Elementarna teoria katastrof

Załóżmy, że ktoś ma układ fizyczny opisany przez zewnętrznych parametrów które wahają się w drodze otwartego podzbioru R⁴ (np. przestrzenno-czasowe) i n-wewnętrzne parametry. Załóżmy, że zachowanie systemu jest określony przez potencjalnych czyli płynne postaci funkcji f Rⁿ x R⁴ do R, aby dla danego y Rⁿ tej funkcji zakładać minimum lokalne (w odniesieniu do wewnętrznych parametrów) . Wtedy możliwe stany leżą w zbiorze:

Trzeba mieć nadzieję, że w ogólnych warunkach dla f, M_f jest podrozmaitością Rⁿ x R. Kierując się tymi względami R. THOM sformułował następujące twierdzenie, które zostało udowodnione przez połączone wysiłki Mathera, Malgrangea i innych.
Twierdzenie: Poniższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego r jeśli n=1, dla r ≤ 6 jeśli n = 2 , dla r ≤ 5 jeśli n > 3:   jest otwarty, gęsty podzbiór F z C^∞ (Rⁿ x R^r, R) , taki ,że dla każdego f ∈ F :
a) M_f jest r- wymiarową rozmaitością ;
b) jeśli X_f oznacza ograniczenie projekcji τ: Rⁿ x R^r → R^r, wtedy każda osobliwość X_f jest lokalnym odpowiednikiem jednego skończonego zbioru typów - zwanego katstrofami elementarnymi c) X_f jest lokalnie stabilna w odniesieniu do małych zmian w f
d) liczba elementarnych katastrof wynosi r jeśli n = 1. Naszym celem jest podanie dowodu tego twierdzenia.Na przestrzeni C^∞(R^m, R)funkcji gałdkiej od R^m do R zastosujemy topolgię Withney`a,
X<sub>f</sub> : M<sub>f</sub> →R<sup>r</sup> jest osobliwością przy (x,y) ∈ M<sub>f</sub> jeśli stopień X<sub>f</sub>(x,y) nie jest mkasymalny.
Dwie funkcje f, g od od R<sup>m</sup> do R<sup>r</sup> są lokalnie równoważne przy x, x` jeśli są otwarte sąsiedzko U, U` z x, x` w R^m, odpowiednio otwarte sąsiedzko V, V` f(x), f(x`)w R^r i difeomorfizmy Φ : U → U` , Ψ : V &rrr; V` z Φ(x) = (x`)i Ψ(f(x)) = g(x`), tak aby wykres komutował:

Funkcja f jest lokalnie stabilna jeśli jest sąsiedztwo f ( w topologi Whitneya), które zawiera tylko funkcje , które są lokalnym ekwiwalentem dla f

1.1."Kiełek" gładkiej funkcji w O ∈ R^o jest równoważny klasie gładkich funkcji z sąsiedztwa O w R^o z wartościami w R w relacji:
(f : U → R) ~ (g : V → R)⇔ sąsiedztwo W dla O   f |W = g | W
Przestrzeń "kiełków" funkcji jest pierścieniem przemiennym z jednostką - oznaczamy ją przez ξ_n(R^o, 0)lub prościej przez ξ_n. Wtedy f ∈ ξ_n jest odwracalne jeśli i tylko jeśli f(0) ≠ 0.

1.2.Pochodne cząstkowe są jasno określone jak i same elementy ξ_n. Oznaczamy je przez δf/δx_i (i = 1,...,n).
Definicja. Oznaczamy przez M_n (= M¹_n) idealne "kiełki" f tak ,aby f(0) = 0.
Definicja . Pierścień lokalny jest pierścieniem przemiennym z jednostką ,która posiada dokładnie jeden ideał maksymalny M(wtedy oczywiście ,pierścień ilorazowy A/M jest polem)
Lemat: ξ_njest pierścieniem lokalnym M_n jest jego maksymalnym ideałem.
Dowód: Oczywiste jest ,że M_n jest ideałem maksymalnym (ponieważ jest to jądro homomorfizmów pierścienia f ---> f(0) od ξ_n na pole R.) Z drugiej strony, dowolny ideał właściwy jest zawarty w M_n ponieważ nie może zawierać dowolnego odwrcalnego elementu.

