Systemy dynamiczne

1.Uwagi wstępne. W dymnamice działamy z systemami fizycznymi , których stan w danym czasie t jest całkowicie określony przez wartości n rzeczywistych zmiennych. : x₁,x₂,...x_n. Odpowiednio system jest taki ,że tempo zmian tych zmiennych, mianowicie :
dx₁ / dt ,dx₂ / dt....dx_n / dt,
zależy tylko od wartości samych zmiennych,tak więc prawo ruchu może być wyrażone za pomocą n równań różniczkowych pierwszego rzędu.
(1) dx_i/dt = X_i(x₁),...,x_n) (i = 1,...,n)
Tak więc dla cząsteczek znajdujące się w próżni nad powierzchnią Ziemi, x₁) i x₂) , może oznaczać odpoweidnio odległość i prędkość spadania. W tym przypadku równanie ruchu przybiera typową postać:
dx₁/dt = x₂, dx₂/dt = g , ,
gdzie g oznacza przyspieszenie grawitacyjne.
2.Twierdzenie o istnieniu .Najpierw przystapimy do sformułowania twierdzenia o istnieniu dla zbioru równań różniczkowych typu ogólnego. Zbiór n funkcji X_i będziemy uznawać za rzeczywisty i jednostajnie ciagły w pewnym otwartym skończonym n wymiarowym continuum R w 'przestrzeni'ze współrzędnymi prostokątnymi x₁....x_n.'ROzwiązanie' x(t) z równania (1) w otwartym przedziale t′ < t < t″ jest zdefiniowany jako zbiór n funkcji x_i(t),cała ciągłość razem z ich pierwszymi pochodnymi i reprezentowane dla takiego t przez punkt x w R , takiego ,że równania różniczkowe są spełnione przez ten zbiór funkcji.
TWIERDZENIE O ISTNIENIU.
Jeśli punkt x^o jest w R w odległości co najmniej D od granicy R, i jeśli M jest górną granicą dla funkcji |X_i| w R ,istnieje rozwiązanie x(t) równania (1), określonego w przedziale
|t - t₀| < D /(√n M)
i dla którego x(t₀) = x⁰
Dla udowodnienia tego twierdzenia,zaobserwujmy najpierw ,że dla rozwiązania tego typu posiaadamy n równań
(2)

Odwrotnie, dowolny zbiór funkcji ciągłych x(t) w R , co czyni ,że wyrażenie S_i znika w przedziale zawierającym t = t₀ jako punkt wewnętrzny,będzie oczywiście zredukowany do x⁰ dla t = t₀ i będzie spełniał równania różniczkowe , o których mowa, przez bezpośrednie różniczkowanie.Teraz definiujemy zbiór nieskończenie wielowartościowych funkcji X^m_i (x₁,...,x_n) jako danej przez zbiór Xⁱ_i (y₁,...,y_n) wzięty w punkcie y którego różne współrzędne różnią się od tych z punktu x o nie więcej niż 1/m w wartości liczbowej. Jest oczywiste ,że przy tej definicji n elementów z X może zostać wybranychw dowolnym jednostajnym obszarze.
|x_i - a_i| ≤ 1/m      (i = 1,...,n)
mianowicie jako część składowej X(a₁,...,a_n). Jeśli funkcje X₁ zastąpiono przez X_i^m a funkcje x_i przez x_i^m, wyrażenie S_istaje się

Proponujemy aby wykazać ,że te wyrażenia mogą zniknąć. Wybiermay X^m jako (x⁰₁,...,x⁰_n) w dziedzinie jednostajnej
|x_i - x⁰_i| < 1/m      (i = 1,...,n)). Całki w powyższym wyrażeniu dla S^m_i będa wtedyu funkcjami liniowymi t, a stąd x^m_i może być zdefiniowane jako
x⁰_i + X_i(x⁰₁,...,x⁰_n)t-t₀) tak długo jak punkt x^m nadal będzie w tej samej dziedzinie. W terminach geometrycznych wyrażenie x^m_i(t)dostarcza współrzędnych linii prostej z t jako parametrem ,który przechodzi przez środek domsny dla t = t₀. Jeśli n funkcji X^m_i zdarzyło się zniknąć, linia redukuje się do punktu x⁰ .W przypadku kiedy linia wyłania się z dziedziny dla t = t₁ > t₀w punkcie y⁰, możemy uznać ten punkt jako środek drugiej w dziedzina jednostajnej tego samego wymiaru i wziąść x^m_i jako :
y⁰_i + X^m_i(y⁰₁,...,y⁰_n)t-t₁)
w drugiej dziedzinie. Wyrażenie S_i^m nadal będzie znikało dla t ≥ t₁ dopóki punkt x^m nie opuści tej drugiej dziedziny w punkcie z⁰ .Zatem więc, poprzez kolejne kroki wyrażenie S_i^m może zanikać dla t > t₀,a takze dla t < t₀. Proces ten można rozwiązać tylko w przypadku ,gdy linia przerywana , reprezentująca x^m(t) przechodzi punktem brzegowym R. Teraz jeśli t będzie traktowane jako czas a x_i^m jako n współrzędne cząstki .Jej prędkość

nie jest wyraźnie większa niż √n M. Dlatego cząstka musi pozostać wewnątrz R co najmniej w przedziale

