∂t² - c²⋅∂²u/∂x² = 0 dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych
* Równanie ciepła : ∂u/∂t - κ⋅∂²/∂x² = 0 dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych
W równaniu ciepłą x przedstawia pozycję wzdłuż paska mierzoną od pewnego początku, t oznacza czas, u(x,t) temperaturę na pozycji x w czasie t. Fourier początkowo związał się z równaniem ciepła. Nawiasem mówiąc to równanie opisuje stężenie barwnika dyfuzji w cieczach takich jak woda. Z tego powodu, równanie to nazywa się równaniem dyfuzji. W równaniu fali, x przedstawia pozycję wzdłuż elastycznego łańcucha pod napięciem, mierzoną od pewnego początku, t przedstawia czas, u(x,t) przesunięcie łańcucha od równowagi przy pozycji x w czasie t. W równaniu Laplace′a, u(x,y) przedstawia stałą temperaturę na płaskiej przewodzącej płaszczyźnie na pozycji (x,y) na płaszczyźnie .Ponieważ równanie ciepła i równanie fali odnoszą się do pojedynczej zmiennej przestrzeni x, czasami odnosimy się do nich, odpowiednio jako jednowymiarowego równania ciepłą i jednowymiarowego równania fali. Równanie Laplace′a zawiera dwie zmienne przestrzenne i dlatego jest czasami nazywane dwuwymiarowym równaniem laplace′owskim. Równanie Laplace′a jest podłączone do teorii funkcji analitycznych zmiennych zespolonych. Jeśli f(z) - u(x,y) + iv(x,y), części rzeczywista i urojona u(x,y) ,v(x,y) spełniają równania Cauchy′ego - Riemanna:
∂u/&partx = ∂v/∂y , ∂y/∂y = - ∂v/∂x ∂²u/∂x² = ∂²v/∂x∂y = - ∂²u/∂y²
lub
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y = 0
Podobnie
∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0
Przewodzenie ciepła i rozchodzenie się fal zwykle występuje w przestrzeni trójwymiarowej i są opisane przez następujące wersje równania Lapalce′a, równanie ciepła i równanie fal:
∂²u/∂x² + ∂²y/∂u² + ∂²u/∂z² = 0
∂u/∂t - κ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = 0
∂²u/∂t² - c²⋅(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = 0

CZĘŚĆ II : Liniowe operatory różniczkowe

Wszystkie powyższe częściowe równania różniczkowe można zapisać w postaci
L[u] = F
gdzie
L[u] = ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² w równaniu Laplace′a
L[u] = ∂u/∂t - κ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = ∂u/∂t - κ∇² w równaniu ciepła
i
L[u] = ∂²u/∂t² - c² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = ∂²u/∂t² - c²∇²u w równaniu ciepła
L[u] jest w każdym przypadku, liniowym operatorem różniczki cząstkowej. Liniowość oznacza ,że dla dowolnych funkcji u₁, u₂ i dwóch stałych c₁, c₂
L[c₁u₁ + ... + c_nu_n] = c₁L[u₁] + c₂L[u₂].
Innymi słowy, L jest liniowe jeśli zachowuje kombinacje liniowe u₁, u₂/ Tą definicję uogólniamy do
L[c₁u₁ + ... + c_nu_n] = c₁L[u₁] + ... + c_nL[u_n]
dla dowolnej funkcji u₁,...u_n i stałych c₁,..,c_n
Niech u(x₁,x₂,...,x_n) będą funkcjami n zmiennych χ = (x₁,x₂,...,x_n).Wtedy najbardziej ogólny operator liniowy cząstkowej różniczki jest w postaci :

gdzie a_ij(χ),b_j(χ),c(χ) są danymi współczynnikami. Najwyższy rząd pochodnej cząstkowej jest stopniem operatora cząstkowej różniczki. Odtąd będziemy rozpatrywać tylko operator różniczki cząstkowej drugiego rzędu postaci

Ogólna równanie liniowej różniczki cząstkowej drugiego rzędu jest postaci :
L[u] = F(χ)
gdzie F(χ) jest podaną funkcją. Kiedy F(χ) ≡ 0 , Równanie L[u] = 0 jest nazywane jednorodnym. Jeśli F(χ) ≠ 0, równanie L[u] = F(χ) jest nazywane niejednorodnym. Liniowość L ma zasadnicze znaczenie dla sukcesu metody Fouriera. Jest zazwyczaj (nieskończenie) wiele rozwiązań liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Liczba rozwiązań może być ograniczona przez dodatkowe warunki. Często te dodatkowe warunki są podane przez równania liniowe zawierające u i ich pochodne na granicy pewnego regionu Ω ⊂ Rⁿ. Te równania są zapisywane jako warunki brzegowe
B[u9χ)] = Φ(χ)
gdzie B jest operatorem cząstkowej różniczki zdefiniowanej na graniczy ∂Ω regionu Ω. Jako przykład nich u(χ,t) będzie temperaturą przy x ∈ Ω , w czasie t. Wtedy u spełnia równanie ciepła
∂u/∂t-κ∇²u = 0 , x ∈ Ω , t > 0
Załóżmy ,że temperatura na granicy utrzymuje się przy danej temperaturze Φ, wtedy
u(x,t) = Φ(x,t), x ∈ ∂Ω t > 0
Również temperatura ciała jest dana przez
u(x,0)=f(x), x ∈Ω
Załóżmy ,że u₁,...,u_k spełnia liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
L[u_j] = F_j, j = 1,....,k
i warunek brzegowy
B[u_j] = Φ_j , j = 1,...,k,
wtedy liniowa kombinacja u =c₁u₁ + ... + u_ku_k spełnia liniowe równanie cząstkowe różniczkowe
L[u] = c₁F₁ + ... + c_kF_k
i warunek brzegowy
B[u] = c₁Φ₁ + ... + c_kΦ_k
Do tego wyniku odnosimy się jako zasady superpozycji i ma ogromne znaczenie dla metody Fouriera. To pokazuje ,że przez liniowe kombinacje rozwiązań powiązanych liniowych równań różniczkowych cząstkowych, inne rozwiązania mogą być konstruowane dla źródłowych i granicznych warunków F,Φ które są liniowymi kombinacjami prostszych warunków.