1.3.Definicja. Oznaczamy przez M^k_n (k ∈ N)ideał k-płaskich "kiełków" w ξ_n tj. "kiełki" f takie ,że f i jej pochodne cząstkowe do rzędu k-1 znikają na początku. Na przykład , współrzędne funkcji x₁,....,x_n są elementami M¹_n a jednomian x₁^i₁....x_n^i_n (i_n ∈ N) jest w M^k_n, gdzie k = i₁ + ... + i_n
Twierdzenie: (a) M¹_n jest generowane przez {x₁,...,x_n} (jak moduł ξ_n) ; (b) M^k_n = [M_n]^k, to znaczy, ideał generowany przez ten iloczyn f₁....f_k (gdzie każde f_i jest w M_n). Dowód:Niech f : U --> R będzie przedstawiać "kiełek" w ξ_n, gdzie U jest wypukłym sąsiedztwem O. Wtedy ,jeśli [0,x] oznacza segment od 0 do x mamy

gdzie

Wtedy h_i ∈ ξ_n i tak (a) występuje bezpośrednio (ponieważ jeśli f ∈ M_n wtedy f(0) = 0). Jeśli f ∈ M^k_n, wtedy h_i ∈ M^k-1_n i tak M^k_n ⊆ M_n * M^k-1_n
1.4.Definicja Nazywamy przestrzeń ilorazową ξ_n / M^k+1 _n (zapisaną J^k(ξ_n,0)) lub prosto J^k_n, algebrą k -stumieni funkcji gładkich. Rozkład Taylora pokazuje ,że J^k_n jest kanonicznie izomorficznez przestrzenią wielomianów stopnia ≤ k (ten ostatni przez mnożenie, uzyskujemy przez cięcie pod względem stopnia > k w zwykły iloczyn). Podobnie M^k_r / M^k+1 _r jest kanonicznie izomorficzne do przestrzeni wektora wielomianu homogenicznego stopnia k w n-zmiennych.Zatem jeśli j^k: ξ_n --> J^k_n jest kanoniczną projekcją , możemy utożsamić j^k_n z jego wielomainem Taylora rzędu k przy 0. J^k_njest (skończenie wymiarowym)lokalny pierścieniem a j^k morfizmem lokalnego pieśrcienia.
1.5.Lemat Nakayamy: Niech A będzie lokalnym pierścieniemz ideałem maksymalnym I(1,2). Jeśli M jest A-modułem, M′, M″ submodułami z M przy M′ skończenie generowanym wtedy
M′ ⊆ M″ + I.M′ ⇒ M′ ⊆ M″
Dowód: Niech N := (M′ + M″) / M″ Wtedy
N ⊆(M″ + I.M′)/M″ = I.(M′+M″)/M″ = I.N
Musimy wykazać ,że N = 0(tj. musimy zredukować do przypadku M″ = 0)
Niech (n₁,...n_p) generuje N. Ponieważ I.N ⊇ N istnieje (a_ij) ∈ I z

