Matematyka stosowana

Źródłem algebry liniowej jest rozwiązywanie układów algebraicznych równań liniowych. Algebra liniowa jest podstawą na której opiera się cała reszta matematyki stosowanej. Nie mówimy ,że równania nieliniowe są mniej ważne; raczej, postęp w znacznie bardziej skomplikowanej dziedzinie nieliniowej nie jest możliwe bez ścisłego trzymania się podstaw liniowych. Co więcej, liniowa algebra jest podstawą analizy numerycznej systemów ciągłychm, zarówno liniowych jak i nieliniowych, które są zazwyczaj modelowane przez równania różniczkowe. Bez systematycznego drążenia tematów od początku, będziemy źle przystosowani do radzenia sobie z dużymi układami równań liniowych zawierających wiele niewiadomych. Ta część jest przeznaczona do systematycznego rozwijania bezpośrednich argumentów dla rozwiązywania układów algebraicznych równań liniowych o skończonej liczbie zmiennych. Na początku skupimy się na najważniejszych sytuacjach zawierających tą samą liczbę równań jako niewiadomych, chociaż później rozszerzymy nasze techniki dla całkowicie ogólnych układów liniowych. Podczas gdy pierwsze mają jednoznaczne rozwiązanie, bardziej ogólne układy zwykle mają albo żadnego rozwiązania albo nieskończenie wiele więc zajmują się mniej bezpośrednim, fizycznym znaczeniem. Niemniej, możliwość pewnej obsługi wszystkich typów układów liniowych jest podstawowym warunkiem dla tego tematu. Podstawowe rozwiązanie algorytmu jest znane jako eliminacja Gaussa,na cześć jednego z największych matematyka - dziewiętnastowiecznego niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gauss. Jako ojciec algebry liniowej, jego imię będzie występowało często w tym tekście. Eliminacja Gaussa jest całkieme elementarna ale pozosytaje jedna z najważniejszych technik w matematyce stosowanje (jak i teoretycznej) Póżniej omówimy pewne praktyczne tematy i problemy w komuterowej implementacji eliminacji Gaussa dla dużych układów. Systematyczne podejście do tematu opiera sięna fundamentalnych pojęciach skalara, wektora i macierzy, a my szybko spojrzymy na arytmetykę macierzy. Eliominacja Gaussa może byćreinterpretowana jako faktoryzacja macierzy, (permutowalnego) rozkładu LU, który dostarcza dodatkowego wyobrażenia o algorytmie rozwiązania. Macierz odwrotna i wyznaczniki odgrywają ważną rolę w praktyce matematyki stosowanej,ale nie zakładamy ich bardziej tradycyjnej roli w tym tekście zorientowanym na stosowanie.