CZĘŚĆ III : Separacja zmiennych

Przykład 1 Rozważmy ciepło pręta przewodzącego o długości l, izolowany na całej swej długości, tal aby ciepło mogło przepływać tylko wzdłuż pręta. Temperatura u(x,t) wzdłuż pręta, spełnia równanie ciepła
u_t - κu_xx = 0, 0 < x < l , t > 0
i warunki brzegowe
u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 t > 0
Niech temperatura wzdłuż pręta przy t = 0 będzie dana przez
u(x,0) = f(x) , 0 < x < l
Załóżmy rozwiązanie w postaci
u(x,t) = X(x)T(t)
Takie rozwiązanie jest nazywane rozwiązaniem separacji zmiennych. Zastępując w równaniu ciepła
X(x)T(t) = κX″(x)T(t)
Dzielenie przez κX(x)T(t) prowadzi do
T′(t)/κT(t) = X″(x)/X(x)
Ponieważ zmienne x,t pojawiają się w oddzielnych stronach równania, każda strona tego równania może być tylko równe stałej, powiedzmy λ Wtedy
T′ = κλT i X″ = λX
Są to stałe współczynniki równań różniczkowych zwyczajnych. λ jest rzeczywista ,ale może być dodatni, ujemna lub zerowa. Załóżmy na chwilę ,że λ > 0. Rozwiązaniami są
T(t) = Ce^κλt , X(x) = Ae^x√λ + Be^-x√λ
dla stałych A,B,C. Wtedy u(x,t) = X(x)T(t) spełnia u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 t > 0, jeśli i tylko jeśli X(0) = 0, X(l) = 0. Jest to
0 = X(0) = A + B
0 = X(l) = Ae^l√λ + Be^-l√λ
Eliminacja A,B prowadzi do warunku
e^l√λ - e^-l√λ = 0
lub
sinh (l√λ) = 0
Nie ma wartości λ > 0 które spełniają ten warunek. Więc λ nie może być dodatnia. Załóżmy że λ < 0 i niech λ = -μ² dla pewnego rzeczywistego μ. Wtedy √λ = iμ a zatem μ spełnia
e^iμl - e^-iμl = 0
lub
sin (μl) = 0
Ma to rozwiązanie μl = nπ = ±1,±2,..., a zatem μ_n = nπ/l, n = ±1,±2,...

Dla λ = 0
T′ = 0 i X″ = 0
lub
T(t) = C a X(x) A +Bx
Warunki brzegowe u(0,t), u(l,t) = 0 , t > 0, są spełnione jeśli i tylko jeśli X(0) = 0, X(l) = 0. To znaczy
0 = X(0) = A, 0 = X(l) = Bl
lub
A = B = 0
Dlatego nietrywialne rozwiązania równania ciepła
u_t - κu_xx = 0, 0 < x < l , t > 0
spełniają warunki graniczne
u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 , t > 0
są

Przez superpozycję

również spełniają równanie ciepła i warunki brzegowe. Dla warunków początkowych będzie spełnione

To musi wykazać ,że f(x) może być przedstawiona jako szereg rozwinięć sinusów. Skoncentrujemy się na tych funkcjach f(x) które mają tą właściwość. Rozwinięcie szeregu takie jak

jest nazywane rozwinięciem szeregu Fouriera
Przykład 2 Załóżmy ,że przewód przewodzący jest izolowany na każdym końcu, temperatura u(x,t) spełnia to samo równanie ciepła i początkowy warunek ale z innymi warunkami granicznymi
u_x(0,t)=0, u_x(l,t)=0 , t > 0
Separacja zmiennych u(x,t) = X(x)T(t) w tym równaniu ciepła prowadzi do tych samych równań różniczkowych zwykłych
T′κλT i X″=λX
i zakładamy w danej chwili ,że λ > 0 rozwiązanie
T(t)= Ce^κλt, X(x) =Ae^x√λ + Be^-x√λ
Warunki brzegowe są spełnione jeśli i tylko jeśli
0 = X′(0), 0 =X′(l)
To znaczy
0 = √λ(A-B), 0 = √λ(Ae^l√λ - Be^-l√λ)
Eliminacja A ,B ponownie prowadzi do warunku λ ≠ 0;
e^l√λ - e^-l√λ = 0
lub sinh (l√λ) = 0. Nie ma żadnych wartości λ > 0 które spełniają ten warunek. Więc λ nie może być dodatnia. Załóżmy ,że λ < 0 i niecj λ = -μ² dla pewnego rzeczywistego μ Wtedy √λ = iμ a zatem μ spełnia
e^iμl - e^-iμl
lub
sin (μl) = 0
Mamy rozwiązanie μ_nl = nπ, n = ±1,±2,..., zatem μ_n = nπ/l , n = ±1,±2,...,
λ_n = -μ_n² = -(nπ/l)², n = 1,2,...,

Jeśli λ = 0, T(t) = C, a X(x) = A + Bx. Warunki brzegowe u(0,t)=0,u(l,t) = 0, t > 0 ,jeśli i tylko jeśli X′(0) = 0, X′(l) = 0. To znaczy
0 = X′(0) = B, 0 = X′(l)
lub
X(x) = A₀, T(t) = C₀
Dlatego też rozwiązania nietrywialne równania ciepła
u_t - κu_xx , 0 < x < l ,t > 0
spełniają warunki brzegowe
u_x(0,t) = 0, u_x(l,t) = 0 , t > 0
są

Przez superpozycję

również spełniają równanie ciepła i warunki brzegowe. Dla warunku początkowego będzie spełnione

jest również nazywane rozwinięciem szeregu Fouriera

CZĘŚĆ IV : Szereg Fouriera

Funkcja f(x), f:R → R jest nazywana okresową jeśli f(x + P) = f(x) dla wszystkich x ∈ R. P > 0 jest nazywane okresem f. Załóżmy ,że f(x) jest okresowa z okresem 2π, wtedy ważnym pytaniem jest czy f(x) ma rozwinięcie szeregu Fouriera w postaci

Stały wyraz jest brany jako a₀ / 2 dla wygody. Wzory
e^ix = cos x + i sin x, e^-ix = cos x - i sin x
mogą być użyte do zapisania rozwinięcia szeregu Fouriera jako

gdzie współczynnikami są
c_n = a_n - ib_n / 2 , c_-n = a_n + ib_n / 2 , n = 1,2,..., c₀ = a₀ / 2,
Zakładając przez chwile ,że funkcja okresowa 2π ma rozwinięcie szeregu Fouriera, współczynnik Fouriera c_n będzie określony przez zastosowanie następującej właściwości ortogonalnej wykładnika zespolonego e^inx, n = 0,±1,±2,...,
Lemat

Dowód Dla n ≠ m

które są współczynnikami Fouriera f(x)
Ponieważ
c_n = a_n - ib_n / 2 , c_-n = a_n + ib_n / 2 , n = 1,2,..., c₀ = a₀ / 2,
współczynniki Fouriera cosinusa i sinusa są dane przez

Albo rozwinięcie

jest nazywany rozwinięciem szeregu Fouriera f(x).Pierwsze, w postaci wykładniczej a po drugie w postaci trygonometrycznej. Zauważmy ,że jeśli f(x) jest parzystym okresem funkcji tj. f(-x) = f(x) dla wszystkich x, wtedy

Zatem, rozwinięcie szeregu Fouriera parzystej funkcji f(x) ma tylko wyrazy cosinusa

Co więcej, współczynniki a_n

Podobnie jeśli f(x) jest nieparzystą funkcją okresową f(-x) = -f(x) , wtedy

Zatem rozwinięcie szeregu Fouriera funkcji nieparzystej f(x) ma tylko wyrazy sinusa

a współczynnik to

Warto zauważyć ,że dla okresowych funkcji f(x), stały wyraz szeregu Fouriera

jest średnią wartością f(x) przy okresie, -π < x < π
Przykład (a) Niech f(x) będzie okresowa z okresem 2π

Nazywa się to funkcją prostokątną. Jest to oczywiście funkcja nieparzysta, zatem współczynnik cosinusa Fouriera a_n, wszystkie są zerami i

