Równania nieoznaczone. Ułamki łańcuchowe. Kombinatoryka. Dwumian Newtona

RÓWNANIA NIEOZNACZONE STOPNIA PIERWSZEGO Z DWIEMA NIEWIADOMYMI
§1. Rozwiązywanie równań nieoznaczonych w liczbach całkowitych
Określenie. Równaniem nieoznaczonym stopnia pierwszego zdwiema niewiadomymi nazywamy równanie, które po wykonaniu wszystkich przekształceń i uproszczeń ma postać
(1) ax + by = c
W równaniu (1) współczynniki a, b i c są liczbami całkowitymi, względnie pierwszymi, przy czym a ≠ 0 i b ≠ 0 Zazwyczaj zmieniamy znaki po obu stronach równania tak, aby było a > 0. Nadając jednej z niewiadomych dowolną wartość, możemy obliczyć odpowiednią wartość drugiej niewiadomej z jednego ze wzorów
x = c-by/a i y= c-ax/b
W ten sposób otrzymujemy nieskończenie wiele par liczb będących rozwiązaniem równania (1). Nas jednak będą interesowały jedynie rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych i przez rozwiązanie równania będziemy rozumieli jedynie pary liczb całkowitych Na przykład rozwiązaniami równania : 3x + 2 y = 37
są pary : (-3, 23), (1, 17), (9, 5), (13, - 1) itd.
(pierwsza liczba jest wartością niewiadomej x, a druga - niewiadomej y). Jak już powiedzieliśmy, współczynniki a, b i c są liczbami względnie pierwszymi. Dowiedziemy teraz, że liczbami względnie pierwszymi muszą być współczynniki a i b.
Twierdzenie. Równanie
(1) ax + by = c
ma rozwiązania całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i b są pierwsze względem siebie.
Dowód. Gdyby liczby a i b nie były względnie pierwsze, to miałyby wspólny dzielnik d:
a = a₁d, b = b₁d, gdzie d > 1. Wtedy lewa strona równania (1) byłaby podzielna przez d, ale prawa strona nie byłaby podzielna przez d, ponieważ liczby a, b i c są względnie pierwsze, a więc równanie (1) nie mogłoby mieć rozwiązań całkowitych. Jest to więc warunek konieczny rozwiązalności równania (1) w liczbach całkowitych. Okażemy teraz, że jest to warunek wystarczający. Zakładamy więc, że a i b są liczbami względnie pierwszymi. Wyznaczamy z równania (1) jedną z niewiadomych, np. x:
(2) x = c- by/a
Podstawiajmy za y kolejno a wartości, mianowicie y = 0, 1, 2, ..., a - 1 i dzielmy otrzymywane wartości licznika przez a. Otrzymamy przy tych dzieleniach a reszt, które muszą być różne. Istotnie, przypuśćmy, że przy dwóch różnych wartościach na y, np. y1 i y2, gdzie 0 ≤ y1 < y2 < a, otrzymujemy równe reszty r, tak iż
c - by₁ = aq₁ + r i c - by₂ = aq₂ + r.
Odejmując stronami otrzymujemy
b (y₂ - y₁) = a (q₁ - q₂),
co jest niemożliwe, gdyż prawa strona tej równości jest podzielna przez a, podczas gdy lewa strona nie jest podzielna przez a, ponieważ a i b są pierwsze względem siebie i 0 < y₂ – y₁ < a
Mamy zatem a różnych reszt mniejszych od a, przeto jedna z nich musi być równa 0. Istnieje więc taka wartość liczby y (oznaczmy ją przez y₀), dla której prawa strona wzoru (2) jest liczbą całkowitą i x równa się pewnej liczbie całkowitej x0. Tak więc para liczb (x₀,y₀) jest rozwiązaniem równania (1) w liczbach całkowitych. Okażemy teraz, że równanie (1) ma nieskończoną ilość rozwiązań całkowitych. Istotnie, mamy ax₀ + by₀ = c (gdzie x₀ i y₀ są liczbami całkowitymi). Odejmując tę tożsamość od równania (1) otrzymujemy
a (x - x₀) + b (y - y₀) = 0,
skąd
(3) a (x - x₀) = -b(y – y₀).