tj. (I-A).n = 0 gdzie A jest macierzą (a_ij) a n jest kolumną wektora z wejściami (n₁,...n_p). Teraz wyzancznik det(I-A)ma postać 1+a (gdzie a ∈ I) i tak jest odwracalny .Daltego macierz odwrotna (I-A)^-1 istnieje, tak więc n₁ = n₂ =... =n_p tj. N = {0}
1.6 Twierdzenie . Niech I ⊆ξ_n będzie ideałem. Potem mamy ekwiwalenty:
(a) I ⊇ M^k_n ;
(b) j^k(I) ⊇ M^k_n / M^k+1_n tj. I + M^k+1_n ⊇ M^k_n
Dowód: (a) ⇒ (b) jest trywialne. (b) ⇒ (a) wynika z 1.5 (bierzemy M′ = M^k_n), M″ = I)
Następstow:(a) f₁,..., f_p generuje M^k_n jeśli i tylko jeśli j^kf₁,..., j^kf_p, generuje przestrzeń wektorową M^k_n / M^k+1_n (jednorodnych wielomianów stopnia k n zmiennych)
(b) jeśli I jest ideałem w ξ_n, wetdy poniżej mamy ekwiwalenty
(i) istnieje k z I ⊇ M^k_n
(ii) I ma skończony kowymiar w ξ_n (jako R-przestrzeń wektorowa)
Dowód: (a) Zastosujemy to twierdzeniedo ideału I = < f₁,...,f_p >_ξn , wygenerowane przez f₁,...,f_p w ξ_n
(b) (i) ⇒ (ii) jest trywialne
(ii) ⇒ (i) jest rozważany jako łańcuch
ξ_n ⊇ I + M_n ⊇ I + M²_n ⊇ ... ⊇ I + M^r_n ⊇ I + M^r+1_n ⊇....
Ponieważ I ma skończony kowymiar mamy r z
I + M^r_n = I + M^r+1_n
tj. M^r_n ⊆ I + M^r_n ⊆ I + M^r+1_n , i możemy zastosować twierdzenie
1.7 Oznaczamy przez M^∞_n ideał

funkcji płaskiej. Nie jest skończenie generowana.Wstawimy J^∞_n := ξ_n / M^∞_n.
Twierdzenie: J^∞_n ≅ R[[x₁,....,x_n]]to pierścień formalnego szeregu potęgowego w n zmiennych.
Dowód: Isomorfizm jest indukowany przes skojarzenie do f jego szeregu Taylora .Musimy tylko wykazać ,że jest to surjektywa. Jest to specjalny przypadek poniższej leamty.
Lemata : Dla α∈ Nⁿ _* , niech f_α : U --> R będzie funkcją gładką zdefiniowaną w sąsiedztwie 0 w R^p .Wtedy istnieje funkcja gładka f : V --> R gdzie V jest otwartym sąsiedztwem 0 w Rⁿ x Rⁿ, tak ,że δα/ δx^α f(0,y) = f_α(y) (α∈Nⁿ_*) , y∈R^p .
Dowód: Bez szkody dla ogólności, możemy założyć ,że każde f_α zdefiniowane w R^p i ma zwarty nośnik. Niech g będzie funkcją gładką od Rⁿ do [0,1], tak,że

Pokażemy ,że możemy znaleźć ciąg (t_α)indeksowany przez Nⁿ_* tak ,że suma

jest zbieżna jednoznacznie dla każego multi indeksowanego β Wtedy jeśli

możemy różniczkować wyraz po wyrazie aby uzyskać

.Dla określenia (t_α) manipulujemyu w następujący sposób.

gdzie Ψ_α : y |-->y^αρ(y) zanika dla ||y||>1. Zatem , ponieważ f_α ma zwartą relację.
M_α : = max{δ^β / δx^β (f_α(y) Ψ_α(x)): |β|≤|α|} < ∞.
Wtedy mamy :

i tak wystarczy wybrać (t_α) aby      

Następstwo:
(a) j_n^∞ : ξ_n → J_n^∞ jest surejktywnym R-algebraicznym homomorfizmem;
(b) J_n^∞ jest lokalnym pierścieniem z ideałem maksymalnym M_n / M_n^∞
(c) J_n^∞ jest pierścieniem Noethera z jednoznaczną pierwszą dekompozycją
1.9. Lemat: dim_RJ_n^∞ = dim_R ξ_n / M^k+1_n = (n+k)! / n!k!.
Dowód:Przez indukcję na n i k. Przypadki n=0 i k=0 są trywialne. Generalnie mamy ξ_r / M^k+1, przestrzeń wielomianów stopnia k w x₁,...,x_n, jest sumą bezpośrednią przestrzeni wielomianów stopnia ≤ k w x₁,...,x_n-1 a x_n razy przestrzeń wielomianów stopnia ≤ k-1 w x₁,...,x_n. Zatem jej wymiarem jest
(n+k-1)! / (n-1)!k! + (n+k-1)! / n!(k-1)! = (n+k)! / n! k!.

