Algebra różniczkowa

Pola różniczkowe
Mając do czynienia z polem algebraicznym o charakterystyce zero, oznaczamy go przez F. Wtedy F jest zbiorem elementów jednego typu lub innego, na któych można wykonywać działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, z wykątkiem tego ,że dzielenie przez pewien element 0 z F jest wykluczone. Dodawanie i mnożenie są przemienne i łączne, a mnożenie jest rodielne względem dodawania. Odejmowanie i dzielenie są działaniami jednowartościowymi. F zawiera podzbiór który jest izomorficzny, w odniesieniu do dodawania i mnożenia, z systemem liczb wymiernych; ten podzbiór będziemy rozpatrywać jako system liczb wymiernych. Będziemy pracować z polami F o charakterystyce zero, w któych działania są rózniczkowania są wykonalne. Ta operacja , która zastępuje każdy element a z F będzie jego pochodną, element a′ F, musi być taki ,że dla a i b w F,
(1) (a+b)′ = a′ + b′
i
(2) (ab)′ = ba′ + ab′
Kiedy istnieje taka operacja różniczkowania dla F, będziemy nazywai F polem różniczkowym. Z (1) przy b=0, widzimy ,że 0′ = 0. Z (2) przy b=1 i a ≠ = 0, wynika ,że 1′ = 0. Łatwo jest wykazać ,że pochodna każdej liczby wymiernej jest zerem. Element z zerem dla pochodnej jest nazywany stałą. System liczb wymiernych, z pochodnymi równymi zero, jest polem różniczkowym . Także są systemy liczb rzeczywistych i system liczb zespolonych. Dalsze przykłady są w całkości funkcjami wymiernymi zmiennej x ze współczynnikami zespolonymi, a całość funkcji eliptycznych z danym okresem równoległoboku; w tych przykładach, różniczkowanie będzie wykonywane jak w analizie. Jeśli F i F₁ są polami różniczkowymi i jeśli F₁ zawiera F, F₁ jest nazywane rozszerzeniem F. Zrozumiałe jest ,że kiedy F jest rozpatrywane przez siebie, dizałania wymierne i rózniczkowanie są w nim wykonywane jak wtedy gdy F jest traktowane jako część F₁. Odtąd termin pole będzie używane jako skrót dla pole różniczkowe. Kiedy używane jest zwyczajne pole algebraiczne,będzie ogłoszony właściwy komunikat.Powótrzmy ,że charakterystyka zawsze będzie zerem.
Nieoznaczoności
Często bęziemy podawać litery takie jak y, pierwszą z nieskończonej sekwencji symboli
(3) y,y′,y″,...,y^(p) .
Symbole w (3) będą używane przy budowie wielomianów, każdy wielomian z udziałem , oczywiście, tylko skończonej liczby symboli. Będziemy nazywali y rózniczką nieoznaczoną lub nieoznaczonością , a y^(p) p-tą pochodną y. Co więcej, dla każego p i dla każdego q > 0 , y^(p+q) będzie nazywane q-tą pochodną z y^(p). Należy podkreślić ,że tylko y w (3) jest nieokreślone; y^(p) nie są nieoznaczonościami, ale pochodną nieoznaczoną. Nasze problemy to zajęcie się dowolną , skończoną liczbą nieoznaczoności y₁,...,y_n. j-ta pochodna z y_i będzie zapisana jako y_ij. Będziemy nazywali y_i jej włąsną pochodną rżędu zero i czasami będzimy zapisywali y_i0 dla y_i. Gdzie nieindeksowane litery u,v,...,w są używan dla nieoznaczoności, pochodnę będą zapisywane z indeksem dolnym niż z indeksem gónym. Zatem u będzie nieoznaczonością, u_j jest j-tą pochodną z u
Wielomiany różniczkowe