Lewa strona tej równości jest podzielna przez a, więc prawa strona również musi być podzielna przez a. Ale b jest liczbą pierwszą względem a, więc y - y₀ musi być podzielne przez a i
(4) y - y₀ = at ,
(gdzie t jest liczbą całkowitą. Podstawiając we wzorze (3) otrzymamy i x-x₀ = -bt i ostatecznie
(5) x= x₀ - bt
y=y₀ + at
gdzie t jest liczbą całkowitą. Podstawiając w równaniu (1) za x i y otrzymane wyrażenia (5) otrzymamy tożsamość ax₀ + by₀ = c, a więc wory (5) gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą, dają ogólne rozwiązanie równania (1). Streszczając otrzymane wyniki przychodzimy do następującego wniosku: jeżeli a i b są pierwsze względem siebie, równanie (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych, które znajdujemy w sposób następujący: za pomocą co najwyżej a podstawiań znajdujemy jedno rozwiązanie szczególne, a następnie znajdujemy rozwiązanie ogólne dodając odpowiednio do rozwiązania szczególnego jedenej z niewiadomych wielokrotność współczynnika przy drugiej niewiadomej, przy czym przy jednej wielokrotności zmieniamy znak współczynnika.
Przykłady. Rozwiązać równania:
1) 7x + 8y = 86.
Wyznaczymy niewiadomą z mniejszym bezwzględnie współczynnikiem :
x = 86-8y/7
Podstawiamy za y kolejno y = 0, 1, 2,...6. Przy y = 2 otrzymujemy x = 10, a więc

Sprawdzenie 7 (10 - 8t) + 8 (2 + 7t) = 86,
70 = 56t + 16 + 56t = 86,
86 = 86.
2) 11x - 9y = 25.
Wyznaczamy y: ,br> y = 11x-25/9
Podstawiamy za x kolejno x: = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Przy a = 8 otrzymujemy y = 7. Rozwiązanie ogólne

Sprawdzenie
11 (8 + 9t — 9 (7 + 11t) = 25,
88 + 99t - 63 - 99t = 25,
25 = 25.
Uwaga. Rozwiązanie ogólne może mieć różną postać w zależności od rozwiązania szczególnego i znaku przy parametrze. Na przykład w ostatnim przykładzie biorąc t = - u, otrzymujemy
x = 8 – 9u,
y = 7 – 11u,
lub biorąc t = v-1 otrzymamy
x = 9v-1,
y = 11v – 4 itp
§ 2. Drugi sposób rozwiązywania równań nieoznaczonych
W poprzednim paragrafie dowiedliśmy, że za pomocą skończonej ilości prób można zawsze wyznaczyć parę liczb będącą rozwiązaniem ogólnym. Jeżeli współczynniki nie są zbyt wielkie, podstawianie nie sprawia dużych trudności, ale inaczej przedstawia się sprawa, gdy współczynniki są wielkie. W poprzednich przykładach czytelnik zapewne zauważył, że w pierwszym przykładzie już przy trzecim podsatwieniu otrzymaliśmy resztę 0, ale w drugim przykładzie trzeba było wykonać wszystkie możliwe podstawienia i dopiero przy ostatnim otrzymaliśmy żądaną resztę. Np. w równaniu 119x - 116y = 226 trzeba by było wykonać 116 prób na y albo 115 na x, żeby otrzymać szczególną odpowiedź. Euler podał krótszy sposób oparty na algorytmie Euklidesa.
Mamy rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
(1) ax + by = c,
gdzie a i b oraz a, b i c są liczbami względnie pierwszymi. Zakładamy, że 1 < |a| < |b|.
Z, (1) otrzymujemy
(2) x = c-by/a
Podzielmy (z resztą ) b i c przez a Mamy
(3) b =p₁a + b₁, c=q₁a+c₁
gdzie |b₁| < |a| < |b|
Ponieważ a i b są względnie pierwsze, więc z (3) wynika, że a i b1 również są względnie pierwsze. Po podstawieniu wzorów (3) we wzorze (2) i po wyłączeniu całości otrzymujemy
x = q₁ – p₁y + c₁-b₁y/a
Ponieważ wszystkie liczby po prawej stronie są całkowite, więc x będzie liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie,
c₁-b₁y/a
będzie liczbą całkowitą, czyli
c₁-b₁y/a = t₁,
skąd
(4) b₁y + at₁ = c₁
i (5) x = q₁ - p₁y + t₁ W ten sposób od równania (1) przeszliśmy do równania (4) o mniejszych współczynnikach.
Powtarzamy te same rozumowania dla równania (4):
(6) y = c₁ – at₁/b₁
Dzielimy c1 i a przez b₁ Mamy
(7) a = p₂b₁+b₂, c₁ = q₂b₁ + c₂;

analogicznie jak poprzednio |b2| < |b1| oraz b1 i b2 są pierwsze względem siebie. Podstawiając (7) do (6) otrzymujemy
(8) y= q₂ – p₂t₁+c₂-b₂t₁/b₁ = q₂ – p₂t₁+t₁
gdzie t₂ = c₂-b₂2t₁/b₁ ,skąd
(9) b₂₁t₁ + b₁t₂ = c₂.
Od równania (4) przeszliśmy do równania (9) o mniejszych współczynnikach.
