Kurs algebry liniowej

Algerba liniowa jest nauką o przekształceniach liniowych przestrzeni wektrowej skończonej wymiarowo. Dowiemy się co oznaczają te terminy.W tej części zdefiniujemy przestrzenie wektorwowe i omówimy ich elementarne właściwości. W niektórych dziedzinach matematyki, w tym w algebrze liniowej, będzie lepiej jeśli zbadamy liczby zespolone wraz z liczbami rzeczywistymi. Zatem zaczniemy od wprowadzenia liczb zespolonych i ich podstawowych właściwości.

Liczby zespolone
Zapewne wiesz co nieco o podstawowych właściwości zbioru liczb rzeczywistych R. Liczbyz espolone zostały wymyślone aby mieć pierwaistki kwadratowe z liczb ujemnych. Kluczową ideą jest to ,że mamy pierwiastek kwadratowy z -1, oznaczony przez i, i manipulować nim używająć zwykłych zasad stosowanych w arytmetyce. Formalnie ,liczba zespolona jest parą uporządkowaną (a,b), gdzie a,b ∈ R ,ale zapisujemy to jako a+bi. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C:
C = {a+bi : a,b ∈ R}
Jeśli a ∈ R, identykujemy a+0i jako liczbę rzeczywistą a. Zatem możemy myśleć o R jako podzbiorze C. Dodawanie i mnożenie w C jest definiowane przez
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i,
(a+bi)(c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i,
tu a,b,c,d ∈ R. Używając mnożenia zdefiniowanego powyżej, mamy i² = -1. Nie musisz uczyć się na pamięć wzoru na iloczyn dwóch liczb zespolonych; możesz zawsze przypomnieć go sobie przez przypomnienie ,że i² = -1 a poyem użycie zwykłych zasad arytmetyki. Powonieneś wiedzieć ,że dodawanie i mnożenie w C spełnia poniższe właściwości:
przemienność : w +z = z + w i wz = zw dla wszystkich w,z ∈C;
łączność : (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃) i (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) dla wszystkich z₁,z₂,z₃ ∈ C;
tożsamość : z + 0 = z i z1 = z dla wszystkich z ∈ C;
element odwrotny : dla każdego z ∈ C ,istnieje unikalne w ∈C takie ,że z + w = 0;
element odwrotny (przy mnożeniu) : dla każdego z ∈ C przy z ≠ 0 istnieje unikalne w ∈ C , takie ,że zw =1
właściwość rozdzielności : λ(w+z) = λw + &lambdaz dla wszystkich λ w, z ∈ C
Dla z ∈ C , niech -z oznacza element odwrotny dla z .Zatem -z jest jednoznaczną liczbą zespoloną taką ,że z + (-z) = 0. Odejmowanei w C jest definiowane przez
w - z = w + (-z)
dla w,z ∈ C.
Dla z ∈ C z z≠ 0, niech 1/z oznacza element odwortny przy mnożeniu z. Zatem 1/z jest jednoznczną liczbą zespoloną taką ,że
z(1/z) = 1
Dzielenie w C jest definiowane przez
w/z = w(1/z)
dla w,z ∈ C przy z ≠ 0
Aby więc móc łatwo tworzyć definicje i udowadniać twierdzenia , które stosujemy do liczb rzeczywistych i zespolnych, przyjmiemy następujące oznaczenia:
W tym tekście F będzie oznaczało R (rzeczywiste) lub C (zespolone). Zatem jeśli udowadniamy twierdzenie z udziałem F, będziemy wiedzieli kiedy F jest zastępowane przez R a kiedy przez C .Elementy F są nazywane skalarmai. Słowo "skalar" , któe oznacza liczbę ,jest często używane kiedy chcemy podkreślić ,ze obiekt jest liczbą, w przeciwieństwie do wektora. Dla z ∈ F i m ,dodatniej liczby, definiujemy z^m oznacza iloczyn z przez samą siebie m razy

Wyraźnie (z^m)ⁿ = z i (wz)^m = w^mz^m dla wszystkich w,z ∈ F i wszystkich liczb całkowitych m,n

Definicja przestrzeni wektorowej
Przed zdefiniowaniem co to jest przestrzeń wektoroa, spójrzmy na dwa ważne przykłady. Przestrzeń wektorwa R², o której możesz myśleć jak o płaszczyźnie, składa się ze wszystkich uporządkowanych par liczb rzeczywistych:
R² = {(x,y) : x,y ∈ R}
Przestrzeń wektorowa R³, o której możesz myśleć jako uporządkowanej przestrzeni,składa się ze wszystkich uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych:
R³ = {(x,y,x) : x,y,z ∈ R)}
Aby uogólnić R² i R³ do wyższych wymiarów, najpierm musimy omówić pojęcie list. Załóżmy ,że n jest nieujemną liczbą całkowitą. Lista długości n jest uporządkowanym zbiorem n obiektów (które mogą być liczbami, innymi listami, lub więcej abstarkcyjnych jednostek), oddzielonych przecinkami i otoczonym nawisami. Lista długości wygląda tak
(x₁,x₂,...)
Zatem lista o długości 2 jest uporządkowaną parą a lista długości 3 jest uporządkowaną trójką. Dla j ∈ {1,...,n}, mówimy ,że x_j jest j-tą współrzęną powyższej listy. Zatem x₁ jest nazywane pierwszą współrzędną, x₂ jest nazywana drugą współrzędną itd.Czasami będziemy używać słowa lista bez określania jej długości. Pamiętaj jednak ,że z definicji, każda lista ma skończoną długość, która jest nieujemną liczby całkowitek, więc obiekt, który wygląda tak
(x₁,x₂,...).
o której może powiedzieć ,że ma nieskończoną długość , nie jest listą. Lista o długości 0 wygląda tak :(). Rozważmy taki obiekt będący listą tak ,że pewne z naszych twierdzeń nie bdą miały trywialnych wyjątków. Dwie listy są równe jeśli i tylko jeśli mają tą samą długość i te same współrzędne w tym samym porządku. Innymi słowy (x₁,...,x_m) równa się (y₁,...,y_n) jesli i tylko jeśli m = n a x₁ = y₁,...,x_m=y_n. Listy różnią się od zbiorów na dwa sposoby: na liście, rządi powtórzenia są dozwolone, podczas gdy w zbiorach, porządek i powtórzenia są nieistotne. Na przykład , lista (3,5) i (5,3) nie są równe, ale zbiory {3,5} i {5,3} są równe. Listy (4,4) i (4,4,4) nie są równe (nie mają tej samej długości), chociaż zbiory {4,4} i {4,4,4} oba są równe zbiorowi {4}. Dla zdefiniowana analogicznych wyższych wymiarów do R² i R³, po prostu zastąpimy R przez F (które równa się R lub C) i zastępujemy 2 lub 3 arbitra arbitralną dodatnią liczbą całkowitą. Szczególnie, ustalimy dodatnią liczbę całkowitą n dla całej tej sekcji. Zdefiniujemy Fⁿ będące zbiorem wszystkich list długości n składającym się z elementów F:
Fⁿ = {(x₁,...,x_n): x_j ∈ F dla j = 1,...,n}
Na przykład, jeśli F = R i n równa się 2 lub 3, wtedy ta definicja Fⁿ2 i R³. Innym przykład, C⁴ jest zbiorem wszystkich list czterech liczb zespolonych:
C⁴ = {(z₁,z₂,z₃,z₄) : z₁,z₂,z₃,z₄ ∈ C}