Systemy dynamiczne i fraktale

Oczywiście , w takich systemach jak pogoda , przejście od porządku do chaosu jest trudne do przewidzenia. Przyczyna "chaotycznego" zachowania jest oparta na fakcie ,że niewielkie zmiany w jednostkach, które są połączone przez sprzężenie zwrotne , mogą powodować nieoczekiwane efekty chaotyczne. Jest to pozornie zaskakujące zjawisko, które naukowcy wileu dyscyplin badali z wielkimi emocjami. Dotyczy to w szczególności szeregu problemów, które mogą podważyć uznane teorie lub stymulować nowe sformułowania w biologii, fizyce , chemii i matematyce jak również w obszarze ekonomii. Obszar badań teorii systemów dynamicznych jest oczywiście interdyscyplinarny. To teoria ,która powoduje to podniecenie ,jest jeszcze całkiem młoda - poczatkowo - tak prosta ,że każdy kto ma system komputerowy i może wykonywać podsatwowe zadania programistyczne moze docenić jej zdumiewające wyniki. Celem badań jest zrozumienie ogólne jak ma miejsce przejście od porządku do chaosu.Ważną możliwością badania wrażliwości układów chaotycznych jest przedstawienie ich zachowania w grafice komputerowej. Przede wszystkim ,graficzna reprezentacja wyników i niezależnych badań ma duże walory estetyczne i jest interesująca.
1.2. Grafika komputerowa.Eksperymenty i sztuka
W swojej pracy naukowcy wyróżniają dwa ważne etapy .W idealnym przypadku przechodzą z fazy eksperymentalnej do fazy teoretycznej. Kiedy naukowcy prowadzą eksperyment, kierują określone pytanie do Natury.Z reguły oferująokreślony punkt wyjścia : moze to być substancja chemiczna lub kawałek urządzenia technicznego z którymi nalezy przeprowadzić eksperyment.wygląda to na teoretyczną interpretację odpowiedzi, które zwykle uzyskują przez pomiar swoimi urządzeniami. Dla matematyków ,procedura ta jest stosunkowo nowa .W ich przypadku urządzeniem lub przyrządem pomiarowym jest komputer. Pytania są przedstawiane jako wzory , reprezentujące szerego kroków w dochodzeniu. Wyniki pomiarów są liczbami,które należy zinterpretować. Aby można było uchwycić te mnóstwo liczb ,muszą być wyraźnie przedstawione.Do osiągnięcia tego celu często wykorzystuje się metody graficzne. Wykresy kolumnowe , wykresy kołowe, jak również ukłądy współrzędnych z krzywymi są szeroko rozpowszechnione.W wielu przypadkachnie tylko obraz jest 'wart tysiąca słów': obraz jest prawdopodobniejedynym sposobemaby dokładnie pokazać stan rzeczy. W ciagu ostatnich latach , mateamtykla eksperymenytalna stałą się niezwykłym obszarem ,nie tylko dla profesjonalnych badaczy jak i zainteresowanych laików. Dzięki dostępności wydajnych komputerów osobistych ,każdy może zbadać nowe terytoria. Wyniki takich eksperymentów graficznych sąnie tylko bardzo atrakycjne wizualnie- nigdy wcześniej nie zostały stworzone przez kogos innego. Zanim wyjaśnimy powiązania między eksperymentalną matematyką a grafiką komputerową , pokażemy niektóre z tych grafik.