Z równości (9) wyznaczamy t₁ :
(10) t₁ = c₂-b₁t₂/b₂ = q₃ – p₃3t₂ + t₃
gdzie
t₃ = c₃-b₃t₂/b₂ , i
(11) b₃t₂ + b₂t₃ = c₂ itd.
…..............................................................................

(12) b_nt_n-1 + b_n-1t_n = c_n
A więc za pomocą kolejnego dzielenia otrzymywaliśmy liczby b,a,b₁,b₂,...b_n .
Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich malejących, przeto nie może być ciągiem nieskończonym i w końcu musimy dojść do jakiejś reszty b_n = 1, tak iż
(13) t_n-1 = c_n - b_n-1 t_n.
Podstawiając kolejno otrzymane wyrażenia w poprzednie wzory, dojdziemy wreszcie do wzorów
(8) i (5) i przedstawimy y i x w postaci funkcji liniowej o współczynnikach całkowitych zmiennej niezależnej t_n. Jak widzimy, przejście od jednego równania do drugiego polegało na zastosowaniu algorytmu Euklidesa.
Przykłady
1. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
(1) 15x + 26 y = 358.
Wyznaczamy niewiadomą, przy której jest mniejszy współczynnik.
(2) x = 358 – 26y / 15 = 23 – y + 13-11y/15 = 23 – y +t₁
gdzie t₁ = 13-11y/15
Stąd otrzymujemy równanie
(3) 11y + 15t₁= 13.
Wyznaczamy y:
(4) y = 13-15t₁/11 = 1 – t₁ + 2-4t₁/11 = 1 – t₁ + t₁
gdzie t₂ = 2- 4t₁/11
Stąd otrzymujemy równanie
(5) 4t₁ +11t2 = 2.
Z (5)
(6) t₁ = 2 – 11t₂/4 = -2t₂+2-3t₂/4 = -2t₂+t₃
gdzie t₃ = 2 – 3t₂/4 ,czyli
(7) 3t₂ + 4t₃ = 2
Wyznaczamy t₁:
(8) t₂ = 2-4t₁/3 = -t₃+2-t₃/3 = -t₃ + t

gdzie t =2-t₃/3, skąd
(9) t₃=2- 3t
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do (8):
(10) t₂ = -2 + 3t + t = -2 + 4t
Wyrażenia (9) i (10) podstawiamy do (6) i otrzymujemy
(11) t₁ = 4-8t+2-3t = 6 – 11t
Wreszcie (10) i (11) podstawiamy do (4) i otrzymujemy
(12) y = 1 – 6 + 11t -2 + 4t = -7 + 15t
Wreszcie (11) i (12) podstawiamy do (2) i otrzymujemy
(13) x = 23+7 – 15t + 6 – 11t = 36 – 26t
Wzory (13) i (12) są ogólnymi rozwiązaniami równania (1):
x = 36 – 26t,
y = -7 + 15t,
Kładąc np. t = 1 znajdziemy x = 10, y = 8.
2) Rozwiążmy teraz równanie, o którym była mowa na początku paragrafu
(1) 119x – 116y = 226
Wyznaczamy y
(2) y = 119x – 226/116 = x-1+ (3x – 110/116) = x – 1 + t₁ .
gdzie t₁ = 3x-110/116, skąd
(3) 3x-116t₁ = 110
Wyznaczamy x:
(4) x = 116t₁+110/3 = 38t₁+36+(2t₁+1/3) = x-1+t₁
gdzie t₂ = 2t₁+2/3

(5) 2t₁ – 3t₂ = -2
Dalej mamy
(6) t₁ = 3t₁-2/2 = t₂ – 1+t₂/2 = t₂ -1 + t
gdzie t = t₂/2 , a więc
t₂ -= 2t,
t₁ = 2t-1 + t = 3t-1,
x = 38(3t-1)+36+2t = 116t -2,
y = 116t – 2 -1 + 3t -1 = 119t -4
Kładąc t = 1 mamy
x = 114, y = 115.
Są to najmniejsze całkowite dodatnie wartości liczb x i y, gdybyśmy przeto wyznaczali y za pomocą podstawiania za x wartości 0, 1, 2,. . . itd., to dopiero przy 115-tym podstawieniu x = 114 otrzymalibyśmy y = 115. Widzimy więc, że w tym wypadku sposób Eulera jest znacznie krótszy od pierwszego, ale i ten eulerowski sposób można nieraz skrócić stosując pewne uproszczenia, o czym pomówimy w następnym paragrafie.
§ 3. Uproszczone sposoby rozwiązywania równań nieoznaczonych
W celu przyśpieszenia rozwiązania możemy zastosować kilka sposobów.