2.1.Kiełek lokalnego dyfeomorfizmu jest klasą równoważności funkcji Φ : U → U′, gdzie U i U′ są otwartymi sąsiedztwami O a &Phi(O) = 0, tak ,że Φ jest dyfeomorfizmem na pewne otwarte sąsiedztwo O (równoważenie, DΦ(0) jest odwracalne).Równoważna relacja jest zdefiniowana dokładnie jak w 1.1. Zbiór takich kiełków jest grupą (z mnożeniem indukcyjnym przez złożenie funkcji), którą oznaczamy przez L(Rⁿ, O), lub L_n.
2.2 Grupa k-strumieniowa lokalnych dyfeomorfizmów :Jeśli Φ ∈ L_n, k∈ N , rozkład Taylora z Φ aż do stopnia k, ma postać:
P₁ + P₂ + ... + P_k + ε ,
gdzie P₁ = DΦ(O) ∈ GL(n,R) a P_r jest hopmogenicznym wielomianem stopnia r z Rⁿ .Współrzędne funkcji pozostałego wyrazu ε są elementami M_n^k+1. Kiełęk Φjest k-płaski w odniesieniu do tożsamości jeśli P₁ = Id_Rⁿ, P₂ = ... = P_k tj. jeśli współrzędne funkcji Φ - Id_Rⁿ są w M_n^k+1.
Lemat:Zbiór k-płaskich kiełków jest normalną podgrupą z L_n.
Dowód: Mamy wyświetlony powyższe naturlane przekształcenie z L_n na przestrzeń wielomianów
P₁ + ... + P₁
stopnia k z Rⁿ na Rⁿ z odwracalnym P₁. Teraz ta ostatnia przestrzeń jest grupą kiedy mnożenie jest zdefiniowane następująco: jeśli P,Q są takimi wielomianami, niech P * Q będzie zwykłym złożeniem P i Q .Wyrazy stopnia > k są odrzucane aby otrzymać iloczn grupy P.Q. Teraz wspomniane powyżej przekształcenie z L_n na wielomiany jest grupą homomorficzną a przwestrzeń k-płaskich kiełków jest właśnie jego jądrem.
Definicja: Grupa ilorazowa L_nw odniesieniu do normalnej subgrupy k-płaskich kiełków jest nazywana grupą k-strumieniową lokalnych dyfeomorfizmów przy 0 i jest oznaczana L_n^k . Piszemy j^kdla kanonicznej projekcjiz L_n na L_n^k. Dowód lematu wykazuje ,że L_n^kjest naturalnie izomorficzna do grup wielomianów stopnia ≤ k z odwracalną częścią liniową.
2.3.Twierdzenie Grupa L_n^k ma naturalną strukturę grup Lie.
Dowód: L_n^kjest otwartym podzbioremskończono wymiarowej przestrzeni wektorowej ζ_n^k wszystkich wiuelomianów P₁ + ... + P_k stopnia ≤ bez stałego wyrazu (dla L_n^k jest zbiorem wielomianów dla których det P₁ ≠ 0 ). Zatem L_n^k ma system współrzędnych globalnych, zdefiniowane przez współczynnik wielomianów P_r (1 ≤ r ≤ k). Iloczyn L_n^k x L_n^k → L_n^k jest definiowana przez operacje algebraiczne na współczynnikach a więc jest analityczny.Zatem L_n^kjest grupą Lie (analityczność inwersji wynika z elementarnych wyników grup Lie)
Spostrzeżenie
1) grupa L_n¹ to tylko GL(n,R)
2) dla k′ ≥ kjest naturalna projekcja z L_n^k′ do L_n^k a jest to homomorfizm grypy Lie.

