CZĘŚĆ I : Zbiory i funkcje
1.Zbiory
Zbiór jest kolekcją pewnych obiektów. Przy danym zbiorze, obiekty, które go formują są nazywane jego elementami. Przy danym zbiorze A , zapisujem x ∈ A , co oznacza ,że x jest elementem A. Mówiąc ,że x ∈ A, używamy również fraz ,że x jest w A,
x jest składową A , x należy do A i A zawiera x.Aby określić zbiór, możemy zapisać wszystkie jego elementy wewnątrz nawaisów klamrowych , (jeśli jest to możliwe) albo wskazuje właściwości,które odróżniają jego elementy. Na przykład, A = {a,b,c} jest zbiorem którego elementami są a,b i c i B = {x:x >2,7} jest zbiorem wszystkich liczb przekraczających 2,7. Poniżej mamy specjalne zbiory:
∅ : zbiór pusty. Nie ma elementów
N = {1,2,3,...} : zbiór liczb naturalnych
Z = {0,1,-1,2,-2,...} : zbiór liczb całkowitych
Z+ = {0,1,2,...} : zbiór liczb całkowitych dodatnich
Q = {m.n:m ∈ Z, n ∈ N} : zbiór liczb wymiernych
R = (-∞, ∞) = {x:-∞ < x < + ∞} : zbiór rzeczywisty
[a,b] = {x ∈R : a ≤ x ≤ b} : przedział zamknięty
(a,b) = {x ∈ R : a < x < b} : przedział otwarty
R+ = [0,∞) = {x∈ R : x ≥ 0} : zbiór dodatnich liczb rzeczywistych
Podzbiory
Mówimy ,że zbiór A jest podzbiorem zbiory B jeśli każdy element A jest elementem B. Zapis A ⊂ B lub B ⊃ A wskazuje ,że wyrażenia A jest zawarte w B, B zawiera A, daje ten sam efekt. Zbiory A i B są takie same, a wtedy zapisujemy A = B, jeśli i tylko jeśli A ⊂ B i A ⊃ B. Zapisujemy A ≠ B kiedy A i B niew są takie same. Zbiór A jest nazywany właściwym podzbiorem B jeśli A jest podzbiorem B a A i B nie są takie same. Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. To jest punkt logiczny: niech A będzie zbioreml założenie jest ,że ∅ ⊂ A, to znaczym każdy element ∅ jest również elementem A, lub równoważnie, nei ma elementu ∅ który nie należy do A. Ostatnie jest oczywiście prawdą, ponieważ ∅ nie ma elementów
Operacje na zbiorach
Niech A i B będą zbiorami. Ich sumą, oznaczoną przez A ∪ B, jest zbiór składający się ze wszystkich elementów ,które należą albo do A albo do B (albo do obu). Ich częścią wspólną ,oznaczoną A ∩ B , jest zbiór wszystkich elementów, któe należą zarówno do A jak i B. Dopełnieniem A w B , oznaczone przez B \ A, jest zbiór wszystkich elementów B , których nie ma w A. Czasami kiedy B jest niezrozumiałe z kontekstu, B \A jest również nazywane dopełnieniem A i jest oznaczonae przez Ac.W odniesieniu do tych działań mamy co następuje:
Prawo przemienności
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Prawo łączności
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Prawo rozdzielności
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4
Prawo łączności pokazuje ,że A ∪ B & cup; C i A ∩ B ∩ C ma niejednoznaczne zanczenie. Definicja sumy i cześci wspólnej mogą być rozszerzone na arbitralną koelkcję zbiorów. Nich I będzie zbiorem. Dla każdego i ∈ I, niech Ai będzie zbiorem. Sumą zbiorów Ai , i ∈ I, jest zbiór A taki ,że x ∈ A jeśli i tylko jeśli x ∈ A, dla pewnego i w I. Poniższa notacja jest używana dla oznaczania sumy i części wspólnej, odpowiednio
Kiedy I = N = {1,2,3,...} zwyczajowo zapisujemy
Wszystkie te zapisy przestrzegają konwencji sumy liczb. Na przykład
oznacza odpowiednio dla sumy na I = {1,...,n} i część wspólną na I = {5,6,...,13}
Zbiory rozłączne
Mówimy ,że dwa zbiory są rozłączne jeśli ich część wspólna jest pusta; to znaczy, jeśli nie mają wspólnych elementów. Kolekcja {Ai : i ∈ I} zbiorów jest rozłączna jeśli Ai i Aj są rozłączne dla wszystkich i i j w I przy i ≠
Iloczyn zbiorów
Niech A i B będą zbiorami. Ich iloczyn, oznaczony przez A x B, jes tzbiorem wszystkich par (x,y) z x w A i y w B. Jest to również nazywane prostokatem z bokami A i B. Jeśli A1,....,An są zbiorami, wtedy ich iloczyn Ai x ... x An jest zbiorem wszystkich n-krotek (x1,...,xn) gdzie x1 ∈ Ai,...,xn ∈ An. Iloczyn ten jest nazywany, różnie, prostokatem, lub polem, lub polem n-wymiarowym. Jeśli A1 = ... = An = A, wtedy A1 x ... x An jest oznaczone przez An. Zatem R2 jest płaszczyzną, R3 jest trójwymiarową przestrzenia, R2+ jest dodatnią ćwiartką płaszczyzny itd.
Ćwiczenia
1.1 Niech E będzie zbiorem. Wykaż ,co następuje dla podzbiorów A,B,C i Ai z E. Tu ,wszystkie dopełninia są w odniesieniu do E; na przykład , Ac = E \ A
1.( Ac)c = A
2. B \ A = B ∩ Ac
3. (B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ (A ∩ C)
4.(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
5.(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
6.(∪i ∈ IAi )c = ∩ i ∈ IAic
7.(∩i ∈ IAi)c = ∪ i ∈ IAic
1.2 Niech a i b będą liczbami rzeczywistymi przy a < b. Znajdź:
1.3 Opisz poniższe zbiory słowami i obrazami:
1.4 Niech An będzie zbiorem punktów (x,y) ∈ R2 leżące na krzywej y = 1/xn, 0 < x < ∞ .Jakie jest ∩n ≥ 1An?
|