1. Łatwe wyznaczanie rozwiązań szczególnych
α) Jeżeli w równaniu ax + by = c wolny wyraz c = 0, czyli
ax + by = 0,
to mamy od razu jedno rozwiązanie x = y = 0, skąd
x = ± bt, y = ±at.
β) Jeżeli c jest wielokrotnością jednego ze współczynników, np. c = ac₁ mamy ax + by = ac₁; kładąc y = 0 otrzymujemy x = c₁ i ostatecznie
x = c₁ - bt, y = at.
Przykłady
1) 7x + 3y = 140.
Kładąc y = 0, mamy 7x = 140, x = 20 i ostatecznie x = 20 - 3t, y = 7t.
2) 9x - 25y = 625.
Kładąc x = 0, mamy -25y = 625, y = - 25 i ostatecznie x = 25t, y = - 25 +9t.
γ) Jeżeli jeden ze współczynników równy jest jedności, np. a = 1 i x + by = c, to możemy wyrazić x jako funkcję y:
x = c - by,
gdzie y jest dowolną liczbą całkowitą. To samo można wyrazić za pomocą wzorów
x = c - bt, y = t.
Np. x + 7y = 33. x = 33 - 7y, gdzie zmiennej y możemy nadawać dowolne wartości całkowite.
2. Wprowadzanie nowych niewiadomych
Jeżeli jeden ze współczynników ma wspólny dzielnik z wolnym wyrazem, możemy dane równanie zastąpić równaniem o mniejszych współczynnikachj w sposób następujący: Przypuśćmy, że w równaniu
(1) ax+by=c
liczby a i c mają wspólny dzielnik d; wtedy a = a₁d i c = c₁d, a równanie przybierze postać
(2) a₁dx by = c₁d.
Ponieważ a₁ i b są liczbami względnie pierwszymi, żeby więc równanie miało rozwiązania całkowite, y musi być podzielne przez d, czyli y = dy₁.
Po podstawieniu i skróceniu równanie (2) przybierze postać
(3) a₁x+by₁ = c₁
skąd wyznaczamy x i y₁ a następnie y.
Przykłady
1) Rozwiązać równanie
30x + 7 y = 228.
Liczby 30 i 228 mają wspólny dzielnik 6; kładąc y = 6y₁ otrzymujemy
30x + 42y₁ = 228,
skąd
5x + 7 y₁ = 38.
Rozwiązując to równanie otrzymujemy
x = 2 + 7t , y₁ = 4 - 5t
i ostatecznie
x = 2 + 7t , y = 24 -30t.
2) Rozwiązać równanie
21x + 10y = 175.
Tutaj oba współczynniki mają wspólne dzielniki z wolnym wyrazem: 21 ma wspólny dzielnik 7, a 10 ma wspólny dzielnik 5. Wprowadzamy nowe niewiadome biorąc x = 5x1 i y = 7y1. Otrzymamy nowe równanie 105x₁ + 70y₁ = 175 i po skróceniu przez 35:
3x₁ + 2y₁ = 5.
Zauważmy, że suma współczynników 3 + 2 = 5, a więc
x₁ = y₁ = 1 ,czyli
x₁ = 1 + 2t, y₁ = 1- 3t
i ostatecznie
x = 5 + 10t, y = 7- 21t.
3.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Może się zdarzyć, że przy rozwiązywaniu równania drugim sposobem oba wyrazy w liczniku ułamka otrzymanego po wyłączeniu całości mają wspólny czynnik. Wtedy wyłączamy ten czynnik przed nawias i traktujemy go jako współczynnik przy zmienionym ułamku. Takie postępowanie przyśpiesza otrzymanie reszty 1.
Przykład. Rozwiązujemy równanie
17x+ 39y = 83.
Wyznaczamy x:
x =83-39y/17 = 4 -2y + 15 – 5y/17
Wyłączamy przed nawias 5:
x = 4 – 2y + 5(30 - y)/17
Ponieważ 5 i 17 sa względnie pierwsze, więc x będzie liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy różnica 3 - y będzie podzielna przez 17, czyli gdy 3 - y = 17t. Stąd y = 3 – 17t i x = 4 - 2y + 5t. = 39t – 2.
4. Wprowadzanie reszt ujemnych
Jeżeli przy kolejnym dzieleniu reszta okazuje się większa od połowy dzielnika, to możemy skrócić rachunki zwiększając iloraz o 1 i wprowadzając resztę ujemną, której wartość bezwzględna jest mniejsza niż wartość bezwzględna reszty dodatniej. Jako przykład zastosujemy ten sposób do rozwiązania drugiego równania w § 2:
(1) 119x -116y= 226.