2.4 Grupa L_n działa w natrualny sposób na ξ_n. Jeśli Φ ∈ L_n, wtedy przekształcenie Φ^* : f → f*Φ jest automorfizmem pierścienia ξ_n a przekształcenie Φ → Φ^* jest antymorfizmem grupy z L_n do Aut (ξ_n). W szczególności mamy Φ^* (M_n^k) = M_n^k dla każdego Φ ponieważ automorfizm pierścienia zachowuje unikalny maksymalny ideał i jego potęgi.
Definicja Dwa kiełki f,g ∈ ξ_n są (prawo) równorzędne (zapisane f ∼ g) jeśli jest Φ ∈ L_n takie ,że f.Φ = g , tj. jeśli f i g są w tej samej L_n-orbicie w ξ_n
2.5 Ponieważ Φ^* (M_n^k+1) = M_n^k+1 dla każdego Φ ∈ L_n , M_n^k+1 jest L_n-submodułem i J_n^k = ξ_n / M_n^k+1 jest L_n - modułem , a j_n^k : ξ_n → J_n^k jest homomorfizmem L_n - modułu .Jest jasne ,że k-płaski kiełek działa trywialnie na J_n^k tj. mamy następującą faktoryzację

Z drugiej strony. Φ∈ L_n^k działa na f ∈ J_n^k jak następuje: formuje złożenie f*Φ i zmniejsza względem stopnia ≥ k, innymi słowy ,ma następujący diagram komutatywny

w symbolach: j^k(f*Φ)= j^k(f)* Φ = j^k(f).j^k(Φ)
Spostrzeżenie Działanie L_n na M_n^k/M_n^k+1 może być faktoryzowane jak następuje

2.6 Nieskończenie małą generacja z L_n, L_n^k : Piszemy (t, x₁,..., x_n) dla punktu w R x Rⁿ .niech X będzie gładkim polem wektora w otwartym sąsiedztwie z R x {0} w R x Rⁿ formy

gdzie X(t,0) = 0 (t ∈ R). Krzywe całkowe X są funkcjami u:R→ R x Rⁿ z du/ds = X(u(s)), tj. rozwiąznia równań różniczkowych zwyczajnych
du₀/ds = 1; du_i/ds(t,x) = X_i(t,x) (i=1,...,n). Założenie X_i(t,0) zapewnia ,że R x {0} (tj. krzywa u₀ =id_R, u_i = 0 (i=1,...,n)) jest rozwiązaniem. Oznaczmy przez t |-> | (t,Φ(t,x)) rozwiązanie równania z warunkiem początkowym u(0) = (o,x). Wtedy z teroi rówanń różniczkowych zwyczajnych wynika ,że istnieje otwarty zbió U ⊆ R x Rⁿ zawierający [0,1]x{0}tak więc
a) U jest sumą krzywych całkowych X , które przechodzą przez (0,x) ∈U;
b) każa krzywa całkowa w U jest definiowana w sąsiedztwie przdziału [0,1];
c) dla t ∈[0,1], odwzorowanie Φ_t : x |-> Φ(t,x) jest dyfeomorfizmem z U₀ na U_t gdzie
U_t := {x ∈ Rⁿ : (t,x) &isin U}
.Dodatkowo, Φ_t(0) = 0 i Φ₀ = Id_Rn. Mamy zatem zdefiniowane przekształcenie X |-> Φ₁ które przekształca perwne kiełki pola wektora wzdłuż [0,1] x {0} ⊆ R x R_n do elementów L_n, tj. odwzorowuyje VL([0,1] x {0}) → L_n (gdzie VL oznacza zbiór pól wektorów spełaniających warunek wymuszony powyżej na X). To przekształcenie nie jest surjektywne ponieważ można wyliczyć ,że det D Φ_t(0) > 0 (ponieważ Φ jest orienacji nieskończenie małej)
Lemat :Każdy Φ∈L_n z det D Φ(0) > 0 jest w zakresie powyższego przekształcenia.
Dowód Możemy zapisac Φ(x) =Ax + Ψ(x) gdzie A := Dφ(0) a współrzędne Ψ są w M²_n. Ponieważ det A > 0, jest krzywa t |-> A(t) z R do GL(n,R) z A(0) = Id, A(1) = A. Niech Φ będzie przekształceniem
(t,x) |-> A(t).x + tΨ(x)
Dla kazdego t ∈ R, x |-> Φ(t,x) jest kiełkiem dyfeomorfizmu przy 0 a &Phi₀ = Id .Rozważmy pole wektora