Wszystkie funkcje x_i^m są zdefiniowane w tych stałych odstępach czasu t co stanowi wartość m . Jeśli m przyjmuej wartości 1,2,3...,powstaje nieskończona sekwencja zbiorów funkcji x_i^m(t) określonych w tym przedziale.Wszystkie te zbiory leżą w R i są jednostajnie ograniczone. Co więcej, ponieważ S_i^m zanika dla wszystkich i i m uzyskujemy nierówność

. Stąd,poprzez specjalny przypadek znanego twierdzenia Ascolego,istnieje nieskończona sekwencja wartości m ,dla których każdy element zbioru x_i^m zbliża się do funkcji zbioru , jednostajnie , a te funkcje stają się ciągłe. Łatwo udowodnić ,że funkcja tak uzyskana spełnia całkowitą formę (2) równań różniczkowych. Faktycznie, ponieważ S^m_i zanika dla każdego i i m , mamy

. Dla wystarczająco dużego m ,pierwszy wyraz po prawej stronie staje się jednolicie mały poneważ każde zbliża się jednostajnie przez odpowiednie x^m_i w całej rozważanej sekwencji.Również będzie się różnić od X_i(x^m₁,...,x^m_n) dla dowolnego i o jednolicie małą jednostkę , ponieważ X_i jest jednolicie ciągłe w R ,zgodnie z hipotezą; a X_i(x^m₁,...,x^m_n) okazuje się być różne od X^m_i(x^m₁,...,x^m_n) o jednolicie małą jednostkę , na mocy definicji funkcji X^m_i. Zatem ilość pod znakiem całki po prawej stronie również staje się jednoznacznie małą, ponieważ m zwiększa się ,a wyrażenie to , które jest niezależne od m ,muszą znikną jak stwierdzono, więc daje wymagane rozwiązanie (1). Przez wielokrotne użycie twierdzenie o istnieniu, dane rozwiązanie x(t) może być przedłużone poza przedział definicji, chyba ,że t podchodzi do obu końców przedziału , odpowiedni punkt x(t) podchodzi do granicy R. Stąd wnioskujemy prawdziwość poniższego stwierdzenia:
Następstwo Przedział definicji dla dowolnego rozwiązania x(t)równania (1)może być rozszerzony tak , iż przybiera jedną z cztwerech form:
-∞ < t < +∞ ; -∞ < t < t″ ;t′ < t < +∞ ; t′ < t < t″ ,
gdzie t zbliża się do t′ lub t″ , punkt x zbliża się do granicy R.

TWIERDZENIE O JEDNOZNACZNOŚCI.
Może teraz udowonić ,że jest tylko jedno rozwiązanie tyupu opianego w twierdzeniu o istnieniu, w przypadku funkcji X_i posiadającej pierwsze pochodne cząstkowe. Ten ostatrni wymgóg może być rozwinięty do dobrze znanej postaci podanej przez Lipschitza.
Twierdzenie o jednoznaczności
Jeśli dla każdego i i dla każdej pary punktów x,y w R funkcja X_i spełnia warunek Lipschnitza:

jednostki L₁ .... L_n, będące stałymi dodatnimi jednostkami, wtedy jest tylko jedno rozwiązanie x(t) dla (1) takie ,że x(t₀)= x⁰.
Bo jeśli dwa różne rozwiązania x(t) i y(t) mają takie same wartości x⁰ dla t= t₀, odpowiednia postać całki równań różniczkowych daje:

dla wszystkich wartości i, a stąd przez narzucenie warunku Lipschitza,

Niech L będzie maksimum n dodatniej stałej L_i i niech Q będzie maksimum dowolnej n jednostki |x_i - y_i|w dowolnym zamkniętym przedziale wewnątrz przedziału :
|t - t₀| ≤ 1/(2nL). Maksimum Q musi być osiągnięte dla wartości t, powiedzmt t^* i dla pewnego i.Jeśli wstawimy wartość t^* z t w powyższą nierowność, i zastosujemy twierdzenie o wartości średniej z prawami składowej, wynik
Q ≤ nLQ |t^* - t₀| & le; Q/2
Dowodzi to ,że Q musi być 0.Ztem te dwa rozwiązania,x(t), y(t) które zbiegają się dla t = t₀, będą nadal to robić w takich przedziałach. Twierdzenie to wynika z wielokrotnego stosowania tego wyniku. Fizyczne znaczenie twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności , jest taki ,że ruch układu dynamicznego jest całkowicie określony przez równania różniczkowe i wartości początkowe zmiennych określającychstan systemu - fakt ,który jest oczywisty intuicyjnie. Zatem podejście do problemów dynamicznych wymaga opracowania właściwych równań różniczkowych za pomocą fizycznych zasad , jak i kolejnych matematycznych podejść do właściwości ruchu na podstawie tych równań.