Wyznaczamy y:
(2) y = 119x – 226 / 116
Przy dzieleniu 226 przez 116 otrzymaliśmy iloraz 1 i resztę 110. Zastosujemy resztę ujemną: otrzymamy iloraz 2 i resztę -6; zapis (2) będzie miał teraz postać
y = z – 2 + 3x+6/116 = x – 2 + 3* (x+2/116)
Oznaczając x+2/116 otrzymamy
x = -2 + 116t,
y = - 2 + 116t - 2 + 3t = - 4 + 119t.
Rozwiążmy jeszcze równanie
14x - 27y = 16.
Wyznaczmy x:
x = 27y+16/14
Biorąc w dzieleniu 27 przez 14 iloraz zwiększony 2 otrzymujemy resztę ujemną -1, a więc
x = 2y+1 + (-y+2)/14 = 2y +1 – (y-2)/14
Kładąc y-2/14 = t otrzymujemy
y = 2+14t, x = 4 + 28t + 1 – t = 5 + 27t
5.Sposób mieszany
Przy większych liczbach rozpoczynamy rozwiązywanie równania sposobem eulerowskim, dopóki nie otrzymamy takiego ułamka, którego licznik przy pewnym, rzucającym się w oczy, podstawieniu zamienia się w zero lub wielokrotnośc mianownika. Obliczamy wtedy wartość wszystkich parametrów oraz obu niewiadomych, znajdując w ten sposób rozwiązania szczególne, a następnie układamy rozwiązanie ogólne
Przykłady.
1) Rozwiązać równanie
61x+28y = 463
Wyznaczamy y:
y = 463-61x/28 = 17 – 2x – 13+5x/28
Kładziemy t₁ = 13+5x/28, skąd 28t₁ = 13 + 5x i
x = 28t₁-13/5 – 5t₁ – 2 + 3(t₁-1)/5 Widzimy ,że przy t₁ = 1 licznika ułamka zamienia się w zero, a więc x =5 – 2 = 3 , y = 17 – 6 -1 = 10
Rozwiązanie ogólne będzie
x = 3 – 28t
y = 10 + 61t
2)Rozwiązać równanie
47x + 29y = 4845
Wyznaczamy y :
y = 4845-47x/29 = 167 – x + 2(1-9x)/29
Oznaczamy t₁ = 1-9x/29,
skąd 1 – 9x = 29t₁ , x = 1-29t₁/9 = -3t₁+ 1-2t₁/9
Łatwo zauważyć ,że przy t₁ = 5 licznik równa się -9. A więc x = -15 -1 = -16, y = 167 + 16 + 10 = 193. Rozwiązanie ogólne
x = -16 + 29t
y = 193 – 47t
§ 4. Rozwiązywanie równań nieoznaczonych liczbach naturalnych
Są zagadnienia wymagające odpowiedzi w liczbach naturalnych i w tych więc liczbach należy rozwiązywać równania nieoznaczone. W tym celu należy dane równania przede wszystkim rozwiązać w liczbach całkowitych, a następnie na rozwiązanie ogólne narzucić dodatkowe warunki x > 0 , y > 0 .Współczynniki przy niewiadomych mogą być znaków przeciwnych albo jednakowych . Wobec tego każde równanie nieoznaczone stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi musi należeć do jednego z dwóch typów : ax – by = c albo ax + by = c , gdzie a > 0 i b > 0. Rozważmy każdy z tych wypadków z osobna.
1. ax – by = c
Rozwiązania ogólne będzie
x = x₀ + bt
y = y₀ + at
gdzie t jest liczbą całkowitą. Aby x i y były liczbami naturalnymi, musi być spełniony układ nierówności:
x₀ + bt > 0,
y₀ + at > 0
Rozwiązujemy ten układ względem t :
bt > - x₀ t > -x₀ /b,
at > - y₀ t > -y₀ /a ,
Obie nierówności są tego samego zwrotu, a więc wszystkie wartości t większe od większej z dwóch liczb -x₀ /b i -y₀ /a dają rozwiązania danego równania w liczbach naturalnych. Zatem równanie postaci ax - by = c (a > 0, b > 0) jest zawsze rozwiązalne w liczbach naturalnych i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Przykład. Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie
21 x - 13 y = 7.
Wyznaczamy y:
y = 27x – 7/13 = 2x + x-7/13;
kładąc x-7/13 = t otrzymujemy
x = 7 + 13t, y = 14 + 27t.
Rozwiązujemy układ nierówności
7 + 13t > 0
14 + 27t > 0
Z pierwszej nierówności otrzymujemy t > - 7/13, a z drugiej t = > - 14/27
Rozwiązanie możemy przedstawić w postaci tabelki
:
2. ax + by = c, gdzie a > 0, b > 0.
