Algebra liniowa i jej zastosowania

Wprowadzenie
Centralnym problemem algebry liniowej jest rozwiązywanie równań liniowych. Najważniejszym ale i najprostszym przypadkiem jest przypadek gdy liczba niewiadowmych jest równa liczbie równań. Dlatego zaczniemy od podsatwowego problemu : n równań z n niewiadomymui. Sądwa dobrze okreslone sposoby rozwiązywania równań liniowych. Jedną jest metoda eliminacji, w której wielokrotności pierwszego równania są odejmowane od pozostałych równań - aż do usunięcia pierwszego równania z tych równań. Mamy wtedy mniejszy system, n-1 równań z n-1 niewiadowmymi. Proces jest powtarzany dopóki zostaje tylko jedno równanie i jedna niewiadoma, które może zostać rozwiązane bezpośrednio. Wtedy nie jest trudno cofnąć się i nzaleźć pozostałe niewiadomwe w odwrotnym porządku. Drugą i bardziej wyrafinowaną metdoą jest idea wyznaczników. Jest dokładny wzór, zwany zasadą Cramera, która podaje rozwiązania (poprawne wartości niewiadomych), jako stosunek dwóch n przez n wyznacnzików. Z naszych przykładów nie wynika w sposób oczywisty który , jest lepszy (n=3 lub n=4 sa górnymi granicami cierpliwości rozsądnego człowieka). W rzeczywistości, bardziej wyrafinowana formuła z udziałem wyznaczników jest katastrofalna w praktyce, a eliminacja jest algorytmem , który jest stale używany do rozwiązywania dużych układów równań. Naszym celeme jest zrozumienie tego algorytmu. Ogólnie jest nazywany eliminacją Gausa. Idea jest zwodniczo prosta, a pewnej formie może wydawać się znajoma czytelnikowi. Ale są cztery aspekty, które leżą głębiej niż proste mechanizmy eliminacji. Razem z samym algortymem, chcemy wyjaśnić je w tej części.
Są to
(1) Geometria równań liniowych. Nie jest łatwo zwizualizować 10 wymiarową płaszczyznę w 11 wymiarowej przestrzeni. Trudno zobaczyć jedenście z tych płaszczyzn przecinających pojedynczy punkt w tej przestrzeni - ale jest to prawie możliwe . Pryz trzech płaszczyznach w trzech wymiarach to może być z pewnością zrobione. Algebra liniowa przenosi problem do czterech wymiarów, lub jedenastu wymiarów, gdzie intuicyjnie musisz wyobrazić sobie geometrię.
(2) Interpretacja eliminacji jako faktoryzacji współczynnika macierzy. Wprowadzimy notację macierzy dla układu n równań ,zapisując niewiadowme jako wektor x a równania w skrócie macierzowym Ax = b. Wtedy ilość eliminacji rozkłada A na iloczyn LU, dolnej macierzy trójkątnej I i górnej maczierzy trójkątnej U. Najpierw musimy wprowadzić macierze i wektory w sposób symetryczny, jak również zasady ich mnożenia. Zdefinujemy również transpozycję A^T i inwersję A^-1 macierzy A
(3) W większości przypadków eliminacja idzie naprzód bez trudności. W kilku wyjątkowych przypadkach będzie to złamane - albo z powodu równań zapisanych w złym porządku, co jest łątwo naprawić przez ich przestawienie albo z powodiu błędnych równań mającyuch jednoznaczne rozwiązanie. W dalszych przypadkach może nie być rozwiązań lub nieskończenie wiel. Chcemy zrozumieć jak proces eliminacji identyfikuje każdą z tych możliwości
(4) Istotne jest any mieć przybliżoną liczbę operacji wymaganych dla rozwiązania sysemu przez eliminację. Kosztw informatyce często określa dokładność modelu. Komputer może wykonać miliony operacji. Bez próbowania wszystkich szczegółów, chcemy zobaczyć jakie układy pojawiają sie w praktyce i jak są w rzeczywistości rozwiązane.