CZĘŚĆ I : Zbiory , funkcje i rachunek
1.Zbiory i funkcje
1.1 Wprowadzenie
Znalezienie zależności między ilościami ,ma kluczowe znaczenie w inżynierii Na przykład, biorąc pod uwagę prosty obwó z opornikem 1000 ohm wtedy związek między prądem i napięciem jest podane przez prawo Ohma : I = V / 1000. Dla dowolnej wartości napięcia V możemy podać powiązaną wartość I. Ten związek oznacza ,że I jest funkcja V .Z tej prostej ideii wynika wiele innych pytań, które muszą być wyjaśnione, niektóre z nich to:
1.Czy wszystkie wartości V są dozwolone? Na przykład,bardzo wysoka wartość napięcia może zmienić charakter materiału w oporniku.
2.Zakładając ,że napięcie V jest odpowiednikiem napięcia znalezionego z uwzględnieniem większej sieci. Wtedy V samo jest funkcją wartości innego napięcia . Jak możemy połączć te funkcje aby uzyskać związek między prąem jakim jesteśmy zaintereswani a rzeczywistym napięciem w sieci?
3.Zakładając ,że znamy napięcie w obwodzie i chcielibyśmy znać powiązany z nim prąd. Ze wzglęu na funkcję, która definiuje jak prą zależy od napięcie, czy możemy znaleźć funkcję która definiuje jak napięcie zalezy od prądu> W przypadku gdy I = V/1000, jasne jest ,że V = 1000I. Nazywa się to funkcją odwrotną.
Istnieje lepszy powó dla zrozumienia natury funckj. W częściach 5 i 6 zbadamy różniczkowanie i całkowanie. Wygląda to na sposób w jaki funkcje się zmieniają. Dobre zrozumienie funkcji i jak je połączyć będzie pomocne w tych częściach. Wartości któe są dopuszczane jako wejściowe do funkcji są pogrupowane razem. Kolekcja obiektów jest nazywany zbiorem. POmysł zbioru jest bardzo prosty,ale badanie zbiorów może pomóc nie tylko w zrozumieniu funkcji ale również rozumieć właściwości układów logicznych , omawianych w części X.
1.2 Zbiory
Zbiór jest kolekcją obiektów, nazwanych elementami, w których porządek nie jest ważny a obiekt nie może pojawiać się dwukrotnie w tym samym zbiorze.
Przykład 1.1 Jednoznaczne definicje zbiorów, to znaczy, każdy element jest wylistowany to:
A = {a,b,c}
B = {3,4,6,7,,8,9}
C = {Linda, Raka, Sue, Joe, Nigel , Mary}
a ∈ A oznacza 'a jest elementem z A' lub 'a należy do A'; dlatego też w powyższym przykładzie:
3 ∈ B, Linda ∈ C.
Zbiór uniwersalny, jest zbiorem wszystkich obiektów jakie nas interesują i zależy do rozpatrywanego problemu. Jest przedstawiany przez U. Zbiór pusty (lub zbiór null) jest zbiorem bez elementów. Przedstawiany jest przez ∅ lub {}. Zbiory mozan przedstawiać schematycznie - ogólnie kształtami okrągłymi. Zbiór uniwersalny jest przedstawiany jako prostokąt. Są to tzw. diagramy Venn′a
Przykład 1.2
U = {a,b,c,d,e,f,g}, A = {ac} , B = {d,e}
Można to pokazać na poniższym rysunku
Będziemy się głównie zajmować zbiorami licz, ponieważ są one najczęściej wykorzystywane jako dane wejściowe do funkcji. Niektóe ważne zbiory liczb to (gdzie ' ... ' oznacza kontynuację w ten sam sposób):
* Zbiór liczb naturlanych N = {1,2,3,4,5,...}
* Zbiór liczb całkowitych Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
* Zbiór liczb wymiernych (który zawiera liczby ułamkowe) Q
* Zbiór liczb rzeczywistych (wszystkie liczby konieczne dla reprezentacji punktów na linii) R
Zbiory mogą być defniowane przy użyciu pewnych zasad, zamiast wyraźnie
Przykład 1.3 Definiujemy zbiór A wyraźnie gdzie U = N a A = {x|x < 3}
Rozwiązanie. A = {x\x < 3} odczytujemy jako 'A jest zbiorem elementów x ,taki ,że x jest mniejsze niż 3'.Dlatego jako zbiór uniwersalny jest zbiorem liczb naturalnych A = {1,2}
Przykład 1.4 U = dni tygodnia a A = {x|x jest po czwartku a przed niedzielą}. Wtedy A = {piątek, sobota}
Podzbiory
Możemy życzyć sobie odnosić się tylko do części pewnego zbioru. Mówimy ,że jest to podzbiór piewotnego zbioru. A ⊆ B czytamy 'A jest podzbiorem B' i oznacza ,że każdy element A jest elementem B
Przykła 1.5
U = N
A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5}
Wtedy A ⊆ B .
Odnotujmy poniższe punkty:
Wszystkie zbiory muszą być podzbiorami zbioru uniwersalnego, to znaczy A ⊆ U i B ⊆ U
Zbiór jest podzbiorem samego siebie, tzn. A ⊆ A
Jeśli A ⊆ B i B ⊆ A , wtedy A = B
Właściwe podzbiory
A ⊂ B czytamy jako 'A jest właściwym podzbiorem B' i oznacza ,że A jest podzbiorem B ale A nie jest równy B. Zatem, A ⊂ B i równocześnie B ⊂ A jest niemożliwe. Właściwy podzbiór może bć pokazany jako diagram Venna
Operacje na zbiorach
Dopełnienie
A- i A′ są dopełnieniem zbioru A. Doepłenie A jest zbiorem wszystkiego w uniwersalnym zbiorze, co nie jest w A, jak na rysunku
Przykład 1.6
U = N
A = {x | x > 5}
wtedy A′ = {1,2,3,4,5}
Przykład 1.7. Zbiór uniwersalny jest zbiorem liczb rzeczywistych przedsatwiony jako lini liczb rzeczywistych. Jeśli A jest zbiorem liczb mniejszych niż 5, A = {x|x<5} wtedy A′ jest zbiorem liczb większych lub równych 5. A&prime = {x}x ≥ 5}.Te zbiory są pokazane poniżej
|