Rozwiązanie ogólne ma postać
x = x⁰ – bt
y = y⁰ + at
Aby x i y były liczbami naturalnymi, musi być spełniony układ ii ii równości.
x⁰ - bt > 0,
y⁰ + at > 0.
Rozwiązujemy ten układ względem t:
x⁰- bt > 0, bt < x⁰, t < x⁰/b y⁰ + at > 0, at > - y⁰, t < -y⁰/a Otrzymaliśmy dla t dwie nierówności o zwrotach przeciwnych. Mogą tu zajść trzy wypadki.
a) Nierówności są sprzeczne - równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
b) Nierówności nie są sprzeczne ale w przedziale (- y0/a, x0/b) nie ma liczby całkowitej - równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych
c) W przedziale (- y⁰/a, x⁰/b) jest zawarta skończona liczba liczb całkowitych - równanie ma skończoną liczbę rozwiązań w liczbach naturalnych.
Przykłady
1) 7x + 5y = - 11.
x = 5t - 3,     5t, - 3 > 0    t > 3/5,
y = - 7t+ 2,     - 7t + 2 > 0,     t < 2/7
Nierówności na t są sprzeczne, równanie me ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
Uwaga. Z samej postaci równania można było z góry przewidzieć, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, gdyż suma liczb naturalnych nie może być ujemna ani równa zeru.
2) Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie 7x + 13 y = 44.
Wyznaczamy x:
x = 44-13y/7 = 6 – 2y + 2+y/7;
kładąc 2+y/7 = t, otrzymujemy
x = 10 — 13t, y = 7t -
. Rozwiązujemy układ nierówności
10 — 13t > 0,     13t < 10,     t < 10/13
7t - 2 > 0,    7t > 2,     t > | 2/7,
czyli 2/7 < t < 10/13 .
Ale przedział (2/7, 10/13) nie zawiera liczby całkowitej, przeto nanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
3) Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie 17x: + 10 y = 747.
Wyznaczamy y:
y = 747 – 17x/ 10 = 74 – x +7 * (1-x/10)
Przy x = 1 mamy y = 73. A więc
x = 1 + 10t , y = 73 -
. Rozwiązujemy układ nierówności
1+10t>0,    10t >-1,    t> -1/10,
73 - 17t > 0,     17t < 73,     t < 4*(5/17),
czyli
-1/10 < t < 4*5/17
Przedział (-1/10, 4*5/17) zawiera 5 liczb całkowitych: t = 0, 1, 2, 3, 4. Równanie ma zatem 5 rozwiązań w liczbach naturalnych, które możemy przedstawić w tabelce:

§ 5. Cechy nierozwiązalności w liczbach naturalnych równań nieoznaczonych
W niektórych wypadkach możemy z góry przewidzieć, że równanie postaci ax + by = c (a > 0, b > 0) nie ma rozwiązań naturalnych. O jednym wypadku mianowicie gdy c ≤ 0, już mówiliśmy wyżej w § 4 p. 2, przykład 1). Podamy jeszcze dwie inne cechy. Równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, jeżeli c jest mniejsze od któregokolwiek ze współczynników a lub b. Istotnie, niech np. c < a. Wtedy ax > c (bo x ≥ 1) i tym bardziej ax + by > c, a to przeczy danemu równaniu. Równanie ax + by = c (a > 0, b > 0) nie ma też rozwiązań w liczbach naturalnych, jeżeli c = ab. Istotnie, równanie będzie miało wtedy postać ax + by = ab. Kładąc y = at otrzymamy
ax + abt = ab,
skąd
x = b - bt.
Rozwiązując układ nierówności at > 0 i b - bt > 0 otrzymujemyt > 0 i t < 1. Ale przedział (0,1) nie zawiera liczby całkowitej, więc równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Mamy więc trzy cechy nierozwiązalności w liczbach naturalnych równania ax + by = c (a > 0, b > 0):
1) c ≤ 0,
2) c > 0 i c < a lub c < b,
3) c = ab.

RÓWNANIA STOPNIA PIERWSZEGO Z TRZEMA LUB WIĘCEJ NIEWIADOMYMI
§6. Układy równań nieoznaczonych stopnia pierwszego
Do równania nieoznaczonego stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi możemy sprowadzić te układy stopnia pierwszego, w których liczba niewiadomych jest o 1 większa od liczby równań, a więc przede wyszystkim układ dwóch równań z trzema niewiadomymi.
(1) a₁x+b₁y+c₁z = d₁,
(2) a₂x+b₂y+c₂z = d₁
przy czym zakładamy, że współczynniki przy niewiadomych nie mają wspólnego dzielnika.
Wyznaczając z któregokolwiek równania dowolnie obraną niewiadomą, np. niewiadomą z z równania (2):
(3) z = d₂-a₂x-b₂y / c₁
i podstawiając to wyrażenie zamiast z w równaniu (1), otrzymujemy po dokonaniu uproszczeń równanie
(4) a₃x + b₃y = d₁.
