CZĘŚĆ I : Systemy liniowe
1.I Rozwiązywanie układów liniowych
Systemy układów równań liniowych są powszechne w nauce i matematyce. Dwa przykładu pokazują sens ich powstawania. Pierwszy przykład pochodzi z fizyki. Przypuśmy ,że mamy trzy obiekty, jedne o masie 2 kg i musimy znaleźć nieznane masy. Przypuśmy dalej ,że eksperymetując z przymiarem tworzymy re dwie równoważnie
 .Teraz kiedy suma momentów po lewej stronie równoważni jest równa sumie moementów po prawej 9moment obiektu jest jego masą razy odległość od punktu równowagi) dwie równowagi dają system dóch równań :
40h + 15c = 100
25c=50 + 50h
Drugi przykład systemu liniowego pochodzi z chemii .Możemy połączyć ,pod pewnymi warunkami toluen C7H8 i kwas azotowy HNO3 dla stworzenia tójnitrotoluenu ,C7H5O6N3 wraz produktem ubocznym, wodą (warunki muszą być kontrolowane bardzo , bardzo dokładnie - tórjnitrotoluen jest lepiej znany jako TNT). W jakich proporcjach te składniki muszą być wymieszane? Liczba atomów każdego elementu obecna przed reakcją
xC7H8 + y HNO3 → z C7H5O6N3 + w H2O
musi równać się liczbie po reakcji. Stosując tą zasadę do elementów C , H ,N i O daje nam to system
7x = 7z
8x + 1y = 5z + 2w
1y = 3z
3y = 6z + 1w
Każdy z tych przykładów wymaga rozwiązania układu równań liniowych. W tej części pokażemy jak rozwiązać taki układ równań
1.I.1 Metoda Gaussa
1.1. Definicja. Równanie liniowe ze zmiennymi x1,x2,...,xn ma postać a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn = d
gdzie liczby a1,...,an ∈ R są współczynnikami równania a d ∈ R jest stałą. n-krotka(s1,s2,...,sn) ∈ Rn jest rozwiązaniem, lub spełnia to równanie ,jeśli zastępując liczby s1,s2,...,sn zmiennymi otrzymujemy prawdziwość instrukcji:
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn = d
Układ równań liniowych
a1,1x1 + a1,2x2 + ... + a1,nxn = d1
a2,1x1 + a2,2x2 + ... + a2,nxn = d2
.
.
.
am,1x1 + am,2x2 + ... + am,nxn = dm
ma rozwiązania (s1,s2,sn) jeśli ta n-krotka jest rowiązaniem dla wszystkich równań w tym układzie.
1.2 Przykład. Para uporząkowana (-1,5) jest rozwiązaniem tgo układu
3x1 + 2x2 = 7
-x1 + x2 = 6
W przeciwieństwie, (-5,1) nie jest rozwiązaniem. Zanjdowanie zbioru wszystkich rozwiązań jest rozwiązaniem ukłądu. Nie trzeba zgadywać ani mieć szczęścia aby rozwiązać liniowy układ równań. Jest algorytm, który zawsze działa. Kolejny przykład wprowadza ten algorytm, zwany metodą Gaussa. Przekształća ona układ równań, krok po kroku, aż do uzyskania postaci którą łatwo rozwiązać
1.3 Przykład. Rozwiąż taki układ
3x3 = 9
x1 + 5x2 - 2x3 = 2
1/3 *x1 + 2x2 = 3
wielokrotnie przekształcamy go , dopóki nie będzie w postaci , która nie będzie łatwa do rozwiązania
Trzeci krok nie jest szablonowy.Mnożymy obie strony równania pierwszego wiersza przez -1, dodajemy to do starego drugiego wiersza i zapisujemy wynik jako nowy drugi wiersz. Teraz możemy znaleźć wartość każdej zmiennej. Dół równania pokazuje ,że x3 = 3 .Podstawienie 3 za x3 w środkowym równaniu pokazuje ,że x2 = 1. Podstawiając te dwie wartości do górnego równania uzyskujemy x1 = 3 ,więc układ ma jednoznaczne rozwiązanie : zbiór rozwiązania{(3,1,3)}.
Większość podsekcji i kolejnych składa sięz przykładów rozwiązań układów liniowych metodą Gaussa. Będziemy jej używać cały czas. Jest łatwa i szybka. Ale, zanim poznamy te przykłady, najpierw pokażemy ,że ta metoda jest również bezpieczna bo nigdy nie gubi rozwiązania lub przynosi obce rozwiązania.
|