Dlatego też b_2n = 0, b_2n-2 = 4/(2n-1)π , n = 1,2,... . Szereg Fouriera f(x) to

(b) Niech f(x) będzie okresowa w okresem 2π, f(x) = |sin x| , -π < x < π

f(x) jest parzystą funkcją okresową, zatem b_n = 0 dla wszystkich n

Dlatego też a,sub>2n = - 4/((2n)² -1)π , a_2n-1 = 0 a szereg Fouriera f(x) to

CZĘŚĆ V : Nierówność Bessela

Twierdzenie Niech f będzie okresowa 2π i całkowana Riemannem przy [-π ,&pi] .Wtedy

Dowód Używając dla zespolonego z

Dzieląc przez 2π i całkując przez [-π, π]

N → ∞ prowadzi do wyniku
Nierówność Bessela później będzie pokazana w rzeczywistości jako równość ale teraz implikuje ,że szereg

jest zbieżny, gdzie c_n są współczynnikami Fouriera funkcji całkującej f Riemanna. Używając równań
c_n = a_n -ib_n/2 , c_-n = a_n + ib_n/2 , n = 1,2,..., c₀ = a₀/2
Nierówność Bessla może być zapisana jako

To implikuje ,że szeregi

również są zbieżne , gdzie a_n, b_n, są współczynnikami cosinusa i sinusa f Fouriera

CZĘŚĆ VI : Konwergencja wyników dla szeregów Fouriera

Rozważmy pytanie: Dla jakich funkcji f szeregi Fouriera

są zbieżne?
Ponieważ zajmujemy się funkcjami, pojęcie konwergencji muszą być wyjaśnione precyzyjniej. Czy oznaczamy szeregi numeryczne jako zbieżne przy każdym x ∈ [-π, π]? Czy konwergencja może być różna przy różnych punktach x,czy rzeczywiście możemy mieć konwergencje w niektórych punktach a nie innych, a jeśli tak., jakie to są punkty zbieżne? Czy możemy mieć jakiś rodzaj średniej konwergencji na [-π, π]?. Funkcja f jest nazywana kawałkami ciągłą w przedziale [a,b] jeśli jest ciągła gdziekolwiek, z wyjątkiem skończenie wielu punktów x₁,x₂,...,x_k ∈ [a,b] i istniej lewostronna i prawostronna granica f przy każdym z tych punktów x₁,x₂,..,x_k . Zbiór wszystkich funkcji kawałkami ciągłych w [a,b] jest oznaczony przez PC[a,b]. f jest nazywana kawałkami gładką jeśli f i jesj pochodna f′ są kawałkami ciągłe w [a,b]. Rozważmy sumę częściową N^tą zespolonego szeregu Fouriera f

Definiujemy .
Wtedy

[Ostatnie równość wynika ze zmiany zmiennej i okresowości funkcji podcałkowej D_N(x-y)f(y)]. Funkcja D_N(x) jest nazywana jądrem Dirichleta i

Pytanie o konwergencję szeregów Fouriera redukuje się do pytania : Czy S_N^f(x) jest zbieżne przy N → ∞ dla x ∈ [-π, π]? jeśli tak , to jak jest zbieżne?
Udowodnijmy podstawowe wyniki
Lemat

Dowód

Z parzystości D_N(x) i całkowania

Twierdzenie Niech f będzie kawałkami gładką funkcją cykliczną 2π w R. Wtedy

dla każdego x .Zatem dla każdego punktu x ciągłości f
Dowód

Dla stałego x definiujemy

która jest nieparzystą funkcją kawałkami ciągłą dla [-π, π] przez warunek kawałków gładkości na f .Wtedy

Ostatnie dwa wyrazy są współczynnikami sinusa i cosinusa B_N, A_N z 1/2⋅cos(y/2) g(y), 1/2⋅sin(y/2) g(y), odpowiednio. Z nierówności Bessela, B_N, A_N → 0 jeśli N →. Dlatego też
S_N^f 1/2[f(x^-) + f(x⁺)] = B_N + A_N → 0 , jeśli N → ∞
Ten wynik , że sumy cząstkowe szeregu Fouriera funkcji kawałkami gładkich okresowych 2π jest zbieżny punktowo do średnie z lewej i prawej strony granicy przy x. Jeśli x jest punktem ciągłości f, wtedy sumy częściowe są zbieżne punktowo do f(x). Szeregi Fouriera dostarcza przydatnych metod dla sumowania pewnych szeregów numerycznych.
Przykład/ Szereg Fouriera funkcji ciągłej okresowej f(x) = |sin x| , x ∈ [-π , &pi] to

Ponieważ x = 0 jest punktem ciągłości f, szereg Fouriera jest zbieżny przy x = 0 do f(0) = 0

lub

Przy x = π/2, szereg Fouriera jest zbieżny do

CZĘŚĆ VII : Różniczkowanie i całkowanie szeregu Fouriera

Szereg Fouriera może być różniczkowany wy7raz po wyrazie, ale pytanie brzmi, czy szereg wynikowy jest zbieżny a jeśli tak to do czego? Podobne obawy mają zastosowanie do szeregu wynikowego z całkowania wyraz po wyrazie szeregu Fouriera.
Twierdzenie Niech a_n,b_n,c_n będą współczynnikami Fouriera z funkcji okresowej 2π kawałkami gładkiej f a a′_n,b′_n,c′_n współczynnikami Fouriera z f′. Wtedy
a′_n = nb_n, b′_n = -na_n, c′_n = inc_n
Dowód Przez całkowanie części

Podobny sposób działa dla a′_n = nb_n , b′_n = -na_n
Twierdzenie Niech f będzie funkcją 2π okresową, kawałkami gładką, z kawałkami gładką pochodną f′. Wtedy szereg Fouriera z f′ to

i jest zbieżny dla każdego x gdzie istnieje f′(x). Jeśli f′ nie jest ciągła przy x, wtedy szereg powyższy zbiega się do 1/2[f′(x^-) + f′(x⁺)]
Dowód ten wynik wynika z połączenia poprzednich dwóch
Całkowanie szeregu Fouriera nie jest proste ponieważ funkcja pierwotna funkcji okresowej nie musi być okresowa. Na przykład f(x) = 1 jest okresowa ale jej funkcja pierwotna F(x) = x nie jest. Jednakże stały wyraz szeregu Fouriera ma okresową funkcję pierwotną, poniższy wynik jest prawdziwy.
Twierdzenie Niech f będzie 2π okresową, kawałkami ciągłą ze współczynnikami Fouriera a_n,b_n,c_n i niech

Jeśli c₀ = 1/2⋅a₀ = 0, wtedy dla wszystkich x

gdzie

jest średnią wartością F na [-π , π]. Jeśli c₀ ≠ 0, wtedy powyższy szereg jest zbieżny do F(x) - c₀x.
Dowód Ponieważ f(x) jest kawałkami ciągła, jest ciągła . Jeśli c₀ = 0, F(x) jest okresowa 2π ponieważ

Dlatego też, szereg Fouriera jest zbieżny kawałkami przy każdym x ∈ [-π , π] do F(x). Ponieważ f(x) = F′(x), z dwóch poprzednich twierdzeń
a_n = nB_n , b_n = -nA_n , cn - inC_n
gdzie a_n, b_n, c_n są współczynnikami Fouriera z f a A_n, B_n, C_n są współczynnikami Fouriera z F. Jeśli n ≠ 0 implikuje to ,że
A_n = - b_n/n , B_n = a_n/n , C_n = c_n/in
Stała

jest stałym wyrazem w szeregu Fouriera

Jeśli c₀ ≠ 0, f(x) -c₀ ma zerową średnią wartość w [-π , π] i dlatego ma zerowy współczynnik Fouriera

