Algebra wyższa

1. Przegląd ważnych podstaw
Zbierzemy tu niektóre z podstaw elementarnej teorii grup a jednocześnie określimy notację, jakiej będziemy używać. Następujące terminy powinny być dobrz zrozumiane przez czytelnika:
grupa, grupa abelowa, podgruoa, warstwa, normalna podgrupa, grupa ilorazowa, rząd grupy, homomorfizm, jadro homomorfizmu, izomorfizm, normalizator podgrupy, centralizator podgrupy,sprzężoności, indeks podgrup, podgrupy generowane przez zbió elementów. Oznaczamy element neutralny grupy G przez e, a zbiór G^# = G - {e}. Jeśli G jest grupą i jeśli H jest podgrupą G , zazwyczaj po prostu piszemy H ≤ G. Homomorfizmy są zazwyczaj zapisywane jako operatory lewostronne :zatem jeśli Φ : G → G′ jest homomorfizmem grupy,i jeśli g ∈ G, zapisujey obraz g w G′ jako Φ(g)
Oto podstawy teorii grup skończonych
Twierdzenie 1.1.1 (Twierdzenie Lagrange′) .Niech G będzie grupą skończoną i niech H będzie podgrupą z G .Wtedy |H| dzieli się przez |G|.
Twierdzenie 1.1.2 (Fundamentalne twierdzenie homomorfizmu). Niech G i G′ będą grupami i załóżmy ,że &Phi::G → G&prime jest homomorfizmem surjektywnym.
Wtedy
G/kerΦ ≅ G′
via gkerΦ |-> Φ(g). Co więcej, przekształcenie
Φ^-1 : {podgrupy G′} → {podgrupy z G , które zawierają kerΦ}
jest bijekcją, ponieważ jest przekształceniem
Φ^-1 : {normalne podgrupy G′} → {normalne podgrupy z G , które zawierają kerΦ}
Niech G będzie grupą i niech x ∈ G. Definiujemy rząd x ,oznaczony przez o(x), jako najmniejszą doatanią liczbę całkowitą n z xⁿ = e. Jeśli taka liczba nie istnieje, mówimy ,że x ma rząd nieskończony, i zapisujemy o(x) = ∞. Poniższy prosty fakt wynika bezpośrednio z algorytmu dzielenia w pierścienia liczb całkowitych.
Lemat 1.1.3 Niech G będzie grupą, i niech x ∈ G, z o(x) = n < ∞. Jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą z x^k = e ,wtedy n|k
Poniższe twierdzeni Cauch′yego jest bardzo użyteczne
Twierdzenie 1.1.4 (Twierdzenie Cauch′yego). Niech G będiz grupą skończoną i niech p będzie liczbą pierwszą z p jako dzielnikiem rzędu grupy G. Wtedy G ma element rzędu p. Najczęściej cytowany dowód wymaga rozróżnienia dwóch przypadków ;G jest abelowa i G nie jest; ten dowód jest bardzo pouczający i wart poznania.
Niech G będzie grupą i niech X ⊆ G będzie podzbiorem G. Oznaczmy przez ⟨X⟩ najmniejsz podgrupę zG zawierającą X; zatem ⟨X⟩ może być uświadomione jako część wspólna wszystlich podgrup H ≤ G z X ⊆ H. Alternatywnie, ⟨X⟩ może być przedstawiane jako zbiór wszystkich elementów postaci x₁^e₁x₂^e₂...x_r^e_r gdzie x₁,x₂,...,x_r ∈ X i gdzie e₁,e₂,...,e_r ∈ Z. Jeśli X = {x}, powszechnie zapisujemy ⟨x⟩ w miejsce ⟨{x}⟩ .Jeśli G jest grupą taką,że dla pewnego x ∈ G, G = ⟨x⟩ , wtedy G będzie grupą cykliczną z generatorem x. Zauważ ,że generalnie, grupa cykliczna może mieć wiele genratorów.