Grupy algebraiczne i teoria liczb

Pierwsze dwie sekcje tego wprowadzenia dostarczają krótkiego omówienia kilku pojęć i wyników z teorii liczb. Należy zauważyć ,że w przeciwieństwie do takich matematyków jak Weil, wyniki tu wskazują algebraiczne pola liczbowe, chociaż zdecydowana większość wyników również posiada pola globalne o charakterystyce > 0 tj. pola funkcji algebraicznych nad polami skończonymi.Przedstawimy wyniki dla kohomoligii grup, konieczne dla zrozumienia reszty tekstu, w tym definicji i dekalracji podstawowych właściwości nieprzemiennej kohomologii. Pozostałę sekcje zawiwerają główne wyniki w prostych algebrach nad polami lokalnymi i globalnymi. Szczególną uwagę przykładamy do badań nad strukturą multiplikatywną algebry podziału nad tymi polami, szczególnie trywialności grup Whiteheada. Ponadto zbieramy użyteczne wyniki na kratach nad przestrzeniami wektorowymi i rżedami w algebrach półprostych. Reszta tekstu zakłada znajomość z teoria pola , szczególnie teorii Galois (skończonej i nieskończonej), jak również z elementami algebry topologicznej w tym teorii grup profinite.
1.1 Algebraiczne pola liczb, wartościowanie i finalizowanie
1.1.1 Arytmetyka algebraicznych pól liczbowych
Niech K będzie algebraicznym polem liczbowym, tj. skończonym rozszerzeniem pola Q, a O_K pierścieniem liczb całkowitych z K. O_K jest klasycznym obiektem zainteesowania algebraicznej teorii liczb. Jego struktura i arytmetyka były badane przez Gaussa, Dedekinda, Dirichleta i innych aż do dni obecnych, Z czysto algebraicznego punktu widzenia pierścień O = O_K jest całkiem prosty: jeśli [K: Q] = n, wtedy O jest wolnym Z - modułem rzędu n. Dla dowloneo niezerowego ideału, a ⊂ O pierścień ilorazowy O/a jest skończony;w szczególności, ideał pierwszy jest maksymalny. Pierścienie z taką właściwością (tj. nieetherowski, integralnie zamknięty z maksymalnymi ideałami), są znane jako pierścienie Dedeknda. Wynika z tego ,że każdy niezerowy ideał a ⊂ O może być zapisany jednoznacznie jako iloczyn ideałów pierwszych : a = p^α₁ ...p^α_r. Ta właściwość jest uogólnieniem fundamentalnego twierdzenie arytmetyki na jednoznaczność faktoryzacji dowolnej liczby całkowitej na iloczyn liczb pierwszych. Niemniej jednak, analogia tu nie jest pełna: jednoznacza faktoryzacja elementów O na elementy pierwsze, ogólnie mówiąc nie odbywa się. Ten fakt,demonstrującym że arytmetyka O może różnić się znacząco do arytmetyki na Z, miał kluczowe znaczenie w kształtowaniu problemów algenbraicznej teorii liczb. Dokładny stopień odchylenia jest mierzony przez grupę klas ideału (poprzednio zwanego dzielnikiem grupy klasy) z K. Jego elementy są ideałami ułamkowymi z K, tj. submodułami O a z K, takimi ,że xa ⊂ O dla odpowiedniego niezerowego x w O. Zdefiniowany iloczyn dwóch ideałów ułamkowych a, b ⊂ O będzie submodułem O w K wygenerowanym przez wszystkie xy, gdzie x ∈ a, y ∈ b. W odniesieniu do tej operacji zbiór ideałów ułamkowych staje się grupą, którą oznaczamy Id(O), nazwaną grupą ideałów z K. Główne ideały ułamkowe, th ideały postaci xO gdzie x ∈ K^*, generuje podgrupę P(O) ⊂ Id(O) a współczynnik grupy Cl(O) = Id(O) / P(O) jest nazywany ideałen grupy klasy K. Klasyczny wynik, z Gaussa, jest taki ,że grupa Cl(O) jest zawsze skończona; jej rząd, oznaczony przez h_K, jest numerem kalsy z K. Co więcej, faktoryzacja elementów O na liczby pierwsze jest jednoznaczan jeśli i tylko jeśli h_K = 1. Inny klasyczny wynik (Dirichlet) stanowi ,że grupa elementów odwracalnych z O^* jwat skończenie genrowana. Te dwa fakty są punktem startowym dla arytmetyki teorii grup algebraicznych. Jednak uogólniona klasyczna arytmetyka grup algebraicznych nie może odwoływać się do koncepcji teorii pierścienia, ale raczej roziwja takie liczbowe konstrukcje teoretyczne jak wartościowanie, finzalizowanie