Zastosowanie wynik uzyskany dla f(x)-c₀ i jej funkcji pierwotnej F(x)-c₀c kończy to twierdzenie. Różniczkowanie i całkowanie znanego szeregu Fouriera używając powyższych wyników jest przydatnym sposobem dla uzyskania nowego szeregu Fouriera
Przykład Funkcja okresowa 2π f:R→R, f(x) = x(π -|x|), x ∈ [-π,π] jest ciągła z kawałkami gładką pochodną. Dlatego jej szereg Fouriera jest zbieżny przy każdym x do f(x)

lub

Przykład

jest kawałkami ciągłą z szeregiem Fouriera

Ponieważ

Dlatego

Ponieważ

Ale

Dlatego

Ten wynik zgadza się z poprzednim przykładem

CZĘŚĆ VIII : Półzakresowy szereg Fouriera

Często wygodniej jest przedstawiać daną funkcję jako szereg Fouriera, który zawiera tylko wyrazy cosinusowe lub tylko wyrazy sinusowe, jak w początkowych przykładach. Jeśli f(x) jest kawałkami ciągła w [0,π], może być rozszerzona do [-π, 0] jak również do parzystej funkcji jak i funkcji nieparzystej. Wtedy f jest okresowo rozszerzana do całej linii rzeczywistej jako funkcja okresowa 2π przez f(x+2π) = f(x) , x ∈ R. Niech f(x) będzie funkcją kawałkami gładką w przedziale [0,π] i rozszerzoną do [-π,0] jako funkcja parzysta. To znaczy, f(x) = f(-x), x ∈ [-π0]. Wtedy okresowe rozszerzenie do R jest kawałkami gładkie i ma szereg Fouriera

Podobnie, rozszerzenie f(x) do [-π,0] jak funkcji nieparzystej i okresowej do R, rozwinięcie ma szereg Fouriera

Szeregi Fouriera

są znane jako szeregi półzakresowe dla f(x) ,x ∈[0,π]
Przykłady niech f(x) = sin(x),x ∈[0,π]. Rozszerzamy f do [-π,0] jako funkcję parzystą. To znaczy

Półzakresowy szereg Fouriera zf jest dany przez

CZĘŚĆ IX : Przedziały ogólne

Teoria szeregów Fouriera może być rozszerzona ,obejmując funkcje które mają dowolny okres. Niech f:R→ R ma okres 2l > 0. To znaczy f(x+2l) = f(x), x ∈R. Definiujemy również Φ:R → przez Φ(x) = f(lx/π).Wtedy
Φ(x+2π) = f(l(x+2π)/&pi) = f(lx/π + 2l)=f(lx/π) = Φ(x)
Więc Φ ma okres 2π. Stosując wcześniejsze wynik do Φ , kończy się szeregiem Fouriera

Zmiana zmiennej y = lx/π prowadzi do

Dlatego

jest szeregiem Fouriera funkcji okresowej 2l. Z powyższych wyliczeń wynika ,że jeśli f(x) jest funkcją parzystą w [-l,l] jej szereg Fouriera nie zawiera żadnych wyrazów sinusa i jest w postaci

Podobnie ,jeśli f(x) jest funkcją nieparzystą w [-l,l] ,jej szereg Fouriera nie zawiera wyrazów cosinusów i jest w postaci

Funkcja f(x) zdefiniowana w przedziale [0,l] może być rozszerzona do [-l,l] albo jako nieparzysta albo parzysta i rozszerza okresowo z okresem 2l do linii rzeczywistej .Szeregi Fouriera takich funkcji są półzakresowym rozwinięciem na [0,l] i nie zawiera wyrazów sinusa w przypadku rozwinięcia parzystego lub wyrazów cosinusa dla rozwinięcia nieparzystego.

CZĘŚĆ X : Zastosowanie równania Laplace′a

Przykład 1. Niech Ω będzie prostokątem 0 ≤ x ≤ a , 0 &;le; y ≤ b, i rozważmy problem wartości brzegowe

Zakładając rozdzielenie zmiennych rozwiązania w postaci u(x,y) = X(x)Y(y) i zastępując w równaniu Laplace′a
X″Y + XY″ = 0
lub
- X″/X = Y″/Y = stała = λ
Dla λ > 0, X″ + λX = 0, Y″ - λY = 0 ,zatem
X(x) = A cos √&lamda;x + B sin √&lamda;x, Y(y) = C cosh √λy + D sinh √λy
Dla spełnienia warunków brzegowych u(0,y) = u(a,y) = 0, 0 ≤ y ≤ b, wymaga aby
X(0) = A = 0, X(a) = B sin(a√λ) = 0
Dlatego też a√λ = nπ , λ=(nπ/a)², n = 1,2,... , i X(x) = B sin(nπx/a)
Aby również spełnić warunek brzegowy u(x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ a , wymaga
Y(0) = C = 0 i dlatego Y(y) = D sinh(nππy/a). Rozwiązanie rozdzielenia zmiennych dla λ > 0 to
u(x,y) = X(x)Y(y) = BD sin(nπx/a) sinh(nπy/a) n = 1,2,..., dla dowolnej stałej BD. Dla λ < 0, niech λ = -μ, μ > 0. Wtedy X″ - μX = 0, Y″ + μY = 0 zatem
X(x) = A cosh √μx + B sinh √μx , Y(y) = C cos √μy + D sin √μy
Dla spełnienia warunków brzegowych u(0,y) = u(a,y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b wymagane jest
X(0) = A = 0, X(a) = B sinh (a√λ) = 0
Ale B = 0 daje trywialne rozwiązanie a sinh (a√λ) ≠ 0 dla λ < 0. Więc jest tylko trywialne rozwiązanie rozdzielenia zmiennych u = 0 dla λ < 0 . W końcu załóżmy ,że λ = 0, wtedy X′ = 0, Y″ = 0 zatem
X(x) = A + Bx, Y(y) = C + Dy
aby spełnić warunki brzegowe u(0,y) = u(a,y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b wymagane jest
X(0) = A = 0, X(a) = Ba = 0
To znaczy, A = B = 0 i jedyne rozwiązanie rozdzielenia zamiennych dla λ = 0 jest trywialnym rozwiązanie. Podsumowując, jest sekwencja nietrywialnych rozwiązań w postaci
u_n(x,y) = B_n sin(nπx/a) sinh(nπy/a) n = 1,2,...,
gdzie B_n sa stałymi BD dla każdego n = 1 , 2,...,. Przez superpozycję, rozwiązanie jest dane przez