2.1. Pierwsze eksperymenty
Jednym z najbardziej ekscytujących doświadczeń w jakim wszyscy bierzemy udział, to ten , który Natura dokonuje na nas. Eksperymet ten nazywa się życie. Zasadą jest domniemane prawo natury,materaiłami są związki chemicznea wyniki są bardzo zróżnicowane i zaskakujące .Coś jeszcze jest warte odnotowania:jeśli spojrzymy na składniki i wyniki jako równe,wtedy każdy rok(każdy dzień, każda generacja) zaczyna się dokładnie od tego co poprzedni rok (dzień, generacja) pozsostawiła jako punkt startowy do kolejnego etapu. To ,że rozwój w takich warunkach, obserwujemy na codzień. Jeśli przetłumaczymy powyższy eksperymentna język matematyki, wtedy mamy to co uzyskalismy : stałe zasady, które przekształcają wejścia do wyjścia ;to znaczy zasada obliczania wyjścia poprzez zastosowanie go do wejścia . Wynikiem jest wartość wejściowa dla drugiego etapu , któego wynik staje się wejściem dla trzeciego etapu itd. Ta matematyczna zasada ponowengo wstawiania wyników do własnej metody obliczania jest nazywana sprzężeniem zwrotnym. Pokażey na prostym przykładzie , że takie sprzężenie zwrotne jest nie tylko łatwe dla programu ale prowadzi do zaskakujących wyników . Jak każdy dobry eksperyment przynosi 10 razy więcej nowych pytań niż odpowiedzi. Zasady na których się skoncentrujemy są to wzory mateamtyczne.Wartości jakie uzyskamy bedą liczbami rzeczywistymi między 0 a 1. Jedna z możliwych znaczeń dla liczb między 0 a 1 jest w procentach: 0% ≤ p ≤ 100%. Wiele z tych zasad które opisujemy pojawiają się tylko w wyobraźni matematyków. Zasady tu opisane powstały gdy naukowcy próbowali zastosować metody matematyczne do wzrostu zatrudnienia ,ciekawe i powszechne modele. Będziemy korzystać z następujących jako przykład,uważając aby pamiętać ,że nie wszystko w modelu jest całkowice realistyczne. Nastąpił wybuch epidemii w domu dziecka .Każdego dnia rejestrowana jest liczba chocych dzieci, ponieważ nie da się uniknąć aby dzieci chore i zdrowe wchodziły z sobą w kontakt. Jak zmienia się ta liczba?Problem ten odpowiada typowemu systemowi dynamicznemu - oczywiście bardzo prostemu. Opracujemy model mateamtyczny ,który możemy wykorzystać do symulacji. Proces epidemii, dla zrozumienia zachowania i prawidłowości takiego systemu. Jeśli na przykład 30% dzieci jest już chorych, przedstawiamy ten fakt formułą p = 0,3. Pzoostaje pytanie, ile dzieci zachoruje następnego dnia. Zasada ,która opisuje rozprzestrzenianie się choroby jest oznaczony matematycznie f(p) .Epidemia może być potem opisana następującym równaniem : f(p) = p+z. To znaczy, do początkowego p dodajemy rozsnące z. Wartość z , zwiększająca się liczba chorych dzieci, zależy od p liczby dzieci , które są już chore. Matematycznie możemy zapisać tą zależność jako z ≈ p, mówiąc ,że "z ejst proporcjonalne do p". Przez to wyrażenie proporcjonalności , mamy na myśli ,że z może zależeć od innych ilości niż p. Możemy przewidzieć ,że z zależy również od liczby zdrowych dzieci, ponieważ nie może się zwiększać jeśli wszystkie dzieci leżą chore w łóżkach. Jeśli 30% jest chorych, wtedy musi być 100% - 30% = 70% dzieci zdrowych. Ogólnie będzie 100%-p = 1- p zdrowych dzieci, więc mamy również z = (1-p). Mamy zatem z ≈ p i z ≈ (1-p). Łącząc je, uzsyskujemy okres wzrostu z ≈ p*(1-p).Ale ponieważ nie wszystkie dzieci spotykają się ze sobą , i nie każdy kontakt prowadzi do infekcji, powinniśmy dołączyć do wzoru wskaźnik infekcji k. Wstawiając wszystko razem do jednego wzoru uzyskujemy: z = k*p*(1-p) więc f(p)=p+k*p*(1-p). W naszych badaniach będziemy stosować tę formułę przez wiele kolejnych dni. Aby odróżnić liczbę na kolejny dzień, dołączamy indeks. Wartością początkową jest p₀, po jednym dniu mamy p₁ itd. Wynik f(p)staje się wartością początkową dla kolejnego etapu ,więc otrzymujemy poniższy schemat:

itd.Ogólnie mamy
f(p_n)=p_n+k*p_n*(1-p_n) = p_n+1

Rysunek pokazuje sprzężenie zwrotne dla "Epidemi"
Innymi słowy oznacza to nic więcej niż to ,że nowe wartości są wyliczane ze starych przez zastosowanie starych. Proces ten jest nazywany matematycznym sprzężeniem zwrotnym lub iteracją. Dla określonej wartości k możemy wyliczyć rozwój choroby z danej wartości początkowej p. Korzystając z kalkulatora , odkryjemy ,że te wartości funkcji mniej więcej szybko dochodzą do granicy I; to znaczy wszystkie dzieci zachorowały. Możemy oczekiwać ,że wystapi to szybciej, przy większym czynniku k. Posłużymy się kalkulatoremdla uzyskania wyników dla następujących wartości k:
k₁ = 0,5, k₂ = 1, k₃ = 1,5, k₄ = 2, k₅ = 2,5, k₆ = 3
używając formuły
f(p_n)=p_n+k*p_n*(1-p_n) = p_n+1
dla wypracowania p₁ do p₅. Weźmiemy p₀ = 0,3 dla każdego przypadku . Obliczenia mamy pdane w sześciu tabelach . W kazdej tabeli pokazane jest dziesięć wartości na kolumnę .W kolumnie A są podane wartości p_i,w kolumnie E wartości p_i+1

p₀= 0,3 k = 0,5

p₀= 0,3 k = 1,0

p₀= 0,3 k = 1,5

p₀= 0,3 k = 2,0

p₀= 0,3 k = 2,5

p₀= 0,3 k = 3,0

Tabele te zostały wyliczone w Excelu na Macintosha. Można używać również innych arkuszy kalkulacyjnych. Teraz przedstawy nasze wyliczenia graficznie. Mamy sześć oddzielnych wyliczeń.Każdy diagram , w odpowiednim układzie współrzędnych,zawiera szereg punktów wygenerowanych przez sprzężenie zwrotne.
Możemy połączyć wszystkie sześć diagramów w jeden , gdzie dla każdej k_i wartości (k_i = 0,5 ; 1,0; 1,5; 2,0 ; 2,5; 3,0) pokażemy odpowiednią p_i wartość