Metody algebry homologicznej

1.Przestrzenie traingulacyjne
Główne definicje

Powyższy rysunek obrazuje trzy przestrzenie traingulacyjne. Ich główną właściwością jest to ,że są złożone z sympleksów: punktów, segmentów, trójkątów, czworościanów i ich uogólnień wyższego wymiaru. Takie przestrzenie mogą być opisane kombinatorycznie: trzeba określić ile sympoleksów dowolnego wymiaru powinno być wziętych i jak powinny być połączone razem. Podajmy precyzyjną definicję:
a) n- wymiarowy sympleks jest przestrzenią topologiczną

Punkt e₁ dla każdego _i = 1 jest nazywany i-tym wierzchołkiem z &Delta_n; zbiór wierzchołków jest uporządkowany : e₀ < e₁ < ... < e_n. Ogólniej, każdy podzbiór skojarzony z I-tą powierzchnią Δ_n definiuje się jako zbiór wszystkich punktów (x₀,...,x_n) ∈ Δ_n z x_i = 0 dla i ∉ I .Czasami jest wygodniej zastąpć I przez monotoniczne (rosnące) przekształcenie f :[m] → [n] z obrazem I, gdzie I = m+ 1. Jasne jest ,że istnieje jednoznaczne liniowe odwzorowanie &Delta_f : Δ_m → Δ_n , które zachowuje porządek wierzchołków i ma I-tą płaszczyznę jako swój obraz Co kleimy :X₍₀₎ punktów, X₍₁₎ segmentów, X₍₂₎ trójkątów,...,X_(n) n-wymiarowych simplicji (Elementy X_(n) służą jako wskaźnik liczby simplicji)
Jak kleimy: dla dowolnej pary (n, I⊂ [n]), I = m + 1 , przekształcenie X_(n) → X_(m), które określa który m-wymiarowy symple powinien być zidentyfikowany z I-tą powierzchnią odpowiedniego n-wymiarowego sypleksu. Dokładniej, niech powierzchnia odpowiada przekształcenie rosnące f : [m] → [n] i niech X(f) : X_(n) → X_(m) będzie odpowiednim sklejonym przekształceniem. Rodzina {X(f)} powinna spełniać dwa poniższe warunki :
X(id) = id , X(g º f) = X(f) º X(g)
(gdzie id to tożsamość przekształcenia). Oznacza to ,że różne elementy X_(n) odpowiadają różnym simplicjom i ,że "powierzchnia powierzchni jest powierzchnią".
Co uzyskamy po klejeniu jest przestrzenią topologiczną |X| z podstawowym zbiorem

gdzie R jest słabą relacją równoważności ,która identyfikuje (s,x) ∈ Δ_n x X_(n) i (t,y) ∈ Δ_m x X_(m) z
y = X(f)x, s = Δ_f(t)
dla pewnego rosnącego przekształcenia f: [m] → [n]. Oznaczmy tę sytuację (I.1) przez (t,y) |^f-> (s,x) .Knaoniczna topologia na |X| jest najsłabszą topologią dla której kanoniczne przekształcenie

jest ciągłe
Przestrzeń |X| z odpowiednimi klejonymi danym jest nazywana przestrzenią triangulowana, a same dane klejone są nazywane traingulacją

2. Przykłady
a) n-wymiarowy sympleks ze standardową triangulacją
Tu

Zatem sympleks jest zdemontowany i złożony ponownie.
b) Sfera Sⁿ ze standardową triangulacją
Uzyskiwana jest ze standardowej triangulacji Δ_n+1> przez usunięcię (jednoznacznego) (n+1)-wymiarowego sympleksu. Powyższy przykład sugeruje ,że przestrzeń triangulowana jest (teoriomnogościową) sumą rozłączną z wnętrza jego simplicjow. To jest rzeczywiście ten przypadke.Mainowicie, niech>

Niech (X_(i),X(f)) będzie klejoną daną a

będzie odpowiednim przekształceniem traingulacji. Indukuje przekształcenie