Warunki brzegowe u(x,b) = f(x), 0 ≤ x ≤ a implikuje ,że

Ponieważ Φ(x) , 0 ≤ x ≤ a, ma szereg półzakresowy

gdzie

Załóżmy ,że wszystkie cztery strony prostokąta mają niezerowe warunki graniczne, wtedy możemy podzielić problem na cztery podproblemy każdy podobny do tego właśnie rozwiązanego. Każdy z tych podproblemów będzie miał zerowe warunki graniczne na trzech z czterech stron i będzie rozwiązany jak wyżej. Wtedy to rozwiązanie problemu wartości granicznej jest sumą czterech podproblemów przez superpozycję.
Ćwiczenie 2. Szukamy rozwiązania równania Laplace′a na okręgu, spełniającego warunki brzegowe Dirichleta. Naturalnym wyborem dla Ω jest środek okręgu, promień a i równanie Laplace′a we współrzędnych biegunowych
Δu(r,θ) = ∂²u/∂r² + 1/r ⋅∂u/∂r + 1/r² ⋅∂²u/∂θ² = 0, r < a , 0 ≤ θ < 2π
z zastrzeżeniem warunków brzegowych
u(a,θ) = f(θ), 0 ≤ θ < 2π
gdzie Φ jest funkcją ciągłą w 0 ≤ θ < 2π

Użycie rozdzielenia zmiennych, zakładamy ,że
u(r,θ) = R(r)Θ(θ) a zastępując w równaniu różniczkowym uzyskujemy
R″Θ + 1/r⋅R′Θ + 1/r²RΘ″ = 0
lub rozdzielając zamienne
r²R″ + r R′/R = - Θ″/Θ = stała = λ² (powiedzmy)
co prowadzi do dwóch podobnych zwykłych równań różniczkowych
r²R&Primel + rR′ - λ²R = 0 , Θ″ + λ²Θ = 0
Rozważmy przypadek Λ = 0; wtedy rozwiązaniami powyższych równań są
Θ = A₀ + B₀θ
R = C₀ + D₀ log r
Ponieważ rozwiązania u musi by c okresowe w θ i graniczna dla r≤ a, konkludujemy ,ż B₀ = 0, D₀ = 0. w przypadku λ ≠ 0 rozwiązaniami powyższych równań są
Θ = A_λ cos λθ + B_λ sin λθ
R = C_λr^λ + D_λr^-λ
gdzie współczynniki zależą od λ .Ponownie ,ponieważ rozwiązania są okresowe w θ z okresem 2π, konkludujemy ,że λ = n = 1,2,3,..., i ponieważ rozwiązania są brzegowe dla r ≤ a ,D_n = 0, n = 1,2,3,.... Przez superpozycję możemy połączyć te rozwiązania uzyskując

Jak również możemy inkorporować stałą C_n do A_n i B_n zatem

Przy granicy r = a

są współczynnikami Fouriera funkcji f. Utożsamiając współczynniki z cos nθ, sin nθ w tych dwóch wyrażeniach dla f(θ), uzyskujemy
A_n = a_n/aⁿ, B_n = b_n/aⁿ
a zatem

Ten szereg jest zbieżny jednostajnie dla 0 ≤ θ < 2π , r < a. Możemy otrzymać zamkniętą formę wyrażenia dla u przez zastąpienia we worze dla współczynników Fouriera

gdzie wymiana kolejności sumowania i całkowania jest dozwolona przez jednostajną zbieżność tego szeregu. Dlatego też

Używając formy wykładniczej, 2 cos x = eix + e^-ix wyraz w nawiasie kwadratowym redukuje się do dwóch nieskończonych szeregów geometrycznych których suma to

Dlatego

który jest wzorem całkowym Poissona dla okręgu

CZĘŚĆ XI : Problem Sturma - Liouville′a i funkcje ortogonalne

Funkcje sin nx, cos nx, e^inx, e^-inx, n = 0,1,2,... są przykładami funkcji ortogonalnych w [-π , π]. Ich właściwości ortogonalne wynikają z faktu ,że rozwiązują równania różniczkowe zwykłe drugiego rzędu. Na przykład, sin nx, cos nx, e^inx spełniają
-u″(x) = λu(x), u(-π) = u(π) , u′(-π) = u′(π) dla λ = n². Równanie różniczkowe zwykle razem z warunkami brzegowymi jest nazywane zagadnieniem brzegowym. Zbiór {e^inx, n = 0,±1,±2,...} formuje podstawę dla przestrzeni wektorowej L₂[-π,π] składającą się z funkcji f:[-π , &pi] → R dla których

Zbiór funkcji {Φ_n(x); n = 1,2,...} jest podstawą dla L₂[-π &pi] jeśli dla dowolnej funkcji f ∈ L₂[-ππ], jest jednoznaczny zbiór skalarów c_n, n = 1,2,.... takich ,że

Wtedy mówimy ,że f ma rozwinięcie

Co więcej, jeśli zbiór {Φ_n(x); n =1,2...} jest ortonormalna, to znaczy

wtedy współczynniki c_n są dane przez

Przedział [-π, π] może być zastąpiony przez [a,b] a teoria szeregu Fouriera uogólnia to do rozwinięcia dowolnych funkcji f ∈ L₂[a,b] w odniesieniu do podstawy ortonormalnej {Φ_n (x); n= 1,2,...} składającej się z funkcji które są rozwiązaniem zagadnienia brzegowego dla pewnych równań różniczkowych liniowych zwykłych drugiego rzędu. Niech p(x),q(x),w(x) będą funkcjami rzeczywistymi ciągłymi w przedziale [a,b] .Niech p(x) będzie ciągła i p(x) > 0, q(x) ≥ 0, w(x) ≥ 0 w [a,b]. Niech α₀, α₁, β₁,β₂ będą stałymi rzeczywistymi. Problem Sturma - Liouville′a jest zagadnieniem granicznym
- (p(x)u′)′ + q(x)u = λw(x)u, x ∈[a,b]
α₀u(a) + α₁u′(a) = 0
β₀u(b) + β₁u′(b) = 0
Wartość λ dla której to zagadnienie brzegowe ma nietrywialne rozwiązania są nazywane wartościami własnym .Można pokazać ,że wartości własne formują policzalny zbiór {λ_n; n=1,2,...} i odpowiednich funkcji własnych {Φ_n(x); n =1,2,...} są ortonormalne w odniesieniu do średniego iloczynu skalarnego

Niech przestrzeń wektorowa L₂^w[a,b] składa się z funkcji f:[a,b] → R dla których

Zbiór funkcji {Φ_n; n = 1,2,...} będzie podstawa dla L₂^w[a,b] jeśli dla dowolnej funkcji f ∈ L₂^w[a,b], jest jednoznaczny zbiór skalarów c_n, n = 1,2,... taki ,że

Niech liniowy operator różniczkowy Sturma-Liouville′a L będzie zdefiniowany następująco:
L[f] = 1/w(x)⋅[-(p(x)f′)′ + q(x)f]
Niech f(x),g(x) będą funkcjami c² w [a,b]. Wtedy

Odejmując te dwa wyrażenia

mamy tożsamość Lagrange′a
Lemat Jeśli f,g są funkcjami C² w [a,b] które spełniają