gdzie Φ = (&Phi₁,...Φ_n).Wtedy, przez konstrukcję t |-> (t,Φ(t,x)) jest ktzywą całkową z X
2.8 Spostrzeżenie Jeśli elementy pola wektora Z (z 2.6) są k-płaskie w każdym punkcie R x {0} (k ≥ 1), wtdy kiełki dyfeomorfizmu Φ(t) są k-płaskie
2.9Możemy zidentyfikować ξ_n ( = M_n x ... x M_n - n czynników) z kiełkmai pól wektora przy zerze ,które zanikają na początku (przez przekształcenie (X₁,...X_n) |-> Σδ/δX_i). Jeśli X ∈ ξ_n , pole wektora X^ := δ/δt + X definiują podgrupę jednoparametrową Φ_t z L_n przez prces opisany w 2.6. (jest to podgrupa ponieważ X_i są niezależne od t).Przekształcenie
X |-> X^ |-> Φ₁
z ξ_n na L_n jest nazywane przekształceniem wykładniczym i zapisanym Φ₁ exp X. Dokładniej .Φ_t exp (tX)
2.10 ξ_n^k jest płaszczyzną styczną do grupy Lie, L_n^k przy Id_R^o (ponieważ L_n^k jest otwarty w ξ_n^k).ξ_n^k jest zatem bazową przestrzenią wektorową algebry Lie z L_n^k .Mamy naturalną grupę homomorficzną j^k : L_n → L_n^k (2.2) i naturalną projekcją j^k : ξ_n → ξ_n^k (2.3)
Twierdzenie : Poniższy wykres jest przemienny

Dowód : Jeśli x ∈ ξ_n a Φ_t = exp tX, definiujemy
Φ_t^k := j^k (exp tX) ( ∈ L_n^k).{Φ_t^k} jest jednoparametrową podgrupą z L_n^k a
δ / δ Φ_t^k | _t=0 = δ/δt J^kΦ_t |sub>t=0 = J^k δ/δt Φ_t | sub>t=0 = J^kX
a to charakteryzuje wykładnik exp t ð gdzie
ð := j^kX. Zatem Φ_t^k = exp t ð.
Zatem mamy metodę dla obliczania wykładnika z ð:=j^kX. ∈ ξ_n^k. Rozważyu pole wektora zdefiniowane przez X w Rⁿ inetgrując go i uzyskująć jednoparametrową podgrupę {Φ_t} lokalnego dyfeomorfizmu. Wtedy exp t ð = j^k Φ_t
Spostrzeżenie Możemy podać ξ_n naturalnej struktury algebry Lie jak następuje : jeśli X,Y ∈ ξ_n można wziąść nawiasy Lie [X,Y] powiązanych pól wektora. Wtedy [X,Y] ∈ ξ_n. Można pokazać ,że nawias Lie w algebrze Lie ξ_n^k jest podany wzorem [j^kX,j^kY] = j^k[X,Y].
2.11 Dla f ∈ ζ _n ,X ∈ ξ_n (X = &Sigma X_i δ/δX_i z X_i ∈ M_n) wstawiamy
F_t(x) (= F(t,x)) := f.exp tX
Wtedy F_tζ_n dla każdego t i F₀ = f
Twierdzenie : δF/δt |_t=0 = Σ X_i δf/δX_i (= Xf)
(wynika to z definicji krzywej całkowej pola wektora ). Wywołujemy f → Xf, nieskończenie małe działanie z X na f. Przekształcenie t → j^kF_t jest krzywą gładką w J_n^k przez j^kf i jest zawarta w orbicie j^kf pod tym działaniem z L_n^k. Wektor
δ/δt j^kF_t|_t=0 ∈ J_n^k
jest zatem wektorem stycznym do tej orbity j^kf.L_n^k. Wedle ogólnej teorii grup Lie , orbita j^kf jest zanurzoną podrozmaitością z J_n^k a przestrzeń styczna do orbity j^kf przy j^k jest dokładnie zbiorem wektorów uzyskanych powyżej (nieskończenie małe działanie algebry Lie na j^kf)
2.12. Twierdzenie : T_jk_f(jkf.L_n^k) ⊆ J_n^k jest podprzestrzenią