Jeżeli współczynniki a₃ i b₃ są względnie pierwsze, znajdujemy rozwiązanie ogólne tego równania w postaci
(5) x = x₀ - b₃t
y = y₀ + a₃t
Otrzymane wyrażenia podstawiamy zamiast x i y w równaniu (3) i otrzymujemy po dokonaniu uproszczeń równanie
(6) c₃z + et = d₁
Jeżeli c₃ i e są liczbami względnie pierwszymi, znajdujemy rozwiązanie ogólne
(7) z = z₀ – eu,
t = t₀ + c₃u
Podstawiając we wzorach (5) zamiast t ostatnie wyrażenie otrzymujemy rozwiązanie ogólne
(8) x = x₀ – b₃(t₀+c₃u),
y = y₀ + a₃(t₀+c₃u)
z = z₀ - eu
gdzie u jest dowolną liczbą całkowitą.
Jeżeli układ (1), (2) ma być rozwiązany w liczbach naturalnych, rozwiązujemy względem u układ nierówności.
x = x₀ – b₃(t₀+c₃u) > 0
y = y₀+ a₃(t₀+c₃u) > 0
z = z₀ – eu > 0 ₀ W zależności od rozwiązania tego układu równania (1) i (2) bądź wcale niemają rozwiązań w liczbach naturalnych, bądź mają skończoną liczbę rozwiązań, bądź mają ich nieskończenie wiele.
Przykłady
1.Rozwiązać w liczbach całkowitych układ
(1) 2x+3y+4z = 18,
3x+8y-z = 2
Z drugiego równania wyznaczamy z:
z = 3x + 8y - 2.
Podstawiamy w pierwsze równanie:
2x + 3y + 12x + 32y - 8 = 18,
skąd
(2) 14x + 35y = 26.
Współczynniki 14 i 35 mają wspólny dzielnik 7, który nie jest dzielnikiem wolnego wyrazu 26, wobec czego równanie (2) nie ma rozwiązań całkowitych, a więc układ (1) także nie ma rozwiązań całkowitych
2) Rozwiązać w liczbach naturalnych układ
(1) 2x + 3y + 2z = 23,
3x + 2y + z = 5.
Wyznaczamy z z drugiego równania:
(2) z = 5 - 3x - 2 y
i podstawiamy w pierwsze równanie:
2x 3y + 10 — 6x — 4y = 23,
(3) - 4x - y = 13,
czyli 4x + y = - 13.
Ponieważ równanie (3) nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, więc układ (1) również nie ma takich rozwiązań. Ma on natomi rozwiązania w liczbach całkowitych. Z (3) wyznaczamy y.
(4) y = - 4x - 13
i z równania (2) po podstawieniu mamy
(5) z = 5 -3x + 8x + 26 = 31 + 5x.
Wzory (4) i (5), gdzie x jest dowolną liczbą całkowitą, dają rozwiązanie ogólne układu (1) w liczbach całkowitych.
3) Rozwiązać w liczbach naturalnych układ
(1) 5x+7y+6z = 593,
11x + 10y + 4z = 455
Z drugiego równania wyznaczamy z:
(2) z = 455 – 11x = 10y / 4
Podstawiamy zamiast z w pierwsze równanie:
5x + 7y + 3(455-11x-10y)/2 = 593
skąd
(3) 23x+ 16 y = 179.
Z równania (3) otrzymujemy
(4) x = 5 – 16t
(5) y = 4 +23t
Otrzymane wyrażenia podstawiamy we wzór (2) i otrzymujemy
z = 360 – 54t/4 = 90 – 13t – t/2
Kładąc t = 2u mamy ostatecznie
x = 5 – 32u
y = 4 + 46u
z = 90 – 27u
Z nierówności 5 - 32u > 0, 4 + 46u > 0, 90 - 27u > 0 wynika jedyna możliwa wartość u = 0 i ostatecznie
x = 5, y = 4, z = 90.
Układ ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach naturalnych.
4) Hodowca sprzedawał jaja kurze po 2 zł, kacze po 3 zł i gęsie po 5 zł za sztukę. Gdyby sprzedawał tylko jaja kurze i kacze, otrzymałby za nie 769 zł, a za jaja kacze i gęsie otrzymałby 868 zł. Ile jaj każdego o gatunku sprzedał hodowca, jeżeli każdego gatunku sprzedał ponad 100 sztuk?
Rozwiązanie. Przypuśćmy, że hodowca sprzedał x jaj kurzych, y jaj kaczych i z jaj gęsich. Ponieważ za jaja kurze i kacze otrzymałby 769 więc 2x + 3y = 769. Za jaja kacze i gęsie otrzymałby 868 zł, więc 3y + 5z = 868.