Dowód Załóżmy ,że α₀ ≠ 0, β₀ ≠ 0, wtedy tożsamość Lagrange′a

Podobnie, jeśli α₁ ≠ 0, β₁ ≠ 0 lub α₁ ≠ 0, β₀ ≠ 0 lub α₀ ≠ 0, β₁ ≠ 0, wynik wynika z niewielkich zmian argumentu.
Lemat Wartości własne operatora L Sturma-Liouville′a sa rzeczywiste
Dowód Niech λ będzie wartością własną z odpowiednią funkcją własną Φ. Wtedy Φ spełnia

ponieważ a λ jest rzeczywista
Lemat Niech Φ(x),Ψ(x) będą funkcjami własnymi zagadnienia brzegowego Sturma - Liouville′a z odpowiednimi wartościami własnymi λ μ odpowiednio. Wtedy jeśli λ & ne; μ , Φ(x), Ψ(x) są ortogonalne w [a,b] w odniesieniu do średniego iloczynu skalarnego _w
Dowód

Z poprzedniego lematu

Ponieważ λ ≠ μ , <Φ; Ψ>_w = 0.
ten wynik może być użyty do udowodnienia poniższego
Twierdzenie Funkcje własne regularnego problemu Sturma-Liouville′a są policzalnym zbiorem {Φ_n(x); n = 1,2,...} i formuje ortonormalną bazę dla L_w^w[a,b]. To znaczy, każda funkcja f ∈L₂^w[a,b] ma rozwinięcie w szereg

gdzie c_n = < f;Φ_n > _w, n = 1,2,... i jest zbieżny w tym sensie ,że

jeśli f(x) ∈ C²[a,b] i spełnia warunki brzegowe α₀f(a) + α₁f′(a) = 0, β₀f(b) + β₁f′(b) = 0, szereg

jest zbieżny jednoznacznie w [a,b]. To znaczy

CZĘŚĆ XII : Funkcje Bessela

Rozważmy równanie ciepła na dysku 0 ≤ r < a , 0 ≤ θ < 2π

0 ≤ r < a, 0 ≤ &theta < 2π, t > 0, gdzie u(r.θ,t) jest temperaturą , κ > 0 jest stałą. Niech początkowa temperatura przy t = 0 będzie
u(r,θ,0) = f(r,θ)
0 ≤ r < a, 0≤ θ < 2π,a warunek brzegowy r = a
u(a,θ,t) = 0 ; 0 ≤ θ < 2π , t > 0
Zakładając rozwiązanie w postaci u(r,θ,t) = R(r)Θ(θ)T(t), zastępując w równaniu ciepla

Równania dla T , Θ są podobne ,ale równanie dla R jest równaniem Bessela i ma niestałe współczynniki. Możemy zapisać go w postaci Sturma-Liouville′a
- (rR′)′ + v²/r ⋅R = λ²rR , gdzie p(r) = r ≥ 0, q(r) = v²/r > 0, w(r) = r ≥ 0
Zmiana zmiennej ρ = λr w równaniu Bessela kończy się

gdzie S(ρ) = Rr = R(ρ/λ). Oznaczamy rozwiązanie tego równania Bessela jako S(ρ) = J_v(ρ) a potem rozwiązanie oryginalnej formy równania Bessela to R(r) = S(λr) = J_v(λr). Drugim rozwiązaniem równania Bessela to Y_v(λr), funkcja Bessela drugiego rodzaju i dlatego ogólnym rozwiązaniem jest
R(r) = AJ_v(λr) + BY_v(λr)
Jeśli v ≠ 0,1,2,... wtedy J_-v(λr) jest również rozwiązaniem a {J_v(λr); J_-v(λr)} jest liniowo niezależnym zbiorem rozwiązań równania Bessela. Ogólnym rozwiązaniem jest wtedy
R(r) = AJ_v(λr) + BJ_-v(λr)
dla stałych A,B. Rozwiązanie J_v(λr) jest nazywane funkcją Bessela pierwszego rodzaju a szereg reprezentujący może być taki

Dla v > 0, J_v(0) = 0, J₀(0) = 1. Y_v(λr), J_-v(λr) są nieograniczone jeśli r → ∞, zatem jedynym granicznym rozwiązaniem R(r) wystąpi kiedy B = 0. Funkcje Bessela J_v(λr) są naprzemienne dla r > 0. Dla v > 0, niech zera J_v(ρ) będa {ρ_vm; m = 0,1,...}; gdzie ρ_v0 = 0 dla wszystkich v > 0. Wtedy R(r) = J_v(λr) rozwiązuje problem Sturma-Liouville′a

jeśli λa = ρ_vm , m = 1,2,..., dla każdego v > 0. Funkcje Bessela

są ortogonalne w przedziale (0,a), w odniesieniu do ważonego iloczynu skalarnego

Wracając do równania ciepła na dysku 0 ≤ r < a , 0 ≤ θ < 2π, rozwiązanie w postaci u(r,θt) = R(r)&Theta(θ)T(t) są dane przez

Dla Θ(θ) mamy okres 2π, v = n =0,1,2...
Dla R(r) będzie graniczne przy r = 0, B =0
Dla u(a, θt) = 0, R(a) = J_n(λa) = 0 lub λa = ρ_nm, n = 0,1,2,..., m =1,2, zerowych J_n(ρ). To znaczy λ_nm = λ_nm/a , n= 0,1,2,..., m= 1,2,...

Związki ortogonalności

implikuje ortogonalność

na prostokącie (r,θ) ∈ (0,a)x(-π,π) w odniesieniu do iloczynu skalarnego

To znaczy

Współczynniki C_nm, D_nm są określone przy użyciu tych właściwości ortogonalnych. Na przykład

CZĘŚĆ XIII : Transformata Fouriera

Funkcja f:R → R jest całkowana w R jeśli

. Nazwiemy klasę wszystkich takich funkcji L¹(R). Podobnie, f:R → R jest całkowalna z kwadratem w R jeśli

i nazwiemy klasę wszystkich takich funkcji L²(R)
Przykład Niech f:R → R a g:R → R będą zdefiniowane przez

Dlatego też f ∈ L¹(R) ale f ∉ L²(R). Z drugiej strony

Dlatego też g ∉ L¹(R) ale g ∈ L²(R)
Biorąc pod uwagę dwie funkcje f∈L¹(R) i g ∈ L¹(R), iloczyn fg niekoniecznie jest w L¹(R) . Kontrprzykłady są dane przez

Jest iloczyn * dla którego f*g ∈ L¹(R) kiedy f ∈ L¹(R) i g ∈ L¹(R). Definiujemy iloczyn splotowy

Lemat Jeśli f ∈ L¹(R) i g ∈ L¹(R), wtedy f*g ∈ L¹(R)
Dowód

Transformata Fouriera funkcji f ∈ L¹(R) jest zdefiniowana

gdzie ξ ∈ R .Łatwo zauważyć ,że transformat Fouriera funkcji f ∈ L¹ (R) jest ograniczoną funkcją ciągłą w R. Ograniczalność wynika łatwo z

Ciągłość wynika z poniższego
Twierdzenie (Reimann-Lebesgue)Jeśli f ∈ L¹(R) wtedy f^ ∈ C(R) a f^(ξ) → 0 jeśli |ξ| → ∞
Dowód Niech ξ ∈ R , ξ ≠ 0. Wtedy

Dla udowodnienia ciągłości f^, niech ε > 0 będzie dane a a > 0 wybrane takie ,że

i δ > 0 wybrane takie ,że

Wtedy dla |η| < δ

Dlatego f^(ξ) jest jednostajnie ciągła w R. Określamy liniową transformację F:f→ f^ zdefiniowaną przez

