Teoria Liczb

Ta część jest poświęcona teorii kongruencji i jej zastosowania do równań z kilkoma zmiennymi. Połączenie między kongruencjami a równaniami jest oparet na prostym spostrzeżeniu ,że jeśli równanie
(0.1) F(x₁...x_n) = 0
gdzie F jest wielomianem z całkowitymi współczynnikami, mającym rozwiązanie w liczbach całkowitych, wtedy kongruencja
(0.2) F(x₁...x_n) ≡ 0 (mod m)
ma rozwiązanie dla dowolnej wartości modułu m/ Ponieważ kwestię rozwiązywalności zawsze można podjąć (choćby metodą prób i błędów, ponieważ istnieje tylko skończenie wiele kals restkowych), mamy ciąg warunkrów , koniecznych do rozwiązywalności (0.1) w liczbach całkowitych. Pytanie o wystarczalność tych warunków jest dużo trudniejsza. Założenie ,że "równanie jest rozwiązywalne jeśli i tylko jeśli jest rozwiązywalne jako kongruencja modułu dowolnej liczby całkowitej" jest generalnie fałszywe, ale jest prawdziwe dla pewnej specjalnej klasy równań. W tej części pokażemy je w przypadku gdy F jest formą kwadratową , która spełnia warunki dodatkowe ,bezwzględnie konieczne, aby (0.1) było rozwiązywalne w liczbach rzeczywistych. Liczby p-adyczne,które będziemy studiować i stosować w teorii kongruencji i równań, będą naszym podstawowym narzędziem. Teraz wskażemy ich rolę. Wiadomo z elementarnej teorii liczb ,że jeśli kongruencje
F(x₁...x_n) ≡ 0 (mod p_i^k_i)
są rowiązywalne dka i = 1,...,r , gdzie p₁, .... ,p_r są różnymi liczbami pierwszymi, wtedy kongruencja (0.2) jest rozwiązalna modulo m, gdzie m = p₁^k₁ ... p_r^k_i . Zatem rozwiązalność kongruencji (0.2) dla wszystkich m jest równoważna jej rozwiązalności modulo wszystkich potęg liczb pierwszych. Wyznaczymy liczbę pierwszą p i spytamy czy kongruencja
(0.3) F(x₁...x_n) ≡ 0 (mod p^k)
jest rozwiązalna dla wszystkich naturalnych liczb k. Było to połączone z problemem jaki zbudował Hensel, dla każdej liczby pierwszej p, nowy rodzaj liczby, nazywając ją p-adyczną. Wykazał, że rozwiązywalność (0.3) dla wszystkich k jest równoważna rozwiązywalności (0.1) w liczbach p-adycznych. Zatem możemy powiedzieć ,że rozwiązywalność kongruencji (0.2)dla wszystkich m jest równoważna rozwiązywalności (0.1) w liczbach p-adycznych dla wszystkich liczb pierwszych p. Używając liczb p-adycznych ,nasze twierdzenie o formach kwadratowych nabierze wtedy następującej formuły: Jeśli F(x₁...x_n) jest formą kwadratową z całkowitymi współczynnikami, wtedy (0.1) jest rozwiązywalne w liczbach całkowitych jeśli i tylko jeśli jest rozwiązywalne w liczbach p-adycznych dla wszystkich p , jak również w liczbach rzeczywistych. W sformułowaniu tego twierdzenia , zwanego twierdzeniem Hasse - Minkowskiego, i wielu innych wystąpieniach, liczby p-adyczne występują jako równorzędny termin z liczbami rzeczywistymi. Jeśli liczby rzeczywiste są konieczne dla studiowania liczb wymiernych z punktu widzenia ich rozmiaru, liczby p-adyczne odgrywają całkowicie analogiczną rolę w zagadnieniu związanym z podzielnością przez potęgi liczby pierwszej p. analogia między liczbami rzeczywistymi a p-adycznymi może być rozwinięta w inny sposób. Liczby p-adyczne mogą być zbudowane poczynając od liczb wymiernych, w dokładnie ten sam sposób w jaki liczby rzeczywiste są konstruowane - przez przyleganie do granic ciagów Cauchy`ego. Będzimy dochodzić do różnego typu liczb przez podanie różnych znaczeń dla notacji konwergencji. Dokonamy dalszego spostrzeżenia. Jeśli F jest formą wtedy rozwiązalność (0.1) w liczbach całkowitych jest równoważna do jej rozwiązlności w liczbach wymiernych. Zatem można mówić o wymiernejh rozwiązalności zamiast o rozwiązalności całkowitej w twierdzeniu Hasse-Minkowskiego. To oczywiste spostrzeżenie staje się ważne kiedy rozpatrujemy arbitralny wielomian kwadratowy F, ponieważ analigiczne twierdzenie wtedy tylko występuje, kiedy mówimy o rozwiązaniu wymiernym. Zatem kiedy badamy równania stopnia drugiego, rozaptrujemy nie tylko liczby całkowite ,ale również rozwiązania wymierne.

1.Wykaż ,że równanie 15x² - 7y² nie ma rozwiązania całkowitego
2.Wykaż ,że równanie 5x³ + 11y³ + 13z³ = 0 nie ma rozwiązań całkowitych , innych niż x = y = z = 0
3.Wykaż ,że liczba całkowita w postaci 8n+7 nie może być przedstawiona jako suma trzech kwadratów.
4.Używając właściwosci symbolu Legendre`a, wykaż ,że kongruencja
(x² - 13)(x²-17)(x²-221) ≡ 0 (mod m)
jest rozwiązywalna dla wszystkich m. Jasnym jest ,że równanie (x² - 13)(x²-17)(x²-221) = 0 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.
5.Wykaż ,że równanie a₁x₁ + ... + a_nx_n = b, gdzie a₁,....,a_n, b są liczbami całkoiwtymi, jest rozwiązalne w liczbach całkowitych jeśli i tylko jeśli odpowiednia kongruencja jest rozwiązalna dla wszystkich wartości z modułu m
6.Udowodnij analogiczne założenie dla systemów równań liniowych