Mamy zatem do rozwiązania w liczbach naturalnych układ
(1) 2x+3y = 769
(2) 3y+5z = 868
Z równania (1) mamy:
x = 384 – y + 1-y/2 ; kładąc 1-y/2 = t otrzymamy
y = 1 - 2t, x = 383 + 3t.
Podstawiając y = 1- 2t w równaniu (2) otrzymujemy
3 - 6t + 5z = 868,
skąd
z = 173 + 6/5t.
Kładąc t = -5u mamy
z = 173 – 6u
y = 1 + 10u
x = 383 – 15u
Ponieważ jaj każdego gatunku było ponad 100 sztuk, zatem mam układ nierówności
173 - 6u > 100, u ≤ 12,
1 + 10u > 100, u ≥ 10,
383 - 15u > 100, u ≤ 18,
i ostatecznie 10 ≤ u ≤ 12.
Zadanie ma 3 rozwiązania, które możemy przedstawić w tabelce

5) Rozwiązać w liczbach naturalnych układ
(1) 2x – 3y + z = 6
4x + 3y – 4z = -9
Z pierwszego równania wyznaczamy z :
(2) z = 6 – 2x + 3y
i podstawiamy w drugie równanie:
4x + 3y – 4 (6 – 2x+3y) = -9
a po uproszczeniu
(3) 4x – 3y = 5
skąd
(4) x = 2 + 3t
y = 1 + 4t
Z (2) i (4) otrzymujemy
(5) a = 5 + 6t.
Z układu nierówności
2 + 3t > 0, 1 + 4t > 0, 5 + 6t > 0 otrzymujemy t ≥ 0, a więc układ (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych. Jeżeli dany jest układ 3 równań z 4 niewiadomymi to rugujemy jedną z niewiadomych i sprowadzamy dany układ do układu 3 rónwnań, z któych dwa zawierają tylko trzy niewiadome. Ten ostatni układ z trzema niewiadomymi rozwiązujemy znanym już nam sposobem, a następnie wprowadzamy do rozwiązań wyrugowaną poprzednio niewiadomą i szukamy rozwiązania ogólnego. Tą samą metodę stosujemy do rozwiązywania układu n równań z n+1 niewiadomymi
Przykład. Rozwiązać w liczbach naturalnych układ
(1) 7x+10y-13z-2u = 113
(2) 5x-3y+2z-3u = 36
(3) 3x-2y-3z+4u = 35
Rozwiązanie .Z równania (1) wyznaczamy u:
(4) u = 7x+10y-13z – 113 / 2
Podstawiając (4) w równania (2) i (3), otrzymujemy
(5) 11x+36y-43z = 267
(6) 17x + 18y -29z=261
Sprowadziliśmy więc ,układ (1)-(2)-(3) do układu (4)-(5)-(6), w którym równania (5) i (6) zawierają trzy niewiadome, z równaniami (5) i (6) postępujemy znanym już sposobem. Z(6) wyznaczamy
(7) y = 261 -17x+29z / 2
Z (5) i (7) mamy
(8) 23x-15z= 255 skąd
(9) x = 15t₁ , z = 23t₁ - 17
Otrzymane wyrażenie podstawiamy za x i z we wzorze (7) i po uproszczeniu znajdujemy
y = 23t₁ – 13 – t₁ – 1 / 9
Kładąc t₁ – 1 / 9 = t otrzymujemy
(10) t₁ = 9t + 1
(11) y = 206t + 10
Z (10) i (9) otrzymujemy
(12) x = 135t + 15
(13) z = 207t+6
Podstawiając we wzorze (4) zmaiast x,y ,z wzpry (12), (11), (13) otrzymujemy
(14) u = 157t + 7
Wzory (12),(11),(13)i (14) dają nam rozwiązanie ogólne układu (1)-(2)-(3). Łatwo zauważyć, że przy t ≥ 0, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych
§7. Równanie nieoznaczone z trzema niewiadomymi
Równanie nieoznaczone stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi ma postać
(1) ax+by+cz = d,
gdzie a,b,c i d są liczbami względnie pierwszymi. Aby równanie (1) było rozwiązalne w liczbach całkowitych, współczynniki a, b i c nie mogą mieć wspólnego czynnika. Istotnie, gdyby było a = a₁k, b = b₁k i c = c₁k, to równanie (1) miałoby postać
a₁kx + b₁ky + c₁kz = d
i d musiałoby być podzielne przez k, co przeczy założeniu. Rozwiązanie takiego równania w liczbach całkowitych będzie polegało na bezpośrednim wyrażeniu jednej niewiadomej z niewiadomych