F jest nazywane transformacją całkową Fouriera a f^ transformatą Fouriera z f ∈ L¹(R)
Właściwości transformaty Fouriera
1.Translacja (a). Niech f:R → R i h ∈ R. Translacja f przez h jest funkcją τ_hf zdefiniowaną przez
(τ_hf)(x) = f(x-h),x ∈ R
Transformata Fouriera z τ_hf to

2.Dylatacja. Niech λ ∈ R , λ > 0, dylatacja f przez λ jest zdefiniowana jako δ_λ f gdzie
(δ_λ f)(x) = λ^-1/2f(λ^-1x), x ∈ R
Transformata Fouriera z δ_λ f to

3.Różniczkowanie.Niech f i f′ ∈ L¹(R) i oznaczmy przez D operator różniczkowania D = ∂/∂x. Transformata Fouriera z Df to

Przez indukcję (D^kf)^ = (iξ)^kf^, k =1,2,...
4.Monożenie. Oznaczmy prze ∂ operator różniczkowy ∂ = ∂/∂ξ . Jeśli f i xf ∈ L¹(R) wtedy

Dlatego też (-ixf)^ = ∂f^. Z indukcji wynika ,że ∂^kf^ = ((-ix)^kf)^ , k =1,2,...
5.Splot. Niech f,g ∈ L¹(R). Wtedy f*g ∈ L¹(R) i ma transformatę Fouriera

Przykład 1. Niech f(x) = e^-x2/2. Wtedy f ∈ L¹(R) i ma transformatę Fouriera

Dlatego f^ spełnia równanie różniczkowe zwykłe pierwszego rzędu f^(ξ) = ce^-ξ2/2
Ponieważ

Przykład 2 Niech

i ma transformatę Fouriera

CZĘŚĆ XIV : Odwrotna transformata Fouriera

Transformata Fouriera z f ∈ L¹(R) jest ciągła, ograniczona i |f^(ξ)| → 0 jeśli |ξ| → ∞. Jednakże f^ nie jest konieczna w L¹(R). Zakładając f ∈ L¹(R),f kawałkami gładka a f^ ∈ L¹(R) definiujemy

gdzie D^a(x) = sin ax/πx
Teraz

W drugiej całce

Ponieważ

obie są całkami zbieżnymi,

Dla całki przy [0,K]

Ponieważ f jest kawałkami gładką, f′(x⁺) istnieje dla wszystkich x ∈ R i

Dlatego g jest ograniczona w [0,K] a zatem g ∈ L¹(R). Z lematu Riemanna-Lebesgue, istniejące g^, jest ciągła, g^(±a)→ 0 jeśli a → ∞ i dlatego

dla K ≥ 1. Praktycznie identyczny argument działa dla pierwszej całki .Dlatego

Twierdzenie Niech f ∈ L¹(R) i niech f będzie kawałkami gładką w R. wtedy dla każdego x ∈ R

Jeśli x jest punktem ciągłości f, wtedy

Dla Φ ∈ L¹(R), nazwiemy

odwrotną transformatą Fouriera z Φ a F^-1 zdefiniowaną przez

odwrotną transformacją Fouriera. Jeśli Φ jest transformatą Fouriera funkcji kawałkami gładkiej f ∈ L¹(R), to znaczy Φ = f^, wtedy definiujemy f(x) = 1/2[f(x^-) + f(x⁺)] przy punkcie nieciągłości f. Wtedy

To znaczy F^-1Ff = f
Przykład Odwrotna transformata Fouriera jest przydatna w obliczaniu transformaty Fouriera. Ponieważ F (e^-a|x|) = 2a/a² + ξ², wynika ,z F^-1F(e^-a|x|) = F^-1(2a/a2 + ξ²) lub e^-a|x| = F^-1(2a/a² + ξ²). Zmieniamy rolami x i ξ , mnożymy przez 2π, prowadzi nas to do
F(2a/a² + x²) = 2πe^-a|ξ| lub F(1/a² + x²) = π/a⋅e^-a|ξ|. W podobny sposób, każda para transformat Fouriera definiuje parę dualną za pomocą odwrotnej transformaty Fouriera

CZĘŚĆ XV : Zastosowanie równań różniczkowych

1.Równanie fali Równanie
∂²u/∂t² - c²⋅∂²u/∂x² = 0, -∞ < x < ∞ , t > 0
opisuje pionowe drgania nieskończonego elastycznej struny, gdzie u(x,t) jest pionowym przemieszczeniem struny z pozycji spoczynkowej przy pozycji x , w czasie t. Niech początkowe przemieszczenie i i prędkość będą dane przez
u(x,0) = f(x), ∂u/∂t⋅(x,t)=g(x),-∞< x <∞
Weźmy transformatę Fouriera równania fali i warunki początkowe w odniesieniu do zmiennej x i oznaczamy przez u^(ξ,t) transformatę Fouriera F(u(x,t)). Używając właściwości pochodnej Transformaty Fouriera

Kiedy t = 0, u^(ξ,t) = A(ξ) = f^(ξ), ∂u^/∂t⋅(ξ,t) = g^(ξ) =cξB(ξ).Dlatego też

Używając właściwości translacji i splotu

Jest to rozwiązanie d′Alemberta dla jednowymiarowego równania fali
2.Równanie Laplace′a Rozważmy równanie Laplace′a w dwóch zmiennych w górnej półpłaszczyźnie. Wtedy
∂²/∂x²²u/∂y² = 0 , -∞ < x < ∞ , y > 0
Niech warunek brzegowy
u(x,0) = f(x), -∞ < x < ∞
będzie dany dal funkcji f ∈ L¹(R). Wtedy biorąc transformatę Fouriera w zmiennej x

Potrzebujemy dwóch warunków dla określenia funkcji A(ξ),B(ξ). Oprócz u(x,0) = f(x), -∞ < x < ∞ , niech ∂u/∂y⋅(x,0) = g(x), -∞ < x < &infin dla pewnej funkcji g ∈ L¹(R). Znajdziemy g takie ,że rozwiązanie u(x,y) jest ograniczona dla y > 0, faktycznie takie ,że u(x,y) → 0 jeśli y → ∞. Biorąc transformaty

Rozwiązania dla A(ξ), B(ξ)

Dla ξ > 0, u^(ξ,y) → 0 jeśli y → 0 jeśli i tylko jeśli f^(ξ) + g^(ξ)/ξ = 0 a dla ξ < 0, u^(ξy) → 0 jeśli y → 0 jeśli i tylko jeśli f^(ξ) - g^(ξ)/ξ = 0. Dlateg0

Zatem

Ponieważ e^-ξ|y| = (y/π(x² + y²))^{^} , z twierdzenia splotu

3.Równanie ciepła Równanie ciepła
∂u/∂t - κ⋅∂²u/∂κ² = 0 , -∞ < x < ∞ , t > 0
dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych z warunkiem początkowym
u(x,t) = f(x) , -∞ < x < ∞
dla f ∈ L¹(R), ciągłej i ograniczonej, może być rozwiązane przy użyciu transformaty Fouriera. Biorąc transformaty w zmiennej x

Rozwiązując równanie różniczkowe zwykłe pierwszego rzędu
u^(ξ,t) = u^(ξ,0)e^-κξ2t = f^(ξ)e^-κξ2t
Teraz (e^-x2/2)^{^} = √2π e^-ξ2/2 i używając właściwości dylatacji transformaty Fouriera

