Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb

Teoria liczb jest to gałąź matematyki, która zajmuje się właściwościami liczb całkowitych
1,2,3,4,5,.... zwanych również liczbami całkowitymi dodatnimi. Liczby całkowite dodatnie są bez wątpienia pierwszym matematycznym tworem człowieka. Trudno sobie wyobrazić człowieka bez możliwości liczenia, przynajmnije w ograniczonym zakresie. Historia pokazuje ,że 5700 lat p.n.e. Summerowqie mieli kalendarz, więc musili mieć opracowaną jakąś formę arytemtyki. W roku 2500 p.n.e. Summerowie opracowali system liczbowy używając 60 jako podstawy. Przekazali to Babilończykom, którzy stali się wysokowykwalifikowanymi kalkulatorami. Babilońskie gliniane tabliczki zawierają skomplikowane matematyczne tabele, których historia sięga 2000 lat p.n.e. Kiedy cywilizacje starożytne osiągnęły poziom, kiedy znalazły wolny czas do zastanawiania się na temat rzeczy, niektórzy ludzie zaczęli spekulować na temat charakteru i własności liczb.Ta ciekawość rozwinęła się w coś w rodzaju mistykę liczb lub numerologię, a nawet dzisiejsze liczby takie jak 3,7,11 i 13 są uważane za zwiastuny pecha lub szczęścia. Liczby były wykorzystywane do prowadzenia ewidencji i transakcji handlowych przez ponad 5000 lat ,zanim ktokoliwek pomyślał o studiowaniu samych liczb w sposób systematyczny. Pierwsze naukowe podejście do badań liczb całkowitych, to jest, prawdziwego pochodzenia teorii liczb, na ogół przypisuje się Grekom. Około 600 r. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali dokłądnej analizy liczb całkowitych. Była to pierwsza klasyfikacja liczb na różne sposoby:
Liczby parzyste : 2,4,6,8,10,12,14,16,...
Liczby nieparzyste : 1,3,5,7,9,11,13,15,...
Liczby pierwsze : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,....
Liczby złożone : 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,...
Liczba pierwsza jest liczbą wuększą niż 1, która dzieli się tylko przez 1 i samą siebie. Liczby, które nie są pierwsze, są nazywane złożonymi,z tym ,że liczba 1 nie jest rozpatrywana nia jako liczba pierwsza ani złożona. Pitagorejczycy również połączyli liczby z geometrią. Wprowadzili pojęcie liczb wielokątnych : liczby trójkątne, liczby kwadratowe, liczby pięciokątne itd. Powodem tej geometrycznej nomenklatury jest jasny kiedy liczby przedstawimy przez kropki wuporządkowane w postaci trójkątów, kwadratów, pięciokątów itd jak pokazano poniżej

Inne połączenie z geometrią pochodzi od sławnego twierdzenia Pitagorasa, któe stanowi ,że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Znalezione tabliczki babilońskie datujące się na około 1700 rok p.n.e, zawierają listę trójkątów pitagoerejskich, czasami z dość dużymi liczbami. Pitagorejczycy byli pierwszymi,którzy podali metodę dla określenia nieskończenie wielu trójkątów.W nowoczesnym zapisie możnato zapisać tak:
Niech n będzie liczbą nieparzystą większą niż 1 i niech
x=n , y = 1/2(n² - 1), z =1/2(n² + 1)
Wynikowy trójkąt (x,y,z)będzie zawsze trójkątem pitagorejskim z z=y+1.Oto kilka przykładów:

Są inne trójkąty pitagorejskie poza powyższymi ;na przykład

W tych przykładach mamy z= y+2 .Platon znalazł metodę dla określania wszystkich tych trójkątów, w nowoczesnej noatcji można ją podaćtak
x = 4n, y = 4n², z = 4n² + 1
Około 300 roku p.n.e nastąpiło ważne zdarzenie w histoirii matematyki. Pojawiły się "Elementy" Euklidesa, zbiór 13 ksiąg, przekształacające matematykę z numerologii do nauki dedukcyjnej. Euklides był prierwszym ,który przedstawiał fakty matematyczne z dokłądnymi dowodami tych faktów. Trzy z tych trzynastu ksiąg odnosiło się do teorii liczb (Księga VII, IX i X). W Ksieze IX Euklides udowodnił ,że jest nieskończenie wiele liczb pioerwszych. Jego dowód jest nadal nauczany w szkołach. W Księdze X podał metodę dla uzyskania wszystkich trójkątów pitagorejskich chociaż nie podał żądnego dowodu tej metody. Metodę można przedstawić wzorami
x = t(a² - b²) , y = 2tab, z = t(a² + b²)
gdzie t,a i b są arbitralnymi liczbami całkowitymi dodatnimi takimi ,że a > b, a i b nie mają wspólnych czynników, i jednno z a lub b jest nieparzyste , a drugie parzyste.