z J_n^k

3.1 Definicja. Dwa kiełki f,g w ξ_n są k-równoważne (zapisujemy

) jeśli j^k = j^kg w J_n^k. Przypominij sobie, że f i g są prawo równoważne keidy są w tej samej L_n - orbicie z ξ_n (2.4)>kełek f ∈ ξ_n jest k-określony jeśli każdy kiełek g który jest k-równoważy do f jest prawo rónoważny do f.
3.2 Lemat : Niech f ∈ ξ_n będzie k-określony. Wtedy
1) ⇒ g jest k-określony;
2) g ~ f ⇒ jest k-określony
(tj. właściwość będąca k-określona jest zasadniczo właściwością j^kf)
Dowód: Musimy tylko udowodnić 2) (ponieważ ⇒ g ~ f jako f jest k-określone)
Załóżmy ,że f = g*Φ₁ (Φ₁ ∈ L_n). Jeśli wtedy
j^kh = j^kg = j^k(f*Φ₁^-1) = j^kf.j^k(Φ₁^-1)
a więc
j^k(h.Φ₁) = (j^kh).(j^kΦ₁) = j^k(f). Zatem
a więc jest Φ₂ ∈ L_n z h. Φ₁.Φ₂ = f = g*Φ₁ , tj. h.(Φ₁.Φ₂.Φ₁^-1) = g .Zatem g ~ h
3.3 Definicja. Jeśli f ∈ ξ_n ,definiujemy
Δ(f) := <δf/δx₁ , ...,δf/δx_n >
ideał generowany przez pochodną cząstkową z f w odniesieniu do danej podstawy {x₁,...,x₁} dla Rⁿ/ &Delta(f) jest niezależnym wyborem podstawy.
3.4 Lemat: Jeśli f ∈ ξ/M_n i f′ := f - f(0) wtedy Δ(f) = Δ(f′) i f jest k-określone jeśli i tylko jeśli jest f′.
Dowód: Δ(f) = Δ(f′) ponieważ δf/δx_i = δ(f-f(0))/δx_i
i f(0) = g(0)
f = g*Φ ⇔ f′ = g′ *Φ i f(0) = g(0),
tj f ~ g ⇔ f′ ~ g′ i f(0) = g(0) .
Zatem w badaniu k-określeń możemy ograniczyć naszą uwagę do kiełka f ∈ M_n
3.5 Twierdzenie: Niech f będzie kiełkiem w M_n. Wtedy M_n^k ⊆ M_n. Δ(f)+ M_n^k+1 ⇔ j^k ( M_n^k) ⊆ k^k(M_n.Δ(f)) → f jest k-określone M_n^k+1 ⊆ M_n.Δ(f)+ M_n^k+2 ⇔ j^k+1( M_n^k+1) ⊆ j^k+1( M_n.Δ(f))
Dowód: Równoważności wypływają z 1.6. Teraz udowodnimy pierwszą implikację. Załóżmy ,że M_n^k ⊆ M_n.Δ(f) Weźmy g ∈ ξ_n z j^k(f) = j^k(g). Musimy wykazać istnienie Φ ∈ L_n tak więc f.Φ = g .Definiujemy
F : (x,t) |-> (1-t)f(x) + tg(x) (t ∈ R, x ∈ Rⁿ) i oznaczamy przez F^t funkcję x |-> F(t,x) tak więc F⁰ = f , F¹ = g. Dla udowodnienia wyniku użyjemy argumentu typu homotopijnego.
Twierdzenie.Jeśli t₀ ∈ [0,1] wtedy jest rodzina ⌈^t w L_n, definiujemy otoczenie t₀ takie ,że ⌈^t = id, F^t .⌈^t = F^t_o dla każdego t