Kontrprzykłady w topologii

1. Ogólne wprowadzenie
Przestrzeń topologiczna jest parą (X, τ) składającą się ze zbioru X i kolekcji τ podzbiorów X, nazywaną zbiorem otwartym, spełniającym następujące aksjomaty:
O₁ : Suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym
O₂ : Skończona część wspólna zbioru otwartego jest zbiorem otwartym
O₃ : X i zbiór pusty ∅ są zbiorami otwartymi
Kolekcja τ jest nazywana topologią dla X. Do przestrzeni topologicznej (X, τ) czasami odnosimy się jako przestrzeni X kiedy jest jasne ,która to topologia X. Jeśli τ₁ i τ₂ są topologiami dla zbioru X, o τ₁ mówimy ,że będzie szorstką (lub słabszą lub mniejszą) niż τ₂ jeśli każdy zbiór otawrty τ₁ jest otwartym zbiorem z τ₂. τ₂ jest wtedy nazywana ładniejszą (lub silniejszą lub większą) niż τ₁ a związej jest wyrażony jako τ₁ ≤ τ₂. Oczywiście ,jako zbiory zbiorów, τ₁ ⊆ τ₂. W zbiorze X topologia szorstka jest topologią niedyskretną (Przykład 4), a ładniejsza topologia jest toplogią dyskretną (Przykład 1). Porządkowanie ≤ jest tylko częściowym porządkowaniem ponieważ dwie topolgie mogą nie być porównywalne .W przestrzeni topologicznej (X, τ) definiujemy podzbiór X będący zamkniętym jeśli jego dopełnieniem jest zbiór otwarty X, to znaczy, jeśli jego dopełnieniem jest element τ. Parawa De MOrgaba implikuą ,że zbiory zamknięte, będące dopełnieniem zbiorów otwartych, ma następujące włąściwości:
C₁ : Część wspólna zbiorów zamkniętych jest zbiorem zamkniętym
C₂ : Skończona unia zbiorów zamkniętych jest zbiorem zamknietym
C₃ : X i zbiór pusty ∅ , oba są zamknięte
Możliwe jest to ,że pozbiór będzie otwarty i zamknięty, lub ,że podzbiór nie będzie ani otwarty ani zamknięty
F-zbiór, jest zbiorem , który może być zapisany jako unia przeliczalnych zbiorów zbiorów zamkniętych; G-zbiór jest zbiorem , który może być zapisany jako częśćwspólna przeliczalnego zbioru zbiorów otwartych. Dopełnienie każdego F-zbioru jest G-zbiór i odwrotnie. Ponieważ pojedynczy zbiór jest przeliczalnym zbiorem zbiorów, zbiory zamknięte są F-zbiorami,ale nie odwrotnie. Co więcej, zbiory zamkniętw nie muszą byćG-zbiorami. Bliosko związane z pojęciem zbioru otwartego jest otoczenie. W przestrzeni (X;tau;) otoczeniem N_A zbioru A , gdzie A mozę być zbiorem składajacym się z pojedynczego punktu, jest dowolnym podzbiorem z , który zawiera otwarty zbiór zawierający A. (Niektórzy wymagajaą aby N_A samo było otwarte; nazywamy taki zbiór otoczeniem otwartym). Zbiór który jest sąseidztwem każdego ze swoich punktów jest otwarty ponieważ może być wyrażony jako suma otwartego zbioru zawierające każdy z ejgo punktów.