Niech λ²/2 = κt lub λ = √2κt, wtedy

Dlatego też ,z twierdzenia splotu

Funkcja

jest nazywana jądrem ciepła. Możemy zapisać wtedy

,br>

CZĘŚĆ XVI : Tożsamości Plancherela i Parsevala

Z twierdzenia splotu, dla f,g ∈ L¹(R)∩ L²(R)

Zastępując

transformata Fouriera g^(ξ) jest zastępowana przez stąd

Jest to tożsamość Plancherela . Kiedy f = g uzyskujemy tożsamość Parsevala

Przykłady
1. Niech

Wtedy f^(ξ) = 2 sin aξ / ξ , a tożsamość Parsevala

2. Niech f(x) e^-a|x|, f^(ξ) = 2a/a² + ξ² a z tożsamości Parsevala

CZĘŚĆ XVII : Funkcje ograniczone pasmowo i twierdzenie o próbkowaniu Shannona

Zmienna transformaty Fouriera odgrywa rolę częstotliwości a do f^(ξ) odnosimy się jako reprezentację częstotliwości f(x).Jeśli f^(ξ) = 0 dla |ξ| > ξ_C > 0 , wtedy f(x) jest funkcją ograniczonego pasma a ξ_C częstotliwością graniczną .Wiele funkcji w nauce i technologii ma ograniczone pasmo. Na przykład, ludzki słuch jest ograniczony do częstotliwości poniżej 20 kHz. Dlatego sygnały akustyczne nagrywane na płytach kompaktowych są ograniczone do pasma 22 kHz. Pierwszym krokiem w przetwarzaniu sygnałów jest próbkowanie. Sygnał reprezentowany przez funkcję ciągłą f(x), jest zastępowana przez jej próbki w regularnych przedziałach, {f(nL),n = 0, ±1,±2,...}. Twierdzenie Shannona pokazuje ,że jest możliwe dokładne odtworzenie funkcji ciągłej ograniczonego pasma f(x) ze znanych jej próbek, pod warunkiem ,że przedział próbki L jest wystarczająco krótki
Rozważmy funkcję Φ^{^}_n(ξ) daną przez

Odwrócone transformaty Fouriera z Φ_n^{^}(ξ) są dane przez

Rozważmy iloczyny skalarne

Więc funkcje {Φ^{^}_n(ξ); n = 0,±1,±2,...}, formują ortogonalny zbiór w L²(-ξ_C,ξ_C). Ponieważ f^(ξ) jest ograniczonym pasmem do |ξ| ≤ ξ_C ma szereg Fouriera

gdzie współczynniki Fouriera c_n są dane przez

Z twierdzenia Plancherela

Bierzemy odwróconą transformatę Fouriera

Próbki przy przedziałach długości L = π/ξ_C to

Podsumowując , mamy twierdzenia Shannona
Twierdzenie Niech f ∈ L¹(R)∩ L²(R) będą ciągłymi i pasmowo ograniczonymi do |ξ| ≤ ξ_C. Wtedy

Związek ωL = 2π, gdzie ω jest częstotliwością próbkowania w cyklach na jednostkę długości, pokazuje że z twierdzenia Shannnona, do rekonstrukcji funkcji ograniczonej pasmowo, wystarczy próbka o częstotliwości ω = 2π/L = 2ξ_C dwukrotność częstotliwości odcięcia

CZĘŚĆ XVIII : Nierówność Heisenberga

Niech f ∈ L²(R),xf ∈ L²(R). Wtedy wielkość

jest nazywany dyspersją o punkcie x = a z f. Rozumowanie definicji jest takie ,że jeśli f(x) koncentruje się blisko x = a, wtedy Δ_af jest mniejsza niż kiedy f nie jest bliskie zeru daleko od x = a.
Przykład Rozważmy funkcję charakterystyczną

która ma transformatę Fouriera (Χ_b)^(ξ) = 2 sin b ξ/ξ
Zauważmy że X_b jest skoncentrowana blisko x = 0 dla małych b. Dyspersja wokół początku to

a dyspersja zwiększa się ze zwiększaniem b. Zwróć uwagę ,że transformata Fouriera X_b^{^} nie ma skończonej dyspersji wokół początku ponieważ

Wskazuje to ,że X_b^{^} rozciąga się od x = 0. Poniższy wynik pokazuje ,że jest typ odwrotnych związków między dyspersją funkcji a jej transformatą Fouriera.
Twierdzenie Niech f ∈ L¹(R)∩ L²(R). Wtedy dla wszystkich a , α ∈ R

a równość mam miejsce jeśli i tylko jeśli f(x) = ce^-kx2 dla stałych c ∈ R i k > 0.
Dowód Najpierw udowodnimy wynik dla a = α = 0

są obie z założenia skończone ponieważ w przeciwnym razie wynik jest trywialny
Niech f*(x) ≡ ((iξf^(ξ)) lub (f*)^(ξ) = iξf^(ξ). Wtedy f* ∈ L²(R) i

Ponieważ

Wykażemy ,że

z wyniku wynika ,że wtedy

Aby zakończyć dowód, zakładamy, że f jest ciągłą i kawałkami gładka. To założenie może być usunięte ponieważ funkcje w L¹(R)sa jednostajnymi granicami takich funkcji. Wtedy formujemy właściwość transformat Fouriera
f*(x) = f′(x), kiedy istnieje pochodna. Wtedy dla dowolnego przedziału [a,b]

Założenie f ∈ L²(R) implikuje ,że b |f(b)|² → 0 jeśli b → ∞ i a |f(a)|² & rarr; 0 jeśli a → -∞ ponieważ w przeciwnym razie |f(x)| > c |x|^-1/2 jeśli |x| → ∞, które nie jest całkowalne. Biorąc granicę b → ∞ i a → -∞

co jest wymagane. Jak w przypadku równości w nierówności Heisenberga, wystąpi to jeśli i tylko jeśli

jest rzeczywista f*(x) = Kxf(x) dla pewnej stałej zespolonej K .To znaczy

Dlatego K jest rzeczywiste. Równanie różniczkowe f′(x) = f(x) = Kxf(x)
ma rozwiązanie w postaci
f(x) = ce^-Kx2/2, c dowolna stała rzeczywista a f(x) = ce^-Kx2/2 ∈ L²(R) jeśli i tylko jeśli K > 0. Dlatego też równość w nierówności Heisenberga ma miejsce tylko jeśli f(x) = ce^-kx2 dla stałych c ∈ R i k > 0. Odwrotnie, niech f(x) = e^-Kx2/2 dla stałej K > 0. Wtedy

Podczas gdy

Przypadek a ≠ 0, α ≠ 0, przez obserwację ,że F(x) = e^-iαxf(x+a) spełnia tą samą hipotezę jak f(x) a Δ_af = Δ₀F i Δ_af^ = Δ₀F^ dla dowolnego a ≠ 0, α ≠ 0. Jako konsekwencję nierówności (Δ_af)(Δ_af^) ≥ 1/4, widzimy ,że jest możliwe dla obu Δ_af i Δ_af^ będą jednocześnie małe .To znaczy ,jeśli Δ_af lub Δ_af& jest bardzo małe wtedy drugie musi być duże.